線垂題選

11線面垂直證明中的找線技巧通過計算，運(yùn)用股定理尋求線線垂直1

如圖，在正方體ABCDCD中，M為CC的中點，交BD于點O，求證1證明：連MO，A，∵DB⊥，DB，AAI，11∴DB⊥平面ACC，而平面ACC∴DB⊥O．1111設(shè)正方體長為a，則Aa，MO2．

AO1

平面MBD在eq\o\ac(△,Rt)

A中，AM11

2

2

．∵

AO1

2

MO

2

M1

2

，∴

AOOM1

．∵∩O，∴

AO1

⊥平面．

評注：在明垂直關(guān)系時，有時以利用棱長、角度小等數(shù)據(jù)通過計算來證明．利用面面直尋求線面垂直2如圖，⊥平面PAC．

P

是△所在平面外的一，且PA平面，平面⊥平面．求證：BC證明：在面內(nèi)作AD⊥于D因為平面⊥平面，且兩平面交于，平面PAC，且AD，由面面垂直的質(zhì)，得⊥平面PBC，∴AD⊥．∵⊥平面，BC平面ABC，∴PA⊥BC．∵∩=，∴⊥面PAC．（另外還證BC分別與相交直線，垂直，從而得到BC⊥平PAC）．

又∵面評注：已條件是線面垂直和面垂直，要證明兩條線垂直，將兩條直線中的一條納入一個面中，使另條直線與該平面垂直即從線面垂直得到線垂直．在空間圖形中，一級的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級垂直關(guān)系，通過本題以看到，面面垂直線面垂直線線垂直．一般來說線線垂直或面面垂直可轉(zhuǎn)化為線面垂直分析解決其關(guān)系為：線線垂直線垂直面面垂直．這三者之間的關(guān)非常密切，可以互相化，從前面推出后是判定定理，而從后面推前面是性質(zhì)定理．同學(xué)們當(dāng)學(xué)會靈活應(yīng)用這些定理明問題．下舉例說明．3如圖１所示，為正方形，⊥平面ABCD，過A且垂于的平面分別SD．

SB，SC，于E，F(xiàn)，G．求證：

，證明：∵SA平面，∴BC．∵AB∴BC平面．又∵平面SAB，∴AE．∵SC面AEFG，∴AE．∴AE平面SBC∴AESB．同理可證AG．評注：本題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中，平面到了關(guān)鍵作用，同學(xué)們應(yīng)注意考慮線和線所在平面的征，從而順利實現(xiàn)證所需要的轉(zhuǎn)化．4如圖２，在三棱錐ＡBCD中，BCAC，＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作⊥BE于．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中Ｆ連結(jié)，DF．∵，∴AB．∵∴DF．又CF，∴面．∵平面CDF，AB．又CDBE，ABB

，∴CD面ABE，．∵AHCD，AH，CDIE

，∴

平面BCD．

11111習(xí)題精選11111評注：本題在運(yùn)用判定理證明線面垂直時，將問轉(zhuǎn)化為證明線線垂；而證明線垂直時，又轉(zhuǎn)化為明線面垂直．如此復(fù)，直到證得結(jié)．5

如圖３，

AB

是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點，PA平面ABC．若AE

，為垂足，Ｆ是PB上任意一點，求證：面AEF⊥平面PBC證明：∵是圓Ｏ的直徑，∴

AC

．∵面ABC，BC

平面ABC，∴

PA

BC∴面APC．∵BC平面PBC，∴平面APC平面PBC∵AE⊥PC平面APC∩面PBCPC，∴AE⊥平面．∵

AE平面AEF，∴平面AEF⊥面PBC．評注：證明兩個平面垂時，一般可先從現(xiàn)有的直中尋找平面的垂線

即證線面直而證線面垂直則需從已知條件發(fā)尋找線線垂直的關(guān)．空間四邊形中，若⊥，BC⊥AD，求證：AC⊥ADBO證明：過A作⊥平面BCD于OBO

同理BCDO∴為△的垂心

是BD證明：在正體ABCD－ABCD中，AC平面DD

1

1A1

B

1DCAB證明：連ACBDACAC為AC在平面上的射影ACBD證1如圖，

PA

平面，ABCD是矩形，M、N分別是、PC中點，證：

MNNDA

M

B.證：取PD中點，則

22222習(xí)題22222NDA

M

BAMAE/MN又AD面PADPA面CAE平面

//ABMN//9圖在ΔABC中，ADBC，，過作FG∥BC，分析：弄清折疊后，圖形中各元素之的數(shù)量關(guān)系和位置系。

且將Δ沿FG折起，使∠A'ED=60°，求證:A'E⊥平面A'BCC解：

G

D∵FG∥BC，AD⊥BC∴A'E⊥FG∴A'E⊥設(shè)'E=a，則ED=2a

A

EF

B由余弦定得：A'D=A'E-2?A'=3a

2∴ED=A'D+A'E∴A'D⊥AE∴A'E⊥平面A'BC10如圖,在空間四邊形SABC中面ABC,ABC90SB于NAMSC于M。求證:①ANBC;②SC平分析:①要證BC轉(zhuǎn)證平面。②要證SC平面轉(zhuǎn)證,直于平面的兩條相交直線即證SCAM,SCAN。要證SCAN轉(zhuǎn)證平面,就可以了。證明:①∵面∴又∵AB,且AB=A∴平面∵AN

平面∴BC②∵ANBC,ANSB,且∴平面∵SCC面SBC∴SC

=B又∵AMSC且AM∴面

AN=11已知如圖，平面ABC∠APB=，∠BPC=90°求證平面ABC平面PBC分析：要明面面垂直，只要在呈平面內(nèi)找一條線然后證明直線與另一平面直即可。顯然中點D證明AD垂直平PBC即可證明：取中點D連結(jié)AD、PD∵PA=PB；∴ΔPAB為正三角形同理ΔPAC為正三角形設(shè)PA=a

在RT中，PB=PC=aBC=

a∴PD=

22

a

在ΔABC中AD=

AFAF面AFPCAFAF面AFPC=

22

a∵AD2+PD2

2a

=a22∴ΔAPD為直角三角即AD⊥DP∵AD⊥BC∴AD平面PBC∴平面ABC平面PBC13以為直徑的圓在平面

內(nèi)，

于A，C在圓上，連PB、PC過A作AE⊥PB于EAF⊥PC，試判斷圖還有幾組面垂直。EA

B解：PAPABCBC面AB為直徑BC

AF面BC

AFPBAE

PB

面AEF［例1］如圖9—39，過引三條長相等但不共面的線段SA、、SC，且∠ASB=∠°，∠°，求證：平面ABC⊥平面BSC．【證明】，∠ASB=∠°∴AB=SA=AC取BC的中點O，連AO、，則⊥BC，SO⊥BC，∴∠為二面角的平面，設(shè)SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=

2

，SO=

，

=AC2

－OC

2

－

=

，∴SA

=AO2

+OS2

，∴∠°，從而平面⊥平面BSC．【評述】證兩平面垂直，證其面角的平面角為直．這也是兩平面垂直的常用方法．［例2］如圖—，在三棱錐—ABC中，SA⊥平面ABC，平面⊥平面．圖9—40（1）求證：AB⊥；（）若設(shè)面角S—BC為45°，，求二面角A——的大?。?）【證明】作⊥SB于H，∵面⊥平面SBC．平面∩平面，∴⊥平面SBC，又⊥平面ABC，∴⊥BC，而SA在平面SBC上的射影為，∴BC⊥SB又SA∩，∴BC⊥面SAB．∴⊥．（2）【解】∵⊥平面ABC，∴平面SAB⊥平面ABC，又平面⊥平面，∴∠SBA為二面角—BC—A的平面角，∴∠．設(shè)SA=AB=BC=a，

作AE，連EH，則EH⊥SC，∴∠AEH為二面角——B平面角，而AH=

a，AC=

2

SC=

AE=

a∴sin∠AEH=，二面角A—SC為60．【注】三線法是作二面角的平角的常用方法．

11111111111111111111111111111［例3］如圖—，⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，，M、N別是AB、PC的中點．（1）求平面PCD與平面ABCD所成的二面角的大??；（2）求證：平面MND⊥平面PCD（1）【解】PA⊥平面，⊥，∴PD⊥CD，故PDA平面ABCD與平面PCD所成二面角的平面角，在eq\o\ac(△,)PAD中，PA=AD∴∠PDA=45°（2）【證明】取PD中點E，連結(jié)，EA，則ENCDAM，∴四邊形是平行四邊形，∴EA∥MN．∵⊥PD，AE⊥CD，∴⊥平面PCD，從而MN⊥平面，∵M(jìn)N平面MND，∴平MND⊥平面PCD．【注】證面面垂直通常是先證明線面垂，本題中要證MN⊥平PCD較困難，轉(zhuǎn)化為證明⊥平面就較簡單了．另外，在本題中，AB的度變化時，可求異面線與AD所成角的圍．［例4］如圖—，正方體ABCDABCD中，、F、M、N別是AB、BC、D、BC的中點．圖9—42（1）求證：平面MNF⊥平面ENF．（）求二面角MEF—N的平面的正切值（1）【證明】∵M(jìn)N、E是中點，∴

EBNCM111

∴

∴

MNE

即MNEN，又NF⊥平面AC，

MNA1∴MNNF，從而MN平面ENF．∵

平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF．（2）【解】過N作NH⊥EFH，連結(jié)MH．∵M(jìn)N⊥平面ENF，NH為MH在平面ENF內(nèi)的射影，

∴由三垂定理得MH⊥EF，∴∠MHN是二面角MEF—N的平面角．在eq\o\ac(△,Rt)MNH中，求得MN=

，NH=

，∴tanMHN=

MN6NH2

，即二面M—EF—的平面角的切值為

62

．［例5］在長方體ABCD—ABCD中，底面ABCD是邊長為

的正方形側(cè)棱長為

3

，、F別是AB、的中點，求證：平面DEF平面C．【證明】圖—，∵E、F分別是AB、的中點，圖9—43∴∥AC．∵=CB，O的中點．∴BO⊥．故B⊥EF．在BO中，∵=

3

，BO=1．

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111∴∠BBO=30°，從而∠OB=60°，又D=2，O=OB=1（O為BO與EF的交點）∴△DBO是直角三角形，即O⊥D，∴O⊥平面DEF．又O平面ABC，∴平⊥平面ABC．1．棱長都是的直行六面體ABCD—ACD中，∠BAD=60°，則對角線C與側(cè)面DCCD所成角的正弦值為_．【解】過作AG⊥CD于G，由于該平行六面體是直平行六面體，∴G⊥面D，連結(jié)CG，∠CG即為AC與側(cè)面DCCD所成的角∵AAD·sin∠ADG=2sin60°=2·

=

而AC=

ABcos120

=

)23

∴A

A

AC

12

，∴sin∠ACG=

AG31A1

．【答案

2．E、F別是正方形的邊和CD的中點，EF、BD相交于O，以棱將正方形折成直二面角，則∠．【解析】正方形的邊長為．則

=a2

+a2

=2a2

OB

=a2

+a2

=2a2

DB2

=DF2

=a2

+4a2

+a2

=6a2

∴∠

aa2a

2

∴∠DOB=120°3．如圖9—44，已知斜三棱ABC—AC的各棱長均為，側(cè)棱與底面

的角，側(cè)ABBA垂直于底面，圖9—44（1）證明：⊥CA．（）求四棱錐—ACCA的體積．

11111111111111111111133BCBAACCBC11111111111111111111133BCBAACCBCCD11111（1）【證明】過作BO⊥于O，∵面A⊥底面，面

AAAB1

∴BO⊥，∴∠BA是側(cè)棱與底面所角，∴∠BA=，又各棱長均為，∴O為AB的中點，連CO則CO⊥AB，而∩CO=O，∴⊥平面B，又BC平面C，∴B⊥，連BC，∵B為邊長為的菱形，∴BC⊥BC，而ABBC=B，∴BC⊥面ABC∵AC面ABC∴C⊥

（2）【解】在O中，BB，BO=1，1O=，V柱=Sh=·4·，∴=V柱=1，VV－=3－1=24．如圖9—45，四棱錐—ABCD的底面是邊長為的正方形，PA⊥底面ABCD，為AB的點，且PA=AB．圖9—45（1）求證：平面PCE⊥平面PCD；（2求點到平面PCE的距離．（1）【證明】⊥平面ABCD，是PD底面上的影，又∵四邊為矩，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∩PD=D∴CD⊥面PAD∴∠PDA二面角—CD的平面角，∵PA=PB=AD，⊥AD∴∠PDA=45°，取eq\o\ac(△,Rt)PAD斜邊PD的中點F，則⊥PD，∵AF面∴CD⊥AF，

又PD∩CD=D∴AF⊥面PCD，取PC的中點G，連GF、、，則GF

CD又AE

CD∴AE∴四邊為平行四邊形∥EG，∴EG⊥平面又平面，∴平面⊥平面PCD．（2）【解】由（1）知AF∥平面，平面PCD⊥平面PEC，過作FH⊥于H，則FH⊥平面PEC∴FH為F到平面PEC的距離，即為A到平面PEC的距離．在△PFH△PCD中∠P為公共角，F(xiàn)HPF而∠FHP=∠°，∴△PFH∽△．∴，設(shè)，∴PF=

，PC=

CD3

，∴

3

∴A平面距離為

．5．已知直四棱柱—ABCD的底面是菱形，對角線BD=2

3

，E、別為棱CC上的點，且滿足EC=BC=2FB圖9—46（1）求證：平面AEF⊥面AACC；（）求異面線EF、AC所成角的余弦．

（【證明∵菱形對角線AC=2BD=2

3

∴BC=2，EC=2FB=1取AE中M連結(jié)MF，設(shè)BD與AC交于點MO

EC

11111習(xí)題精選講11111平面AEF⊥平面ACCA（2）在上取點N使AN=2連結(jié)NE，則ACAC故∠NEF異面直AC與EF所成的角，連結(jié)，在直角梯形NABF中易求得NF=

5

，同理求EF=

5

．在△ENF，cos∠NEF=

5

，即EFAC所成角的余弦值為

．【解題指】在證明兩平面垂直，一般方法是先從有的直線尋找平面的垂線；若沒有這樣直線，則可通過作助線來解，而作輔助線應(yīng)有理論根據(jù)并且要利于證明，不能隨添加．在有平面垂直時，般要用性質(zhì)定理，在一個面內(nèi)作交線的垂線，使之化為線面垂．解決