分類討論思想專練一、選擇題1．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－3，2]上的最大值為4，則a等于()38A．－3B．－38或－3C.3D．答案D解析當(dāng)a>0時，f(x)在[－3，－1]上單調(diào)遞減，在[－1，2]上單調(diào)遞增，38可知當(dāng)x＝2時，f(x)取得最大值，即8a＋1＝4，解得a＝.當(dāng)a<0時，易知f(x)38在x＝－1處取得最大值，即－a＋1＝4，所以a＝－3.綜上可知，a＝或－3.故選D.－x2＋1，x<0，3x2．(2022·石家莊市高中畢業(yè)班綜合訓(xùn)練)已知函數(shù)f(x)＝2，x≥0，x則f(x2＋2)>f(3x)的解集為(A．(2，＋∞))B．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(1,2)C．(－∞，－1)答案B解析當(dāng)x<0時，f′(x)＝3x2－2x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且f(x)<1；又當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x，所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(x)≥f(0)＝1.所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(x2＋2)>f(3x)，所以x2＋2>3x，解得x<1或x>2，故選B.3．若關(guān)于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有兩個不等實(shí)根，則a的取值范圍是()A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,1)1D．0，2C．(1，＋∞)答案D解析方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有兩個不同實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|ax－1|與y＝2a的圖象有兩個交點(diǎn)．12①當(dāng)0<a<1時，如圖1，∴0<2a<1，即0<a<.②當(dāng)a>1時，如圖2，而y＝122a>1不符合要求．綜上，0<a<.故選D.4．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面積為2，則a的值為(A．22)B．23D．3C．22或23答案C12×3×1×sinA＝2，故sinA＝232.因?yàn)閟in2A解析由三角形面積公式，得819313＋cos2A＝1，所以cosA＝±1－sinA＝±1－＝±.①當(dāng)cosA＝時，由余弦定213理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×3×1×＝8，所以a＝22.②當(dāng)cosA1313＝－時，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×3×1×－＝12，所以a＝23.綜上所述，a＝22或23.故選C.5．(多選)(2021·河北省石家莊高三檢測)已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線C與橢圓x92＋y42＝1有相同的焦距，且一條漸近線方程為x－2y＝0，則雙曲線C的方程可能為()x2－y2＝1y24B．x2－＝1A.4y42－x2＝1x2D．y2－＝14C.答案AD解析在橢圓x92＋y42＝1中，c＝9－4＝5.因?yàn)殡p曲線C與橢圓x92＋y42＝1有相同的焦距，且一條漸近線方程為x－2y＝0，所以可設(shè)雙曲線方程為x42－y2＝λ(λ≠0)，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2－＝1.當(dāng)λ＞0時，c＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1，所4λλ以雙曲線C的方程為x42－y2＝1；當(dāng)λ＜0時，c＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1，所以雙曲線C的方程為y2－＝1.綜上，雙曲線C的方程為x42－y2＝1或y2－＝x2x2441，故選AD.6．(多選)(2021·江蘇省徐州市高三階段考試)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其a2020－1前n項和為Sn，前n項積為Tn，并滿足條件a1>1，a2020a2021>1，a2021－1<0.下列結(jié)論正確的是()A．S2020<S2021B．a(chǎn)2020a2022－1<0C．T2021是數(shù)列{Tn}中的最大值D．?dāng)?shù)列{Tn}無最大值答案AB解析當(dāng)q<0時，a2020a2021＝aq<0，不成立；當(dāng)q≥1時，a2020>1，a2021>1，22020a2020－1a2021－1<0不成立；故0<q<1，且a2020>1,0<a2021<1，故S2021>S2020，A正確；a2020a2022－1＝a20212－1<0，故B正確；T2020是數(shù)列{Tn}中的最大值，C，D錯誤．故選AB.二、填空題1382，3上一點(diǎn)P，則過點(diǎn)P的切線方程為7．已知曲線y＝x3__________________．答案12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝01′＝x2，解析①當(dāng)P為切點(diǎn)時，由y′＝x33得y′x＝2＝4，即過點(diǎn)P的切線方程的斜率為4.83則所求的切線方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.1，3②當(dāng)P點(diǎn)不是切點(diǎn)時，設(shè)切點(diǎn)為Qx，x30013則切線方程為y－x3＝x02(x－x0)，08因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P2，，把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入以上切線方程，求得x0＝－1或313－1，－，即所求切線方程為3x－3y＋2x0＝2(即點(diǎn)P，舍去)，所以切點(diǎn)為Q＝0.綜上所述，過點(diǎn)P的切線方程為12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.－ax＋a，x<1，2x8．(2022·重慶高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測)若函數(shù)f(x)＝有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．a(chǎn)e－x＋1，x≥1x1答案－∞，e2解析當(dāng)x<1時，由x2＝a(x－1)，y＝a(x－1)恒過定點(diǎn)(1,0)，作出y＝x2與y＝a(x－1)的圖象，如圖，由圖象知a<0時，f(x)有兩個零點(diǎn)；a＝0時，f(x)有一個零點(diǎn)；a>0時，f(x)x－1無零點(diǎn)．當(dāng)x≥1時，由a＝x－e1，令g(x)＝，則g′(x)＝2－ex，則x＝2時，xexx1，則a＝0或a＝e1時，f(x)有一個零點(diǎn)；0<a<e1時，f(x)g(x)取得最大值g(2)＝e222有兩個零點(diǎn)；a＜0或a>e1時，f(x)無零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)a∈－∞，時，f(x)12e2有兩個零點(diǎn)．π6的圖象9．(2021·山東濟(jì)寧嘉祥縣第一中學(xué)高三四模)將函數(shù)f(x)＝2sin2x＋向右平移12π個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到g(x)的圖象，若g(x1)g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，則sin(x1＋x2)的值為________．答案1或－1解析由題意，得g(x)＝2sin2x＋1，g(x)的最大值為3，最小值為－1，因?yàn)間(x1)g(x2)＝9，則g(x1)＝g(x2)＝3，由g(x)＝2sin2x＋1＝3，得2x＝2kπ＋π2，k∈Z，則x＝kπ＋4π，k∈Z，又x1，x2∈[－2π，2π]，所以x1，x2∈－，－，，7π3ππ5π.4444設(shè)x1＝k1π＋4π，x2＝k2π＋4π，k1，k2∈Z，則x1＋x2＝(k1＋k2)π＋π2，則當(dāng)k1＋k2為3π5π4k1＝－1，x1＝－4k2＝1，x2＝時，sin(x1＋x2)＝1，當(dāng)＋為奇偶數(shù)例如，kk12π5π4k1＝0，x1＝4k2＝1，x2＝時，sin(x1＋x2)＝－1.綜上可得，sin(＋)數(shù)例如，xx12的值為1或－1.三、解答題10．設(shè)各項不為0的數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，且a1＝－29，2Sn＝anan＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求Sn的最小值．解(1)∵a1＝－29,2Sn＝aa，①nn1＋∴2Sn＋1＝an＋1an＋2，②②－①得2an＋1＝an＋1(an＋2－an)，∵an＋1≠0，∴an＋2－an＝2，n又a1＝－29，n－1∴當(dāng)n為奇數(shù)時，a＝a1＋×2＝n－30；2n在①中，令n＝1，得2S1＝2a1＝a1a2，∴a2＝2，又?jǐn)?shù)列{a}的偶數(shù)項成等差數(shù)列，nn－22∴當(dāng)n為偶數(shù)時，a＝a2＋×2＝n；nn－30，n為奇數(shù)，∴a＝nn，n為偶數(shù).(2)由(1)可知，當(dāng)n為偶數(shù)時，an＝n>0，∴要使S最小，n必然是奇數(shù)．n∴當(dāng)n為奇數(shù)時，n＋1－29＋n－30n－12＋n－122＋Sn＝222－29n－30＝n，2292且y＝x2－29x－30的圖象的對稱軸為直線x＝＝14.5，∵n∈N*，且n是奇數(shù)，152－29×15－302∴當(dāng)n＝15時，(Sn)min＝S15＝＝－120.11.如圖，A，B，C，D為空間四點(diǎn)．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等邊三角形ADB以AB所在直線為軸轉(zhuǎn)動．(1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，求CD；(2)當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動時，是否總有AB⊥CD？證明你的結(jié)論．解(1)如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，CE，∵△ADB是等邊三角形，∴DE⊥AB.當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，∵平面ADB∩平面ABC＝AB，∴DE⊥平面ABC，可得DE⊥EC.由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)當(dāng)△ADB以AB所在直線為軸轉(zhuǎn)動時，總有AB⊥CD.證明：①當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時，∵AC＝BC，AD＝BD，∴C，D都在線段AB的垂直平分線上，則AB⊥CD.②當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時，由(1)知AB⊥DE.又AC＝BC，∴AB⊥EC.又DE，EC為相交直線，DE，EC?平面DEC，∴AB⊥平面DEC，由CD?平面DEC，得AB⊥CD.綜上所述，當(dāng)△ADB以AB所在直線為軸轉(zhuǎn)動時，總有AB⊥CD.12.(2022·福建晉江磁灶中學(xué)高三上階段測試(一))如圖，已知點(diǎn)F為拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的動直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)直線l的傾斜角為45°時，|MN|＝16.(1)求拋物線C的方程；(2)試確定在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得直線PM，PN關(guān)于x軸對稱？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解(1)當(dāng)直線l的傾斜角為45°時，直線l的斜率為1，∵F，0，∴l(xiāng)的方程為y＝x－pp2.2p2，y＝x－由得x2－3px＋p42＝0.y2＝2px，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝3p，∴|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝16，p＝4，∴拋物線C的方程為y2＝8x.(2)假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在，設(shè)P(a,0)，由(1)知F(2,0)，①當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，y＝kx－2，由得k2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，x2y2＝8x，＋8)2－4k22＝64k2＋64>0，·4kΔ＝(4k24k2＋8，xx＝4.12x1＋x2＝k2∵直線PM，PN關(guān)于x軸對稱，kx1－2，kkx2－2x2－a∴kPM＋kPN＝0，而kPM＝x＝.－aPN1∴k(x1－2)(x2－a)＋k(x2－2)(x1－a)＝k[2xx12－(a＋2)(x1＋x2)＋4a]＝－8a＋2＝0，∴a＝－2，此時P(－2,0)．k②當(dāng)直線l與x軸垂直時，由拋物線的對稱性易，知PM，PN關(guān)于x軸對稱，此時只需P與焦點(diǎn)F不重合即可．綜上，存在唯一的點(diǎn)P(－2,0)，使直線PM，PN關(guān)于x軸對稱．13．(2022·江蘇鹽城伍佑中學(xué)高三上第一次階段考試)設(shè)f(x)＝xsinx＋cosx，＋4.g(x)＝x2(1)討論f(x)在[－π，π]上的單調(diào)性；(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，試證明：h(x)在R上有且僅有三個零點(diǎn)．解(1)f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，令f′(x)＝0，又x∈[－π，π]，π2則x＝0或x＝±.π故當(dāng)x∈－π，－時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；2π當(dāng)x∈－，0時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；2π當(dāng)x∈時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；0，2π當(dāng)x∈，π時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．2π22πππ22所以f(x)在－π，－，上單調(diào)遞增，在－，0，，π上單調(diào)遞減．0，(2)證明：h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx，因?yàn)閔(0)＝0，所以x＝0是h(x)的一個零點(diǎn)．h(－x)＝(－x)2＋4－4(－x)sin(－x)－4cos(－x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝h(x)，所以h(x)是偶函數(shù)，即要確定h(x)在R上的零點(diǎn)個數(shù)，只需確定x>0時，h(x)的零點(diǎn)個數(shù)即可．當(dāng)x>0時，h′(x)＝2x－4xcosx＝2x(1－2cosx)，令h′(x)＝0，即cosx＝，x＝3π＋2kπ或x＝＋2kπ(k∈N)．15π23π當(dāng)x∈時，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，0，3ππ323π<0，2且h＝＋2－93π5π當(dāng)x∈，時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，335π25π2＋103π＋2>0，且h＝393所以h(x)在0，5π3上有唯一零點(diǎn)．當(dāng)x≥5π3時，由于sinx≤1，cosx≤1，所以h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx≥x2＋4－4x－4＝x2－4x＝t(x)，而t(x)在5π3，＋∞上單調(diào)遞增，t(x)≥t>0，5π3所以h(x)>0恒成立，故h(x)在5π3，＋∞上無零點(diǎn)，所以h(x)在(0，＋∞)上有一個零點(diǎn)，由于h(x)是偶函數(shù)，所以h(x)在(－∞，0)上有一個零點(diǎn)，而h(0)＝0，綜上，h(x)在R上有且僅有三個零點(diǎn)．函數(shù)與方程思想專練一、選擇題1．橢圓x4＋y2＝1的兩個焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓2相交，其一交點(diǎn)為P，則|PF2|＝()3A.2B．3D．47C.2答案C解析如圖，令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，那么r1＋r2＝2a＝4，r1＋r2＝4，?r－r1＝372?r2＝.故選C.2c2＝12－r21＝r2222．(2022·青海省西寧市高三復(fù)習(xí)檢測(一))關(guān)于x的方程cos2x－sinx＋a＝0，π2若0<x≤時方程有解，則a的取值范圍是()A．[－1,1]B．(－1,1]－∞，－5C．[－1,0]答案BD．41解析∵cos2x－sinx＋a＝0，∴a＝sinx－cos2x＝sinx－(1－sin2x)＝sinx＋2254π212131，∴19241－，∵0<x≤，∴0<sinx≤1，∴，∴－1<<sinx＋≤<sinx＋≤sinx＋2222454－≤1，即－1＜a≤1.∴a的取值范圍為(－1,1]．故選B.23．若2x＋5≤2－y＋5，則有()－xyA．x＋y≥0B．x＋y≤0D．x－y≥0C．x－y≤0答案B1－5y.即2x－1－.故設(shè)函－y5解析原不等式可變形為2x－5－x≤2－y≤2－y5x1數(shù)f(x)＝2x－，f(x)為增函數(shù)，所以x≤－y，即x＋y≤0.故選B.5x4.為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求∠ACB＝60°，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米，為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，則AC最短為()3米2B．2米A.1＋C．(1＋3)米答案DD．(2＋3)米解析由題意，設(shè)BC＝x(x>1)米，AC＝t(t>0)米，則AB＝AC－0.5＝(t－0.5)米，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°，即(t－0.5)2x2－0.25＝t2＋x2－tx，化簡并整理得t＝0.75＋2，因?yàn)閤>1，x－1(x>1)，即t＝x－1＋x－1故t＝x－1＋0.75＋2≥2＋3當(dāng)且僅當(dāng)x＝1＋23時取等號，此時t取最小值2x－1＋3.故選D.5．(多選)(2021·河北邢臺高三質(zhì)檢)對于數(shù)列{a}，若存在數(shù)列滿足bnnn－a1(n∈N*)，則稱數(shù)列是{a}的“倒差數(shù)列”，下列關(guān)于“倒差數(shù)列”＝annnn敘述正確的是()A．若數(shù)列{a}是單增數(shù)列，則其“倒差數(shù)列”不一定是單增數(shù)列nB．若a＝3n－1，則其“倒差數(shù)列”有最大值nC．若a＝3n－1，則其“倒差數(shù)列”有最小值n1－，則其“倒差數(shù)列”有最大值D．若a＝1－2nn答案ACD1－a1＝(a－an解析若數(shù)列{a}是單增數(shù)列，則b－bn－1＝a－＋an－1n－<0時，b<b，因此{(lán)b}不一定an－1nnnn111)(1＋aa)，雖然有a>a，但當(dāng)1＋nn1－anan－1nn1－nnn－11是單增數(shù)列，A正確；若a＝3n－1，則b＝3n－1－3n－1，易知是遞增數(shù)nnn1列，無最大值，有最小值，最小值為b1，B錯誤，C正確；若a＝1－－，則2nn1－－11，當(dāng)為偶數(shù)時，a＝1－∈(0,1)，∴2n2b＝a－a1<0；b＝1－2nn1nnnn－1－nn當(dāng)n為奇數(shù)時，a＝1＋>1，顯然{an}是遞減的，因此bn＝an－a1也是遞減的，12nnn即b1>b3>b5>…，∴{bn}的奇數(shù)項中有最大值為b1＝3－2＝556是數(shù)列236>0，∴b＝1{bn}(n∈N*)中的最大值，D正確．故選ACD.二、填空題6．已知向量a＝(1,0)，b＝(λ，2)，|2a－b|＝|a＋b|，則實(shí)數(shù)λ＝________.12答案解析由a＝(1,0)，b＝(λ，2)，得2a－b＝(2,0)－(λ，2)＝(2－λ，－2)，a＋b＝(1＋λ，2)，所以|2a－b|2＝(2－λ)2＋(－2)2＝8－4λ＋λ2，|a＋b|2＝5＋2λ＋λ2，12又|2a－b|＝|a＋b|，所以8－4λ＋λ2＝5＋2λ＋λ2，解得λ＝.7．(2021·河北衡水中學(xué)全國高三第一次聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)a，b∈(2，＋∞)，11ba且滿足－2>lnb，則a，b，ab的大小關(guān)系是________．a(chǎn)2答案a>ab>b11ba，得＋lna>＋lnb．設(shè)f(x)＝1＋lnx，則f′(x)＝－11abx222解析由－2b2>lna－221x2＋＝xx.當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0恒成立，故f(x)在區(qū)間(2，＋∞)上x33單調(diào)遞增，又f(a)>f(b)，所以a>b，所以a>ab>b.8．(2022·江蘇鹽城、淮安、宿遷、如東等地高三第一次大聯(lián)考)現(xiàn)有一塊正四面體形狀的實(shí)心木塊，其棱長為9cm.車工師傅欲從木塊的某一個面向內(nèi)部挖掉一個體積最大的圓柱，則當(dāng)圓柱底面半徑r＝________cm時，圓柱的體積最大，且最大值為________cm3.答案336π解析設(shè)圓柱上底面圓心為O1，下底面圓心為O2，O2為正四面體底面中心，圓柱的上底面與正四面體側(cè)面ACD的交點(diǎn)N在側(cè)面中線AM上，∵正四面體棱長為9，∴BM＝9×3＝93.∴OM＝33，BO2＝33，AO2222236－h(huán)，∴h＝3636r＝36，設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，由O1N∥O2M得＝332－22r，∴V＝πr2(36－22r)＝36πr2－22πr3，令f(r)＝36πr2－22πr3，圓柱f′(r)＝66πr－62πr2，令f′(r)＝0得r＝3，∴r＝3時，f(r)max＝π×3×(36－22×3)＝36π.三、解答題9．在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，AB＝3，AC＝13，AD＝7.(1)求BC邊的長；(2)求△ABC的面積．解(1)設(shè)BD＝x，則BC＝2x，在△ABD中，有cos∠ABD＝AB22＋BD－AD22AB·BD＝9＋x2－7，2×3x2＋BC2－AC22AB·BC－13，＝9＋4x在△ABC中，有cos∠ABC＝AB且∠ABD＝∠ABC，22×3×2x即9＋x2－7＝9＋4x2－13，2×3x2×3×2x解得x＝2，所以BC＝4.12，B∈(0，π)，得sinB＝23，所以S12(2)由(1)可知，cosB＝＝·AB·BC·sinB△ABC123＝33.＝×3×4×210．(2021·貴州省凱里一中月考)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a4＝84－a5，a8＝36.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，求Sn＋20的最小值．n解(1)由a3＋a4＝84－a5得a4＝28，a1＋3d＝28，a1＝22，得由＋7d＝36，d＝2，a1∴數(shù)列{a}的通項公式為an＝22＋(n－1)×2＝2n＋20.nnn－12(2)由(1)得，Sn＝22n＋×2＝n2＋21n，∴Sn＋2020＝n＋＋21，n∈N*，nn20令f(x)＝x＋＋21，x＞0，xf′(x)＝1－20x2，當(dāng)x∈(0,25)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(25，＋∞)時，f′(x)>0，則f(x)在(0,25)上單調(diào)遞減，在(25，＋∞)上單調(diào)遞增，又n∈N*，f(4)＝f(5)＝30，S＋20取最小值，為30.∴當(dāng)n＝4或5時，nn11．(2022·湖北恩施州高三上第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)某企業(yè)創(chuàng)新形式推進(jìn)黨史學(xué)習(xí)教育走深走實(shí)，舉行兩輪制的黨史知識競賽初賽，每部門派出兩個小組參賽，兩輪都通過的小組才具備參與決賽的資格．該企業(yè)某部門派出甲、乙兩個小組，42若第一輪比賽時兩組通過的概率分別是，，第二輪比賽時兩組通過的概率分別5333是，，兩輪比賽過程相互獨(dú)立．45(1)若將該部門獲得決賽資格的小組數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)比賽規(guī)定：參與決賽的小組由4人組成，每人必須答題且只答題一次(與答題順序無關(guān))，若4人全部答對就給予獎金，若沒有全部答對但至少2人答對就被評為“優(yōu)秀小組”．該部門對通過初賽的某一小組進(jìn)行黨史知識培訓(xùn)，使得每個成員答對每題的概率均為p(0<p<1)且相互獨(dú)立，設(shè)該參賽小組被評為“優(yōu)秀小組”的概率為f(p)，當(dāng)p＝p0時，f(p)最大，試求p0的值．433545解(1)設(shè)甲、乙通過兩輪制的初賽分別為事件A1，A2，則P(A1)＝×＝，232355＝P(A2)＝×.由題意知X的取值可能為0,1,2，則326＝，P(X＝0)＝1－×1－5525323213＋＝，P(X＝1)＝1－××1－555525326＝P(X＝2)＝5×525.那么X的分布列為XP0612613252525E(X)＝0×25613＋1×＋2×256＝1.(2)由題意，知小組中2人答對的概率為C(1－p)2p2,3人答對的概率C(1－2344p)p3，則f(p)＝6(1－p)＋4(1－p)p3＝2p4－8p3＋6pp22.2f′(p)＝8p3－24p2＋12p＝4p(2p2－6p＋3)，3－3，p3＋3(舍去)，令f′(p)＝0得p1＝0(舍去)，p2＝3＝22223－33－3在0，上，f(p)單調(diào)遞增，在上，f(p)單調(diào)遞減．，1故p＝3－3時，f(p)最大．所以p3－30＝.2212．在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)M到定點(diǎn)F(－1,0)的距離與它到直線x＝－2的距離之比是常數(shù)22，記點(diǎn)M的軌跡為T.(1)求軌跡T的方程；(2)過點(diǎn)F且不與x軸重合的直線m與軌跡T交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P，在軌跡T上是否存在點(diǎn)Q，使得四邊形APBQ為菱形？若存在，請求出直線m的方程；若不存在，請說明理由．解(1)設(shè)M(x，y)，根據(jù)動點(diǎn)M到定點(diǎn)F(－1，0)的距離與它到直線x＝－2的距離之比是常數(shù)22，x＋12＋y2＝22，整理得2＋y2＝1，x2得|x＋2|x2∴軌跡T的方程為2＋y2＝1.(2)假設(shè)存在直線m，設(shè)直線m的方程為x＝ky－1，x＝ky－1，由消去x，得(k2＋2)y2－2ky－1＝0.2kx2＋y2＝12－4設(shè)A(x，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝1，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝k2＋2，2＋2k－2k∴線段AB的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為2＋2，k2＋2.k∵四邊形APBQ為菱形，∴直線PQ為線段AB的中垂線．2k2＋2kk2＋2∴直線PQ的方程為y－＝－k＋，x1k2＋21k2＋2－，0令y＝0，解得x＝－，即P.設(shè)Q(x0，y0)，∵P，Q關(guān)于點(diǎn)H對稱，－21＝－1k2＋2k，12∴＋2＝xy(＋0)，0k2＋220k2－32k＋2，y0＝k2＋2，解得x＝0k2－32k即Q2＋2，k2＋2.k∵點(diǎn)Q在橢圓上，3－k22∴＋2＝2，＋22＋2kk22解得k2＝22，1142，于是＝2，即＝±k2k∴直線m的方程為y＝42x＋42或y＝－42x－42.數(shù)形結(jié)合思想專練一、選擇題1．(2021·湖北襄陽模擬)已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是()A．1B．22D．2C.2答案C解析如圖，設(shè)OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，則CA→＝a－c，CB→＝b－c.由題意知CA→⊥CB→，∴O，A，C，B四點(diǎn)共圓．∴當(dāng)OC為圓的直徑時，|c|最大，此時，|OC→|＝2.2．已知函數(shù)f(x)＝x－2x1，則下列結(jié)論正確的是()A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱B．函數(shù)f(x)在(－∞，1)上是增函數(shù)C．函數(shù)f(x)的圖象上至少存在兩點(diǎn)A，B，使得直線AB∥x軸D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱答案A解析由f(x)＝2x＝2＋x－12x－1知f(x)的圖象是由y＝2的圖象平移得到的，作x出其簡圖如圖所示．從圖象可以看出f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)成中心對稱；其在區(qū)間(－∞，1)和(1，＋∞)上均是減函數(shù)；沒有能使AB∥x軸的點(diǎn)存在．故選A.3．(2021·廣東省七校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(8，0)，以O(shè)A為直徑的圓與直線y＝2x在第一象限的交點(diǎn)為B，則直線AB的方程為()A．x＋2y－8＝0B．x－2y－8＝0D．2x－y－16＝0C．2x＋y－16＝0答案A解析如圖，由題意知OB⊥AB，因?yàn)橹本€OB的方程為y＝2x，所以直線1212，因?yàn)锳(8,0)，所以直線AB的方程為y－0＝－AB的斜率為－(x－8)，即x＋2y－8＝0.故選A.4．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA→·(PB→＋PC→)的最小值是()32A．－2B．－43C.－D．－1答案B解析如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，3)，B(－1,0)，C(1，0)．設(shè)P(x，y)，則PA→＝(－x，3－y)，PB→＝(－1－x，－y)，PC→＝(1－x，－y)．所33223.當(dāng)x＝0，y＝2→→→以PA·(PB＋PC)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－y－232→→→時，PA＋PC·(PB)取得最小值－.5．(2022·廣東廣州花都區(qū)高三上調(diào)研考試)已知函數(shù)f(x)＝ex，x≥－1，g(x)＝f(x)－x＋a，若g(x)存在3個零點(diǎn)，則a的取值范圍是ln－x，x<－1，()11＋11，e1＋1B．A.1，e1－－1，－1D．－－1，－1eC.e答案D解析令g(x)＝f(x)－x＋a＝0，即f(x)＝x－a，則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝x－a圖象的交點(diǎn)個數(shù)，作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝x－a的圖象，如圖所示，當(dāng)x≥－1時，y＝ex，則y′＝ex，令ex＝1，則x＝0，即直線y＝x－a與曲線y＝ex相切的切點(diǎn)為(0,1)，此時a＝－1，因?yàn)間(x)存在3個零點(diǎn)，a<－1，－1－a>0，即函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝x－a的圖象有3個交點(diǎn)，所以解得－1－1e－1－a≤，11－－1，－1.故選D.e≤a<－1，所以a的取值范圍是e6．(多選)(2021·廣東佛山順德容山中學(xué)高三月考)若函數(shù)f(x)＝ex－1與g(x)＝ax的圖象恰有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的可能取值為()A．2B．0C.1D．－1答案BCD解析f(x)＝ex－1與g(x)＝ax恒過(0,0)，如圖，當(dāng)a≤0時，兩函數(shù)圖象恰有一個公共點(diǎn)；當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)＝ex－1與g(x)＝ax的圖象恰有一個公共點(diǎn)，則g(x)＝ax為f(x)＝ex－1的切線，且切點(diǎn)為(0,0)，因?yàn)閒′(x)＝ex，所以a＝f′(0)＝e0＝1.故選BCD.7．(多選)(2022·湖北恩施州高三上第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)已知函數(shù)f(x)＝|sinx|cosx，則以下敘述正確的是()A．若f(x1)＝f(x2)，則x1＝x2＋kπ(k∈Z)B．f(x)的最小正周期為2ππ3π，上單調(diào)遞減C．f(x)在44D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝kπ(k∈Z)對稱答案BCD解析f(x)＝|sinx|cosxsinxcosx，sinx≥0，＝－sinxcosx，sinx<0，1sin2x，2kπ≤x≤π＋2kπk∈Z，2＝12－sin2x，π＋2kπ<x<2π＋2kπk∈Z，作出f(x)的圖象如圖，π對于A，由圖知，若f(x1)＝f(x2)，不一定有x1＝x2＋kπ(k∈Z)，如取x1＝－4，x2＝4π，此時滿足f(x1)＝f(x2)，但不滿足x1＝x2＋kπ(k∈Z)，故A不正確；對于B，π3π由圖知f(x)的最小正周期為2π，故B正確；對于C，由圖知f(x)在，上單調(diào)44遞減，故C正確；對于D，由圖知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝kπ(k∈Z)對稱，故D正確．故選BCD.8．(多選)(2021·山東萊西一中、高密一中、棗莊三中模擬)設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動到(2，t)時，|PF|＝4，直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(4,1)．下列結(jié)論正確的是(A．拋物線的方程為y2＝4x)B．|PM|＋|PF|的最小值為6C．存在直線l，使得A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線x＋y－6＝0對稱D．當(dāng)直線l過焦點(diǎn)F時，以AF為直徑的圓與y軸相切答案BD解析因?yàn)辄c(diǎn)P為拋物線y2＝2px(p>0)上的動點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動到(2，t)時，|PF|p2＝4，所以|PF|＝2＋＝4，p＝4，故y2＝8x，A錯誤；過點(diǎn)P作PE垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)E，則|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PE|≥6，當(dāng)P，E，M三點(diǎn)共線時等號成立，B正確；假設(shè)存在直線l，使得A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線x＋y－6＝0對稱，則直線l的斜率為1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)H(x0，y0)，則y12＝8x1，y2＝8x2，兩式相減得到(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，即y1－y2＝8，＋2xxyy－121因?yàn)閥1－y2＝1，y1＋y2＝2y0，所以2y08＝1，故y0＝4，x0＝2，而點(diǎn)(2,4)在拋物線x1－x2上，故不存在直線l，使得A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線x＋y－6＝0對稱，C錯誤；過點(diǎn)A作AC垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)Q，取AF的中點(diǎn)為G，過點(diǎn)G作GD垂121212直y軸于點(diǎn)D，則|DG|＝(|OF|＋|AQ|)＝|AC|＝|AF|，故以AF為直徑的圓與y軸相切，D正確．故選BD.二、填空題9．已知函數(shù)f(x)＝log(x＋1)，且a>b>c>0，則fafbfc，，的大小關(guān)系為2abc________．fafbfcabc答案<<解析作出函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)的大致圖象，如圖所示，可知當(dāng)x>0時，曲線上各點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率隨x的增大而減小，因?yàn)閍>b>c>0，所以fafbfc<<.abcπ10．不等式||－sinx＜0，x∈[－π，2π]的解集為________．x2π22π答案－π，－∪∪(π，2π)0，π2解析在同一坐標(biāo)系中分別作出y＝|x|－與y＝sinx的圖象如圖，根據(jù)圖象π22π可得不等式的解集為－π，－∪∪(π，2π)．0，11．(2021·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三模擬)已知點(diǎn)F1(－3，0)，F(xiàn)2(3,0)分別是雙曲xy22線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，M是C右支上的一點(diǎn)，MF1與y軸a2b2交于點(diǎn)P，△MPF2的內(nèi)切圓在邊PF2上的切點(diǎn)為Q，若|PQ|＝2，則C的離心率為________．32答案解析設(shè)△MPF2的內(nèi)切圓在邊MF2上的切點(diǎn)為K，在MP上的切點(diǎn)為N，如圖所示．則|PF1|＝|PF2|，|PQ|＝|PN|＝2，|QF2|＝|KF2|，|MN|＝|MK|，則|PF1|＝|PF2|＝|PQ|＋|QF2|＝2＋|QF2|，由雙曲線的定義可得|MF1|－|MF2|＝|MP|＋|PF1|－|MK|－|KF2|＝|MP|＋2＋|QF2|－|MK|－|KF2|＝2＋|MP|－|MN|＝4＝2a，解得a＝2，又cc3＝3，所以離心率e＝＝.a21＋a，若對任12．(2022·上海控江中學(xué)高三上開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)＝＋xx1意實(shí)數(shù)a，關(guān)于x的不等式f(x)≥m在區(qū)間，3上總有解，則實(shí)數(shù)m的取值范2圍為________．2答案－∞，3解析y＝x＋1在區(qū)間，3上的圖象如下圖所示，12x1根據(jù)題意，對任意實(shí)數(shù)a，關(guān)于x的不等式f(x)≥m在區(qū)間，3上總有解，21則只要找到其中一個實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)＝x＋＋的最大值最小即可，如圖，ax函數(shù)y＝x＋1的圖象向下平移到一定程度時，函數(shù)f(x)＝1＋的最大值最x＋axx?。藭r只有當(dāng)f(1)＝f(3)時，才能保證函數(shù)f(x)的最大值最?。O(shè)函數(shù)y＝x＋1的x圖象向下平移了t(t>0)個單位，所以103－t＝－(2－t)，解得t＝83.所以此時函數(shù)f(x)的最大值為－＝，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為－∞，10823332.3三、解答題13．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)＝1和兩點(diǎn)A(－m,0)，B(m，0)(m>0)．若圓2C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，求m的最大值．解根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m.12因?yàn)椤螦PB＝90°，連接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離．因?yàn)閨OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值為6.14．記實(shí)數(shù)x1，x2，…，x中的最小數(shù)為min{x1，x2，…，x}，求定義在區(qū)nn間[0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的最大值．解在同一坐標(biāo)系中作出三個函數(shù)y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的圖象如圖．由圖可知，在實(shí)數(shù)集R上，min{x2＋1，x＋3,13－x}為直線y＝x＋3上A點(diǎn)下方的射線，拋物線AB之間的部分，線段BC與直線y＝13－x上C點(diǎn)下方的部分的組合圖．顯然，在區(qū)間[0，＋∞)上，在C點(diǎn)時，y＝min{x2＋1，x＋3,13－x}取得最大值．y＝x＋3，解方程組得點(diǎn)C(5,8)．y＝13－x，所以f(x)max＝8.15．設(shè)A，B在圓x2＋y＝1上運(yùn)動，且|AB|＝3，點(diǎn)P在直線l：3x＋4y－212＝0上運(yùn)動，求|PA→＋PB→|的最小值．解設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則PA→→→＋PB＝2PD，→→∴當(dāng)且僅當(dāng)O，D，P三點(diǎn)共線且OP⊥l時，|PA＋PB|取得最小值．12125∵圓心到直線l的距離為＝，9＋1631|OD|＝1－＝，42121195∴|PA→→＋PB|的最小值為2×－＝.52fx，x≤0，12fxaxaxgxx其中()＝－3，()＝－lnx，方16．設(shè)函數(shù)F(x)＝32x，x>0，g程F(x)＝a2有且僅有4個解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解若x∈(0，＋∞)，則F(x)＝g(x)，F(xiàn)′(x)＝g′(x)＝x－1，x當(dāng)x∈(0,1)時，g′(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，12所以當(dāng)x＝1時，g(x)取極小值g(1)＝.若x∈(－∞，0]，則F(x)＝f(x)．①當(dāng)a＝0時，方程F(x)＝a2＝0不可能有4個解；②當(dāng)a<0時，因?yàn)閒′(x)＝3a(x2－1)，當(dāng)x∈(－1,0]時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(－∞，－1)時，f′(x)<0，所以當(dāng)x＝－1時，f(x)取得極小值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的圖象如圖1所示，從圖象可以看出F(x)＝a2不可能有4個解；③當(dāng)a>0時，當(dāng)x∈(－∞，－1)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(－1,0]時，f′(x)<0，所以當(dāng)x＝－1時，f(x)取得極大值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的圖象如圖2所示，由圖象可知，方程F(x)＝a2若有4，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是22，2.1212個解，則<a2<2a，且2a>轉(zhuǎn)化與化歸思想專練一、選擇題1．如果a1，a2，a3，…，an為各項都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0，則以下關(guān)系正確的為()A．a(chǎn)1a8>a4a5B．a(chǎn)1a8<a4a5D．a(chǎn)1a8＝a4a5C．a(chǎn)1＋a8>a4＋a5答案B解析取特殊數(shù)列，不妨設(shè)a＝n，則a1＝1，a4＝4，a5＝5，a8＝8，經(jīng)檢n驗(yàn)，只有選項B成立．故選B.2．若命題“?x∈R，使得x2＋mx＋2m－3<0”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[2,6]B．[－6，－2]D．(－6，－2)C．(2,6)答案A解析∵命題“?x∈R，使得x2＋mx＋2m－3<0”為假命題，∴命題“?x∈R，使得x2＋mx＋2m－3≥0”為真命題，∴Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6.故選A.3．(2021·陜西咸陽第三次模擬)已知拋物線C：y2＝8x，點(diǎn)P，Q是拋物線上任意兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，且|PQ|＝10，則M到y(tǒng)軸距離的最小值為()A．9B．8D．3C.4答案D解析設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，拋物線焦點(diǎn)為F，由C：y2＝8x可知p＝4，∵|PQ|≤|PF|＋|QF|＝x1＋x2＋p，當(dāng)且僅當(dāng)P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線時等號成立，∴x1＋x2≥10－4＝6，∴PQ的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的值為x1＋2x2≥3，即M到y(tǒng)軸距離的最小值為3，此時P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線．故選D.12－4．(2022·江蘇鹽城伍佑中學(xué)高三上第一次階段考試)已知函數(shù)f(x)＝－x2cosx，g(x)＝x2－k，若f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點(diǎn)，則k的值為()B．－1B．0D．2C.1答案C解析∵f(x)與g(x)圖象有且僅有一個公共點(diǎn)，∴f(x)＝g(x)有唯一解，即k3232＝＋cosx有唯一解，令h(x)＝＋cosx，x2x2則h′(x)＝3x－sinx，h″(x)＝3－cosx，∵cosx∈[－1,1]，∴h″(x)>0，∴h′(x)在R上單調(diào)遞增，又h′(0)＝0，∴當(dāng)x∈(－∞，0)時，h′(x)<0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時，h′(x)>0；∴h(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴h(x)min32＝h(0)＝1，可得h(x)的大致圖象如圖所示，k＝＋cosx有唯一解等價于y＝h(x)x2與y＝k的圖象有唯一交點(diǎn)，由圖象可知，當(dāng)k＝1時，y＝h(x)與y＝k的圖象有唯一交點(diǎn)，即f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點(diǎn)．故選C.5．(多選)(2021·廣東深圳外國語學(xué)校月考)已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a－2ea＝b1－c＝1，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則(a－c)2＋(b－d)2的值可能是(d－1)A．7B．8C.9D．10答案BCDa－2ea1－c＝1解析＝1?b＝a－2ea，令f(x)＝x－2ex，∴f′(x)＝1－2ex，d－1b?d＝－c＋2，令g(x)＝－x＋2，則(a－c)＋(b－d)2表示y＝f(x)圖象上一點(diǎn)M(a，2b)與y＝g(x)圖象上一點(diǎn)N(c，d)的距離的平方，設(shè)y＝f(x)圖象上與y＝g(x)圖象平行的切線的切點(diǎn)為M0(x0，y0)，f′(x0)＝1－2ex0＝－1?x0＝0，∴切點(diǎn)為M0(0，|0－2－2|－2)，∴切點(diǎn)M0(0，－2)到y(tǒng)＝g(x)圖象的距離的平方為＝8，即M(a，21＋1b)與N(c，d)的距離的平方的最小值為8，故選BCD.6．(多選)(2021·湖南師大附中高三月考)正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)在側(cè)面CDD1C1上運(yùn)動，且滿足B1F∥平面A1BE.以下命題正確的有()A．側(cè)面CDD1C1上存在點(diǎn)F，使得B1F⊥CD1B．直線B1F與直線BC所成的角可能為30°C．平面A1BE與平面CDD1C1所成銳二面角的正切值為22D．設(shè)正方體棱長為1，則過點(diǎn)E，F(xiàn)，A的平面截正方體所得的截面面積最大為25答案AC解析取C1D1的中點(diǎn)M，CC1的中點(diǎn)N，連接B1M，B1N，MN，則易證得B1N∥A1E，MN∥A1B，又B1N∩MN＝N，A1E∩A1B＝A1，從而平面B1MN∥平面A1BE，所以點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡為線段MN.取F為MN的中點(diǎn)，因?yàn)椤鰾1MN是等腰三角形，B1M＝B1N，所以B1F⊥MN，又因?yàn)镸N∥CD1，所以B1F⊥CD1，故A正確；設(shè)正方體的棱長為a，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)M或點(diǎn)13＝tan30°，N重合時，直線B1F與直線BC所成的角最大，此時tan∠C1B1F＝<23故B錯誤；平面B1MN∥平面A1BE，取F為MN的中點(diǎn)，連接C1F，則MN⊥C1F，MN⊥B1F，所以∠B1FC1即為平面B1MN與平面CDD1C1所成的銳二面角，BCtan∠B1FC1＝11＝22，故C正確；當(dāng)F為C1E與MN的交點(diǎn)時，截面為菱形CF1AGC1E(G為BB1的中點(diǎn))，截面面積為26，故D錯誤．故選AC.二、填空題7．(2022·江蘇常州前黃高級中學(xué)高三上學(xué)期期初考試)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若sinA＝3sinC，B＝30°，b＝2，則△ABC的面積是________．答案3解析在△ABC中，∵sinA＝3sinC，由正弦定理得a＝3c.∵B＝30°，由2＋c2－b2＝4c2－423c2余弦定理，得cosB＝cos30°＝23＝a，解得c＝2，故△ABC是2ac12等腰三角形，C＝B＝30°，A＝120°.故△ABC的面積為bcsinA＝3.8．設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)對任意a∈[－1，1]恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為__________________．答案(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析∵f(x)在R上是增函數(shù)，∴由f(1－ax－x2)≤f(2－a)，可得1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]，∴a(x－1)＋x2＋1≥0對a∈[－1,1]恒成立．令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1，則當(dāng)且僅當(dāng)g(－1)＝x2－x＋2≥0，g(1)＝x2＋x≥0恒成立，解得x≥0或x≤－1.故實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－∞，－1]∪[0，＋∞)．9．(2021·深圳高三調(diào)研考試二)已知正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上運(yùn)動(E不與A，B重合，F(xiàn)不與A，D重合)，將△AEF以EF為折痕折起，當(dāng)A，E，F(xiàn)位置變化時，所得五棱錐A－EBCDF體積的最大值為________．答案23解析不妨設(shè)AE＝3a，AF＝3b，a，b∈(0,1)，在直角三角形AEF中，易知3abab，又五棱錐A－EBCDF的底面面積為S＝9，1－2EF邊上的高為h＝2＋b2a13欲使五棱錐A－EBCDF的體積最大，須有平面AEF⊥平面EBCDF，∴Vmax＝Shabab2≥2ab，∴V≤91－·292(2＝ab－4ab2aba2＋b2＝91－·，∵a2＋bmax2ab92abab)，令t＝ab，則t∈(0,1)，∴Vmax≤·(2t－t4)，t∈(0,1)，令f(t)＝2t－t3，3t∈(0,1)，則f′(t)＝2－3t2，∴當(dāng)t＝36時，f(t)取得最大值46，∴V9246≤×949max＝23.綜上所述，當(dāng)a＝b＝36時，五棱錐A－EBCDF的體積取得最大值23.三、解答題10．(2022·廣東廣雅中學(xué)高三上月考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足12ana1＝，Sn＋1＝Sn＋2a＋1.n1是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a}的通項公式；n(2)若數(shù)列滿足b＝(2n＋1)2aann＋1，求數(shù)列的前n項和T.nnnna解(1)因?yàn)镾，＝S＋2a＋1nnn＋1naa，n可得S，即a－S＝2a＋1nnn＋1＝2a＋1n＋1nn2a＋1＝1＋2，即1－1＝2，aaaa可得1＝nan＋1nnn＋1n又由a，可得1＝2，所以數(shù)列121是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，na＝1a1所以1＝2＋(n－1)×2＝2n，所以a12n＝.ann12n11412n＋1＝1＋nn＋1＝1＋(2)由b＝(2n＋1)2aann＋1＝(2n＋1)2···n114n＋1n1－，·14則數(shù)列的前n項和T＝(1＋1＋…＋1)＋nn1223111n1－＋－＋…＋1－n＋12＋5n2＋5n4n＝1＝n＋1－×1＋1＝n＋4n＋14＋1，即T4n＋1.n4n＝n4nn2311．如圖，梯形EFBC中，EC∥FB，EF⊥BF，BF＝EC＝4，EF＝2，A是BF的中點(diǎn)，AD⊥EC，D在EC上，將四邊形AFED沿AD折起，使得平面ADEF⊥平面ABCD，點(diǎn)M是線段EC上異于E，C的任意一點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)M是EC的中點(diǎn)時，求證：BM∥平面ADEF；(2)當(dāng)平面BDM與平面ABF所成的銳二面角的正弦值為630時，求三棱錐E－BDM的體積．解(1)證法一：取ED的中點(diǎn)N，連接MN，AN，∵點(diǎn)M是EC的中點(diǎn)，12∴MN∥DC，且MN＝DC，12而AB∥DC，且AB＝DC，∴MN綊AB，即四邊形ABMN是平行四邊形，∴BM∥AN，又BM?平面ADEF，AN?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.證法二：∵AD⊥CD，AD⊥ED，平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴DA，DC，DE兩兩垂直．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，M(0,2,1)，∴BM→＝(－2,0,1)，又平面ADEF的一個法向量為DC→＝(0,4,0)，BM→·DC→＝0，∴BM→⊥DC→，又BM?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.t2(2)依題意設(shè)點(diǎn)M0，t，2－(0<t<4)，設(shè)平面BDM的法向量為n1＝(x，y，z)，則DB→·n1＝2x＋2y＝0，DM→·n1＝ty＋2－z＝0，t2t24－t令y＝－1，則n1，－1，，＝1取平面ABF的一個法向量n2＝(1,0,0)