2022屆上海市寶山區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，，，為實數(shù)，且，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．充要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可證明必要性，舉例可判定不充分性.【詳解】已知，若“”成立，則利用不等式的可加性得到成立，即“”成立，∴“”是“”的必要條件；反之“”成立時不一定有“”成立，例如：,滿足而“”不成立，∴“”是“”的不充分條件.綜上，“”是“”的必要不充分條件，故選：.2．已知是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．如果兩條直線都平行于同一個平面，那么這兩條直線互相平行B．過已知平面的一條斜線有且只有一個平面與已知平面垂直C．平面不垂直平面，但平面內(nèi)存在直線垂直于平面D．若直線不垂直于平面，則在平面內(nèi)不存在與垂直的直線【答案】B【分析】舉特例說明判斷A；由平面的基本事實及線面垂直的性質(zhì)推理判斷B；推理說明判斷C；舉例說明判斷D作答.【詳解】正方體中，直線、直線都平行于平面，而直線與相交，A不正確；如圖，直線是平面的斜線，，點P是直線l上除斜足外的任意一點，過點P作于點A，則直線是斜線在平面內(nèi)射影，直線與直線確定平面，而平面，則平面平面，即過斜線有一個平面垂直于平面，因平面的一條斜線在此平面內(nèi)的射影是唯一的，則直線與直線確定的平面唯一，所以過已知平面的一條斜線有且只有一個平面與已知平面垂直，B正確；如果平面內(nèi)存在直線垂直于平面，由面面垂直的判斷知，平面垂直于平面，因此，平面不垂直平面，則平面內(nèi)不存在直線垂直于平面，C不正確；如圖，在正方體中，平面為平面，直線為直線，顯然直線不垂直于平面，而平面內(nèi)直線都垂直于直線，D不正確.故選：B3．關(guān)于函數(shù)和實數(shù)的下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，即可得到此類函數(shù)的規(guī)律是自變量離原點越近，函數(shù)值越小，即自變量的絕對值小，函數(shù)值就小，反之也成立，從而一一判斷即可；【詳解】解：因為，所以函數(shù)是一個偶函數(shù)，又時，與是增函數(shù)，且函數(shù)值為正數(shù)，故函數(shù)在上是一個增函數(shù)由偶函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)在上是一個減函數(shù)，此類函數(shù)的規(guī)律是自變量離原點越近，函數(shù)值越小，即自變量的絕對值小，函數(shù)值就小，反之也成立，考察四個選項，A選項，由，無法判斷，離原點的遠(yuǎn)近，故A錯誤；B選項，，則的絕對值大，故其函數(shù)值也大，故B不對；C選項是正確的，由，一定得出；D選項由，可得出，但不能得出，不成立，故選：C．4．設(shè)函數(shù)，其中，若、、是的三條邊長，則下列結(jié)論：①對于一切都有；②存在使、、不能構(gòu)成一個三角形的三邊長；③為鈍角三角形，存在，使，其中正確的個數(shù)為______個A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，可推導(dǎo)出，從而可得，可知①正確；通過取值可知存在取值使得取值不滿足三邊關(guān)系，可知②正確；根據(jù)余弦定理可知，可得，再結(jié)合，可知，由零點存在性定理可知③正確；由此可得選項.【詳解】①令

在上單調(diào)遞減

在上單調(diào)遞減當(dāng)時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：

又

時，都有，可知①正確；②取，，，則，不滿足三角形三邊關(guān)系，可知②正確；③為鈍角三角形

，從而又，由零點存在性定理，可知③正確本題正確選項：【點睛】本題考查函數(shù)與解三角形知識的綜合應(yīng)用問題，其中涉及到零點存在定理的應(yīng)用、余弦定理及三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性問題，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù)來對問題進行求解.二、填空題5．設(shè)集合A＝｛x｜－＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，則A∪B＝_______．【答案】｛x｜－1≤x＜2｝【詳解】試題分析：因為，，所以.【解析】一元二次不等式的解法、集合的運算.6．如果函數(shù)是奇函數(shù)，則__．【答案】【分析】利用函數(shù)是奇函數(shù)，即可求解.【詳解】設(shè)，.故答案為：7．若線性方程組的增廣矩陣為、解為，則．【答案】【詳解】由題意得：【解析】線性方程組的增廣矩陣8．方程cos2x+sinx=1在上的解集是_______________．【答案】【詳解】9．若正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為1，則此三棱錐的體積為________．【答案】【詳解】試題分析：記正三棱錐為，點在底面內(nèi)的射影為點，則，在中，，所以.【解析】正三棱錐的性質(zhì)和體積的計算.10．若一組樣本數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，則該組數(shù)據(jù)的方差_____________.【答案】【解析】由平均數(shù)為5可求，根據(jù)方差方式求即可.【詳解】由題意知：，所以，而，∴11．已知點在不等式組，表示的平面區(qū)域上運動，則的取值范圍是__________【答案】【分析】畫出可行域，然后利用目標(biāo)函數(shù)的等值線在可行域中進行平移，根據(jù)或含的式子的含義，目標(biāo)函數(shù)取最值得最優(yōu)解，可得結(jié)果.【詳解】如圖令，則為目標(biāo)函數(shù)的一條等值線將等值線延軸正半軸方向移到到點則點是目標(biāo)函數(shù)取最小值得最優(yōu)解將等值線延軸負(fù)半軸方向移到到點則點是目標(biāo)函數(shù)取最大值得最優(yōu)解所以所以故答案為：【點睛】本題考查線性規(guī)劃，一般步驟：（1）作出可行域；（2）理解或含的式子的含義，利用等值線在可行域中移動找到目標(biāo)函數(shù)取最值得最優(yōu)解，屬基礎(chǔ)題.12．已知是雙曲線上的點，過點作雙曲線兩漸近線的平行線，直線分別交軸于兩點，則__．【答案】4【分析】首先設(shè)點，分別求直線的方程，利用坐標(biāo)表示的值.【詳解】雙曲線兩漸近線的斜率為，設(shè)點，則、的方程分別為，，所以、坐標(biāo)為，，所以，又點在雙曲線上，則，所以．故答案為：413．已知分別為三個內(nèi)角的對邊，，則__．【答案】60°【分析】根據(jù)余弦定理求，再根據(jù)余弦定理求角.【詳解】由余弦定理得，由余弦定理得，因為，所以．故答案為：14．某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)（簡稱系統(tǒng)）和，系統(tǒng)和系統(tǒng)在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和，若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，則________【答案】【分析】根據(jù)相互獨立事件概率的乘法公式和互斥事件的加法公式列方程即可求解.【詳解】由題意可得：，整理可得：，解得：，故答案為：.15．已知直線與直線互相平行且距離為.等差數(shù)列的公差為，且，令，則的值為__．【答案】52【分析】根據(jù)平行線的距離求出d和m的值，利用等差數(shù)列的定義和性質(zhì)求出通項公式，進而求和即可.【詳解】由題意知，，因為兩直線平行，所以，解得，由兩平行直線間距離公式得，由，解得或.又，所以，即，解得，所以.所以．故答案為：52.16．已知分別是邊的中點，是線段上的一動點(不包含兩點)，且滿足，則的最小值為__．【答案】【分析】由三點共線得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由于是上的一動點(不包含兩點)，且滿足，所以且，以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．故答案為：三、解答題17．在長方體－中，，，點是棱上的點，.(1)求異面直線與所成角的大??；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）先作出異面直線與所成角，再去求其大小即可（2）依據(jù)三棱錐等體積法去求點到平面的距離．【詳解】(1)在平面ABCD內(nèi)作交于，連接，則為異面直線與所成角或其補角.因為，所以，所以，因為，所以而所以△為正三角形，，從而異面直線與所成角的大小為.(2)設(shè)點到平面的距離為，，，由得，所以．18．某地區(qū)的一種特色水果上市時間個月中，預(yù)測上市初期和后期會因供不應(yīng)求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌，現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù):①②③(以上三式中均為非零常數(shù)，.)(1)為準(zhǔn)確研究其價格走勢，應(yīng)選哪種價格模擬函數(shù)，為什么?(2)若求出所選函數(shù)的解析式(注：函數(shù)的定義域是，其中表示月份，表示月份，，以此類推)，為保證果農(nóng)的收益，打算在價格在元以下期間積極拓寬外銷渠道，請你預(yù)測該水果在哪幾個月份要采用外銷策略？【答案】(1)選③，理由見解析；(2)第月份應(yīng)該采取外銷策略.【分析】（1）分析給定的3個函數(shù)的圖象特征，結(jié)合已知判斷作答.（3）將給定數(shù)據(jù)代入選定的函數(shù)，求出待定系數(shù)，再在指定范圍內(nèi)求的x取值作答.【詳解】(1)對于①，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，不符合題意，對于②，二次函數(shù)的圖象不具備先上升，后下降，再上升的特點，不符合題意，對于③，當(dāng)時，函數(shù)在上的圖象是上升的，在上的圖象是下降的，在上的圖象是上升的，滿足題設(shè)條件，應(yīng)選③.(2)依題意，，解得，則，由，即，而，解得，所以該水果在第月份應(yīng)該采取外銷策略.19．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求滿足的的取值范圍；（2）若的定義域為，又是奇函數(shù)，求的解析式，判斷其在上的單調(diào)性并加以證明．【答案】（1）；（2），在上遞減，證明見解析.【分析】(1)由題意可得從中解得,解此指數(shù)不等式即可求得的取值范圍；(2)由可求得，，可求得，從而可得的解析式；利用單調(diào)性的定義，對任意，再作差最后判斷符號即可.【詳解】（1）由題意，，化簡得,解得,所以.（2）已知定義域為R，所以，又，所以；對任意可知,因為，所以，所以因此在R上遞減．【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于中檔題.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個，一是利用：（1）奇函數(shù)由恒成立求解，（2）偶函數(shù)由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函數(shù)一般由求解，偶函數(shù)一般由求解，用特殊法求解參數(shù)后，一定要注意驗證奇偶性.20．已知是橢圓的兩個焦點坐標(biāo)，是橢圓上的一個定點，是橢圓上的兩點，點的坐標(biāo)為.(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)兩點關(guān)于軸對稱，且為等邊三角形時，求的長；(3)當(dāng)兩點不關(guān)于軸對稱時，證明：△不可能為等邊三角形.【答案】(1)(2)或(3)證明見解析【分析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的方程；（2）設(shè)，，由為等邊三角形，得到.解出，求出；解出，求出.（3）設(shè)，證明出，與不關(guān)于軸對稱矛盾，即可得到不可能為等邊三角形.【詳解】(1)可設(shè)橢圓的方程為由題意得：，解得：，所以橢圓的方程為，即.(2)設(shè)，，因為為等邊三角形，所以.又點在橢圓上，所以，消去，得到，解得或，當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以.(3)設(shè)，則，且，所以，設(shè)，同理可得，且.因為在上單調(diào)，所以有，因為不關(guān)于軸對稱，所以，所以.所以不可能為等邊三角形.21．已知無窮數(shù)列的前項和為，且滿足，其中、、是常數(shù).（1）若，，，求數(shù)列的通項公式；（2）若，，，且，求數(shù)列的前項和；（3）試探究、、滿足什么條件時，數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列.【答案】（1）；（2）；（3），或或，．【詳解】試題分析：（1）已知與的關(guān)系，要求，一般是利用它們之間的關(guān)系，把，化為，得出數(shù)列的遞推關(guān)系，從而求得通項公式；（2）與（1）類似，先求出，時，推導(dǎo)出與之間的關(guān)系，求出通項公式，再求出前項和；（3）這是一類探究性命題，可假設(shè)結(jié)論成立，然后由這個假設(shè)的結(jié)論來推導(dǎo)出條件，本題設(shè)數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，則，，代入恒成立的等式，得對于一切正整數(shù)都成立，所以，，，得出這個結(jié)論之后，還要反過來，由這個條件證明數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，才能說明這個結(jié)論是正確的．在