微分幾何陳維桓習題答案2微分?何陳維桓習題答案p.58習題3.12.在球?2222{(,,)|1}Sxyzxyz=++=上，命(0,0,1)N=，(0,0,1)S=-.對于?道平?上的任意?點(,,0)puv=，可以作為?的?條直線經(jīng)過,Np兩點，它與球?有唯?的交點，記為p'.(1)證明：點p'的坐標是2221uxuv=++，2221vyuv=++，222211uvzuv+-=++，并且它給出了球?上去掉北極N的剩余部分的正則參數(shù)表?；(2)求球?上去掉南極S的剩余部分的類似的正則參數(shù)表?；(3)求上?兩種正則參數(shù)表?在公共部分的參數(shù)變換；(4)證明球?是可定向曲?.證明.(1)設(,)ruvOp'=.如圖，,,Npp'三點共線，故有t∈使得(1)OptOptON'=+-.(1)由于21OpON=='，222uvOp=+，0OpON'?=，0t≠，取上式兩邊的模長平?，得222/(1)tuv=++.從?22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11uvxyzOpuvuvuv+-'==+++++22222222221,,111uvuvuvuvuv??+-=?++++++??，2(,)uv∈.(2)。由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)rOptNpONtuvtutvt'==+=-+=-。?2(dttuduvdv=-+，所以2(,,1)(1,0,0)urtuuvt=--+，2(,,1)(0,1,0)vrtvuvt=--+。332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)uvrrtuutvvt?=--+22222(,,(1)(,,1)0ttutvtuvttutvttr=-+-=--=-≠.(3)因此(,)rruv=給出了2\{}SN的正則參數(shù)表?.(2)令(,,0)quv=是,Sp'兩點連線與?道平?的交點.同理，有(1)(,,1)OptOqtOStutvt'=+-=-，222/(1)tuv=++。22222222221(,,),,111uvuvrxyzOpuvuvuv??--'===?++++++??2(,)uv∈.(4)2(,,1)(1,0,0)urtuuvt=-+，2(,,1)(0,1,0)vrtvuvt=-+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)uvrrtuutvvt?=----+。22222(,,1()(,,1)0ttutvtuvttutvttr=-+=-=≠.(5)因此(4)給出了2\{}SS的正則參數(shù)表?.(3)由(2)和(4)式可得2222((1uvuv++=，從?上?兩種正則參數(shù)表?在公共部分2\{,}SNS上的參數(shù)變換公式為22uuuv=+，22vvuv=+.(6)由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)。uvtuvuvtuvuv?++=-=-=-注.如果采?復坐標，令,zuivwuiv=+=-，則上?的參數(shù)變換可寫成1/wz=.這就是?義復平?上的共形變換.(4)在2\{}SN上采?(1)式給出的正則參數(shù)表?，在2\{}SS上采?正則參數(shù)表?22222222221(,).,,111uvuvruvuvuvuv??---=?++++++??則在公共部分的參數(shù)變換公式為22uuuv=+，22vvuv-=+.(4)由于{}22\{},\{}SNSS構成2S的開覆蓋，并且22222222222222222((2222(((,)10(,)(vuuvuvuvuvvuuvuvuvuvuv-++--++?==>?+，所以2S是可定向的.□5寫出單葉雙曲?2222221xyzabc+-=和雙曲拋物?22222xyzab=-作為直紋?的參數(shù)?程.解.(1)對單葉雙曲?，取腰橢圓((cos,sin,0)auaubu=，(0,2)uπ∈為準線.設直母線的?向向量為(((,(,(luaXubYucZu=.則直紋?的參數(shù)?程為((,)(((cos(),(sin(),(ruvauvluauvXubuvYucvZu=+=++.由于(,)ruv的分量滿?單葉雙曲?的?程，可得222(cos()(sin()(()1uvXuuvYuvZu+++-=，v?∈.由v得任意性得到cos(sin(0uXuuYu+=，222(((XuYuZu+=.因此(:(:(sin:cos:1XuYuZuuu=-±.取((sin,cos,luaubuc=-得((,)(cossin),(sincos),ruvauvubuvucv=-+，(,)(0,2)uvπ∈?.(2)對雙曲拋物?，令(xauv=+，(ybuv=-，則2zuv=.曲?的參數(shù)?程為((,)(,(,2ruvauvbuvuv=+-(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)aubuvabuavbvuabv=+-=-+，2(,)uv∈.p.94習題3.21.證明：?個正則參數(shù)曲?S是球??它的所有法線都經(jīng)過?個固定點.證明.“?”設S是球?，參數(shù)?程為(,)ruv，球?為a，半徑為R.則有22((,))ruvaR-=，,uvD?∈.(1)微分可得(0urra-=，(0vrra-=.(2)所以(//uvrarr-?，從?uvrarrλ-=?，即有函數(shù)(,)uvλλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]uvaruvuvruvruvλ=-?.(3)這說明球?a在它的所有法線上.“?”設S的所有法線都經(jīng)過?個固定點a.則有函數(shù)(,)uvλλ=使得(3)式成?，即有uvrarrλ-=?.分別?,uvrr作積，可得(2).這說明2(0dra-=，從?(1)式成?，其中0R>(否則S只是?個點，不是正則曲?)是常數(shù).因此S是以a為球?，以R為半徑的球?，或球?的?部分.□。3.證明：?個正則參數(shù)曲?S是旋轉??它的所有法線都與?條固定直線相交.證明.“?”設S是旋轉?，旋轉軸L為z軸.它的參數(shù)?程為((,)(cos,(sin,(ruvfvufvugv=，((0)fv>.因為((sin,cos,0urfvuu=-，((cos,(sin,(vrfvufvugv'''=。(((cos,(sin,(uvrrfvgvugvufv'''?=-。所以S上任意?點(,)ruv處的法線N的參數(shù)?程為((,)[(,)(,)]uvXtruvtruvruv=+?.由于z軸的參數(shù)?程為((0,0,1)Ysssk==，并且((cos(sin。(0(cos(sin(,,001uvfvufvugvfvgvugvufvrrrk'''==-?。所以L與N共?.如果L與N處處平?，則(//uvrrk?，從?(0gv'=.此時S是垂直于z軸的平?(zgvc==.所以當S不是垂直于z軸的平?時，旋轉?S的所有法線都與z軸相交.“?”通過選取坐標系，不妨設固定直線為z軸.設S的參數(shù)?程為(,)((,),(,),(,))ruvxuvyuvzuv=，(,)uvD∈.由條件，S的所有法線都與z軸相交，所以法線不能與z軸平?，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)uvuvyzxzxyrruvuvuv-?=?(0,0,1)，00(,)uvD?∈.因此00(,)(,)(,)uvyzuv??，00(,)(,)(,)uvxzuv??不能全為零.不妨設在00(,)uv點鄰近(,)0(,)。yzuv?≠?.通過參數(shù)變換，曲?的參數(shù)?程可以寫成(,)((,),,)ruvxuvuv=，(,)uvD∈.(1)于是(,1,0uurx=，(,0,1vvrx=，(1,,uvuvrrxx?=--.因為所有法線都與z軸相交，(0,,uvrrrk≡?，即有0uxxu+=.這說明22xu+是?個僅僅依賴于v的函數(shù).