第第頁初中數(shù)學(xué)教材中的化歸思想剖析

在整個中學(xué)數(shù)學(xué)教材中無處不滲透著化歸思想，我們時(shí)常需要把高次的化為低次的，把多元的化為單元的，把高維的化為低維的，把指數(shù)運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，把幾何問題化為代數(shù)問題，化無理為有理等，可以說在中學(xué)的數(shù)學(xué)教材中，每一冊都有較多問題的解決需要用化歸的思想方法來完成，而在歷年的中考題中很多壓軸題的解決也需要用化歸的思想方法來完成，所以這種數(shù)學(xué)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中解決問題的一種特別重要的數(shù)學(xué)思想。

化歸思想的實(shí)質(zhì)就是將一個新問題進(jìn)行變形，使其轉(zhuǎn)化為另一個已經(jīng)解決的問題，從而使原來的問題得到解決。其一般模式是把所要解決的問題A經(jīng)過某種改變，使之歸結(jié)為另一個問題A*，再通過問題A*的求解，把解得的結(jié)果還原于原有問題A，從而使原有問題得解。

化歸思想包含三個要素：化歸的對象、化歸的方向和化歸的方式方法。要正確運(yùn)用化歸思想，就要分清化歸的對象，明確要化歸的方向，考慮實(shí)施化歸的方法。本文主要從化歸的方向?qū)χ袑W(xué)教材中的化歸思想進(jìn)行舉例分析。

從化歸的方向上來看，化歸的方向大致可以分為下面兩種：

一、新知識向已知知識點(diǎn)或知識塊的轉(zhuǎn)化

在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有很多新知識的獲得或新問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知知識或已解決的問題來完成的，也就是將新知識向已知知識點(diǎn)或知識塊轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決。下面就以解方程為例來分析這種化歸的方向。

1、消元降次化歸，實(shí)現(xiàn)新知識向已知知識點(diǎn)的轉(zhuǎn)化

(1)降次化歸解一元方程

解一元二次方程時(shí)有以下四種基本解法：

a、假如方程的一邊是關(guān)于*的完全平方式，另一邊是個非負(fù)的常數(shù)，那么依據(jù)平方根的意義將形如方程轉(zhuǎn)化為兩個一次方程進(jìn)而得解，此為開平方。

b、假如將方程通過配方恒等變形，一邊化為含未知數(shù)的完全平方式，另一邊為非負(fù)的常數(shù)，那么其后的求解可由思路一完成，此為配方法。

c、假如方程一邊為零，一邊能分解成兩個一次因式之積，就可以得到兩個因式分別為零的一次方程，它們的解都是原方程的'解，此為因式分解法。

d、假如以上三條思路受阻，便可把方程整理為一般形式，徑直利用公式求解。

縱觀以上四種方法，不難發(fā)覺，方法一即所謂開平方法，它是依據(jù)平方根的意義將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，完成了由“二次”向“一次”的轉(zhuǎn)化。方法二中的“配方”僅完成了方程的恒等變形，把問題轉(zhuǎn)移到“可開方”上來，并未完成“降次轉(zhuǎn)化”這一實(shí)質(zhì)性工作，但已經(jīng)為“二次”向“一次”轉(zhuǎn)化制造了條件，因而習(xí)慣上稱之為“配方法”，配方法的實(shí)質(zhì)就是通過轉(zhuǎn)化為開平方來解決的。方法三即因式分解法，其理論依據(jù)是“假設(shè)干個因式之積為零時(shí)，那么其中至少有一個因式為零”，據(jù)此，也順當(dāng)?shù)貙?shí)現(xiàn)了由“二次”轉(zhuǎn)化為“一次”的目的。方法四即所謂公式法，對一般的一元二次方程,通過配方,轉(zhuǎn)化為開平方求得一般結(jié)論,即求根公式。公式法以強(qiáng)調(diào)結(jié)論，應(yīng)用結(jié)果為前提，而省略了公式的探究過程，事實(shí)上已將解方程轉(zhuǎn)化成為代數(shù)式的求值問題，而公式的得到那么是化歸思想的典型表達(dá)。

從以上分析不難看到：將“一元二次”這個新知識點(diǎn)轉(zhuǎn)化為“一元一次”這個已知知識點(diǎn)之際，也就是順當(dāng)求解一元二次方程之時(shí)。因此，應(yīng)用化歸思想降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程，是解一元二次方程各方法之“宗”。

而對于高次方程，中學(xué)教材中的都是簡約的一元高次方程，這類方程依據(jù)詳細(xì)方程的非常性可以通過一些常規(guī)的數(shù)學(xué)方法把它們轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程，即完成從新知識點(diǎn)到已知知識點(diǎn)的降次化歸過程，從而使此類方程問題得到解決。

(2)消元降次化歸解方程組

解二元一次方程組，其基本方法是通過加減消元或是代入消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即完成從新知識點(diǎn)到已知知識點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，從而得到求解。三元一次方程組，也通過消元，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而使問題得解。而對于二元二次方程組，假如要解的二元二次方程組是由一個二元一次方程和一個二元二次方程構(gòu)成的，那么徑直先消元轉(zhuǎn)化為一個一元二方程就可以求解了。假如要解的二元二次方程組是由兩個二元二次方程組成的，那么既要消元，又要降次，需轉(zhuǎn)化為兩個分別含有一個二元一次方程的二元二次方程組或四個二元一次方程組，即完成由新知識向已知知識的轉(zhuǎn)化，從而使二元二次方程組得到求解。

2、分式方程整式化、無理方程有理化,實(shí)現(xiàn)新知識向已知知識塊的轉(zhuǎn)化

中學(xué)新教材中的分式方程按去分母后的形式分為可化為一元一次方程的分式方式和可化為一元二次方程的分式方程，前者安排在七班級上，后者安排在八班級下。從今可以看出把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一已知的知識模塊是解分式方程的基本思路。中學(xué)教材中的無理方程基本上都可以通過對方程兩邊進(jìn)行平方或是換元把它轉(zhuǎn)化為整式方程中的一元一次方程或是一元二次方程，從而使無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程這一已知的模塊，從而得到求解。這里需要留意的是在分式方程整式化、無理方程有理化的變形過程中,有可能不是恒等變形，可能產(chǎn)生增根，所以分式方程和無理方程都需要要驗(yàn)根。

縱觀整個中學(xué)教材，不難發(fā)覺除了解方程問題，還有很多知識的轉(zhuǎn)化都屬于新知識向已知知識點(diǎn)或知識塊的轉(zhuǎn)化，如:異分母分?jǐn)?shù)的加減法，通過通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)的加減法;多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和來解決、梯形的中位線問題轉(zhuǎn)化為三角形的中位線來解決等，可以說中學(xué)教材中運(yùn)用化歸思想來解決的問題其化歸的方向大部分都屬于這種類型。

二、一般狀況向非常狀況的轉(zhuǎn)化

在解決數(shù)學(xué)問題中除了上述的化歸方向外，還有一類化歸方向是：先解決非常條件或非常狀況下的問題，然后通過恰當(dāng)?shù)幕瘹w方法把一般狀況下的問題轉(zhuǎn)化為非常狀況下的問題來解決，這也是解決新問題獲得新知識的一種重要的化歸方向。

一般解題時(shí)先解決非常條件或非常狀況下的問題，然后通過恰當(dāng)?shù)幕瘹w方法把一般狀況下的問題轉(zhuǎn)化為非常狀況下的問題來解決