北京市西城區(qū)2021—2022學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷

高一數(shù)學(xué)

2022.1

本試卷共5頁，共150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案寫在答題卡上，

在試卷上作答無效。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合

題目要求的一項(xiàng)。

（1）已知集合A{x|x1}，B{x|x24}，那么AB

（A）(2,2)（B）(2,1)（C）(2,)（D）(1，)

xy0,

（2）方程組的解集是

x2y22

（A）{(1,1),(1,1)}（B）{(1,1),(1,1)}

（C）{(1,1),(1,1)}（D）

1

（3）函數(shù)yx1的定義域是

x2

（A）[1,2)（B）[1,)（C）(0,1)(1,)（D）[1,2)(2,)

（4）為保障食品安全，某監(jiān)管部門對(duì)轄區(qū)內(nèi)一家食品企業(yè)進(jìn)行檢查，現(xiàn)從其生產(chǎn)的某

種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件作為樣本，并以產(chǎn)品的一項(xiàng)關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)值為檢測(cè)依

據(jù)，整理得到如下的樣本頻率分布直方圖.若質(zhì)量指標(biāo)值在[25,35)內(nèi)的產(chǎn)品為

一等品，則該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品的概率約為

（A）0.38

（B）0.61

（C）0.122

（D）0.75

（5）若ab，cd0，則一定有

ab

（A）acbd（B）acbd（C）（D）以上答案都不對(duì)

cd

（6）已知向量a(1,1)，b(2,3)，那么|a2b|

（A）5（B）52（C）8（D）74

（7）若2a3，則log3

4

1

（A）a（B）a（C）2a（D）4a

2

（8）設(shè)a，b為平面向量，則“存在實(shí)數(shù)，使得a=b”是“向量a，b共線”的

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（9）設(shè)f(x)為R上的奇函數(shù)，且在(0,)上單調(diào)遞增，f(1)=0，則不等式f(x1)0

的解集是

（A）(1,0)（B）(0,1)

（C）(1,2)（D）(,2)(1,0)

（10）如圖，AB為半圓的直徑，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB上的一點(diǎn)（含

端點(diǎn)A,B），若AB2，則|ACMB|的取值范圍是

（A）[1,3]（B）[2,3]

（C）[3,10]（D）[2,10]

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

（11）命題“x0，2x0”的否定是_____．

（12）右側(cè)莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中的

成績，記甲、乙的平均成績分別為a,b，則a,b的大

小關(guān)系是_____．

1

（13）若不等式x2axb0”的解集為(,)(2,)，則a_____，b_____．

2

（14）如圖，在正六邊形ABCDEF中，記向量FAa，EDb，

則向量BC_____．（用a,b表示）

（15）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在實(shí)數(shù)T(T0)，使得對(duì)于任意xD，都有

f(x)f(xT)，則稱f(x)為“T單調(diào)增函數(shù)”.

對(duì)于“T單調(diào)增函數(shù)”，有以下四個(gè)結(jié)論：

①“T單調(diào)增函數(shù)”f(x)一定在D上單調(diào)遞增；

②“T單調(diào)增函數(shù)”f(x)一定是“nT單調(diào)增函數(shù)”（其中nN,且n≥2）；

③函數(shù)f(x)[x]是“T單調(diào)增函數(shù)”（其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)）；

x1,x≤0,

④函數(shù)f(x)不是“T單調(diào)增函數(shù)”.

lgx,x0

其中，所有正確的結(jié)論序號(hào)是_____．

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

（16）（本小題13分）

在體育知識(shí)有獎(jiǎng)問答競賽中，甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)籃球知識(shí)的問題，

31

已知甲答題正確的概率是，乙答題錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩人都答題正確的概率是

43

1

.假設(shè)每人答題正確與否是相互獨(dú)立的.

4

（Ⅰ）求丙答題正確的概率；

（Ⅱ）求甲、丙都答題錯(cuò)誤，且乙答題正確的概率.

（17）（本小題15分）

設(shè)f(x)x2ax3，其中aR.

（Ⅰ）當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的圖像與直線y3x交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不相等的正數(shù)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（Ⅲ）若函數(shù)f(x)在(,0)上不具有單調(diào)性，求a的取值范圍.

（18）（本小題14分）

甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，各射擊4局，每局射擊10次，射擊命中目標(biāo)得1分，

未命中目標(biāo)得0分.兩人4局的得分情況如下：

甲6699

乙79xy

（Ⅰ）若乙的平均得分高于甲的平均得分，求x的最小值；

（Ⅱ）設(shè)x6，y10，現(xiàn)從甲、乙兩人的4局比賽中隨機(jī)各選取1局，并將其得

分分別記為a，b，求a≥b的概率；

（Ⅲ）在4局比賽中，若甲、乙兩人的平均得分相同，且乙的發(fā)揮更穩(wěn)定，寫出x

的所有可能取值.（結(jié)論不要求證明）

（19）（本小題15分）

x1

已知函數(shù)f(x)log.

2x1

（Ⅰ）若f(a)1，求a的值；

（Ⅱ）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）若f(x)≥m對(duì)于x[3,)恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

（20）（本小題13分）

某漁業(yè)公司年初用98萬元購進(jìn)一艘漁船，用于捕撈.已知該船使用中所需的各種費(fèi)

用e（單位：萬元）與使用時(shí)間n(nN，單位：年)之間的函數(shù)關(guān)系式為e2n210n，

該船每年捕撈的總收入為50萬元.

（Ⅰ）該漁船捕撈幾年開始盈利（即總收入減去成本及所有使用費(fèi)用為正值）?

（Ⅱ）若當(dāng)年平均盈利額．．．．．．達(dá)到最大值時(shí)，漁船以30萬元賣出，則該船為漁業(yè)公司

帶來的收益是多少萬元?

（21）（本小題15分）

設(shè)A是實(shí)數(shù)集的非空子集，稱集合B{uv|u,vA,且uv}為集合A的生成集．

（Ⅰ）當(dāng)A{2,3,5}時(shí)，寫出集合A的生成集B；

（Ⅱ）若A是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；

（Ⅲ）判斷是否存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集B{2,3,5,6,10,16}，

并說明理由.

北京市西城區(qū)2021—2022學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷

高一數(shù)學(xué)答案及評(píng)分參考

2022.1

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.

1.C2.A3.B4.B5.D

6.B7.A8.A9.D10.D

二、填空題：本大題共5題，每小題5分，共25分.

5

11．x0，2x≤012．a(chǎn)b13．；1

2

14．ba15．②，③，④

注：第13題第一問2分，第二問3分；第15題全部選對(duì)得5分，不選或有錯(cuò)選得0分，

其他得3分.

三、解答題：本大題共6小題，共85分.其他正確解答過程，請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.

16．（本小題13分）

解：（Ⅰ）記甲、乙、丙3人答題正確分別為事件A，B，C，………………

1分

設(shè)丙答題正確的概率為x，即P(C)x.

312

由題意，知P(A)，P(B)1.………………3

433

分

根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，

21

得P(BC)P(B)P(C)x，………………6

34

分

33

解得x，即丙答題正確的概率為.………………8

88

分

（Ⅱ）由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，

得事件：甲、丙都答題錯(cuò)誤，且乙答題正確（事件ABC發(fā)生）的概率是

3235

P(ABC)P(A)P(B)P(C)[1P(A)]P(B)[1P(C)](1)(1).

43848

答：甲、丙都答題錯(cuò)誤，且乙答題正確的概率是5.………………13

48

分

17．（本小題15分）

解：（Ⅰ）由f(x)x2x33x，解得x1，x3.………………2

12

分

所以函數(shù)f(x)的圖像與直線y3x的交點(diǎn)為(1,3)，(3,9).………………4

分

（Ⅱ）由題意，方程f(x)x2ax30有兩個(gè)不等正根x,x，

12

a2120,

所以xxa0,………………7

12

xx30.

12

分

解得a23.

故當(dāng)a(23,)時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)不相等的正數(shù)零點(diǎn).………………10

分

a

（Ⅲ）二次函數(shù)f(x)x2ax3的對(duì)稱軸方程為x.………………12

2

分

a

由題意，得0.………………14

2

分

故a的取值范圍為(,0)．………………15

分

18．（本小題14分）

79xy6699

解：（Ⅰ）由題意，得，即xy14.………………2

44

分

又因?yàn)閤≤10,y≤10，且x,yN，

所以xy≥15，即x≥15y≥15105.

所以當(dāng)y10時(shí)，x的最小值5.………………4

分

（Ⅱ）設(shè)“從甲、乙的4局比賽中隨機(jī)各選取1局，且得分a≥b”為事件M，…5

分

記甲的4局比賽為A，A，A，A，各局的得分分別是6，6，9，9；乙的4

1234

局比賽為B，B，B，B，各局的得分分別是7，9，6，10.

1234

則從甲、乙的4局比賽中隨機(jī)各選取1局，所有可能的結(jié)果有16種，它們

是：(A,B)，(A,B)，(A,B)，(A,B)，(A,B)，(A,B)，(A,B)，(A,B)，

1112131421222324

(A,B)，(A,B)，(A,B)，(A,B)，(A,B)，(A,B)，(A,B)，(A,B).…………

3132333441424344

7分

而事件M的結(jié)果有8種，它們是：(A,B)，(A,B)，(A,B)，(A,B)，

13233132

(A,B)，(A,B)，(A,B)，

334142

(A,B)，………………9分

43

81

因此事件M的概率P(M).………………11

162

分

（Ⅲ）x的可能取值為6，7，8.………………14

分

19．（本小題15分）

a1a1

解：（Ⅰ）由f(a)log1，得2，………………2

2a1a1

分

解得a3.………………4

分

（Ⅱ）結(jié)論：函數(shù)f(x)為奇函數(shù).………………5

分

x1x1

證明：由函數(shù)f(x)log有意義，得0.………………6

2x1x1

分

所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x1，或x1}.………………7

分

x1x1x1

因?yàn)閒(x)loglog()1logf(x)，

2x12x12x1

所以f(x)為奇函數(shù).………………10

分

x12

（Ⅲ）f(x)loglog(1).………………11

2x12x1

分

由x[3,)，得x1≥4，

221

根據(jù)函數(shù)y在(0,)上單調(diào)遞增，得[,0).

xx12

21

則1[,1).

x12

x1

所以f(x)log[1,0),即f(x)的值域?yàn)閇1,0).………………13

2x1

分

由f(x)≥m對(duì)于x[3,)恒成立，

得實(shí)數(shù)m的范圍為(,1].………………15

分

20．（本小題13分）

解：（Ⅰ）設(shè)捕撈n年后，總利潤為f(n)萬元，

則f(n)50n(2n210n)982n240n98.………………3

分

由f(n)2n240n980，解得1051n1051.………………5

分

因?yàn)閚N，

所以3≤n≤17，即捕撈的第3年開始盈利.………………7

分

2n240n9898

（Ⅱ）由（Ⅰ），得年平均盈利額y=2n40，……………10

nn

分

4949

因?yàn)閥2(n)40≤22n4012，當(dāng)且僅當(dāng)n=7時(shí)，等號(hào)成

n