2023屆上海市四校（復(fù)興中學(xué)、奉賢中學(xué)、金山中學(xué)、松江二中）高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的模為______.【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得.【詳解】，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)除法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前11項(xiàng)和＝___．【答案】【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再通過(guò)求和公式計(jì)算即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，.故答案為：.3．已知向量和滿足，則在方向上的數(shù)量投影為___．【答案】【分析】直接根據(jù)數(shù)量投影的公式求解即可.【詳解】,在方向上的數(shù)量投影為,故答案為：.4．某單位為了解該單位黨員開展學(xué)習(xí)黨史知識(shí)活動(dòng)情況，隨機(jī)抽取了部分黨員，對(duì)他們一周的黨史學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：黨史學(xué)習(xí)時(shí)間（小時(shí)）7891011黨員人數(shù)610987則該單位黨員一周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的第40百分位數(shù)是___．【答案】8.5##【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求出結(jié)果.【詳解】黨員人數(shù)一共有，，那么第40百分位數(shù)是第16和17個(gè)數(shù)的平均數(shù)，第16和17個(gè)數(shù)分別為8，9，所以第40百分位數(shù)是，故答案為：8.55．二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為___．【答案】【分析】先寫出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，然后令的次數(shù)為求出，進(jìn)而可得系數(shù).【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以含的項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.6．已知圓錐的底面半徑為2，底面圓心到某條母線的距離為1，則該圓錐的側(cè)面積為___．【答案】【分析】根據(jù)條件可以求出母線長(zhǎng)，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，為底面圓心，，，則，在中由等面積可知，即，又因?yàn)椋?，則，則該圓錐的側(cè)面積為，故答案為：.7．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，則△ABC的面積為___．【答案】【分析】利用余弦定理，求出，然后根據(jù)三角形面積公式即得．【詳解】∵中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，∴根據(jù)余弦定理可得，∴，即，∴或（舍去），所以△ABC的面積為.故答案為：．8．若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則a＝___．【答案】【分析】求導(dǎo)，然后通過(guò)求出，驗(yàn)證的值，保留使是函數(shù)的極大值點(diǎn)的即可.【詳解】由已知得，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，，解得或，當(dāng)時(shí)，，令，得或，令，得，此時(shí)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合，舍去；當(dāng)時(shí)，，令，得或，令，得，此時(shí)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，符合；綜上：.故答案為：9．非空集合中所有元素乘積記為．已知集合，從集合的所有非空子集中任選一個(gè)子集，則為偶數(shù)的概率是___（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）．【答案】【分析】首先求出集合的非空子集，若為奇數(shù)，則中元素全部為奇數(shù)，求出集合的非空子集個(gè)數(shù)，即可得到為偶數(shù)的集合的個(gè)數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】集合的非空子集有個(gè)，若為奇數(shù)，則中元素全部為奇數(shù)，又的非空子集個(gè)數(shù)，共有個(gè)，所以為偶數(shù)的共有種，故為偶數(shù)的概率．故答案為：．10．已知函數(shù)，且，則___．【答案】##【分析】利用正弦函數(shù)的的對(duì)稱性可得，由此求得的值．【詳解】∵函數(shù)，，（），則由正弦函數(shù)的對(duì)稱性可得：，所以，故答案為：.11．已知函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___．【答案】【分析】首先分析各段函數(shù)的單調(diào)性，依題意只需函數(shù)的值域?yàn)?，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)在各段的最大（?。┲?，即可得到不等式組，解得即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得，即函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增，則只需，解得；當(dāng)時(shí)在上的最小值為，則只需要，解得；綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：12．已知為拋物線的焦點(diǎn)，、、為拋物線上三點(diǎn)（允許重合），滿足，且，則的取值范圍是___．【答案】【分析】首先求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，設(shè)，，，根據(jù)焦半徑公式表示出，，，依題意可得，即可求出的取值范圍，即可得解.【詳解】解：設(shè)，，，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，所以，，，，又、、為拋物線上三點(diǎn)，顯然三點(diǎn)不完全重合，，即，，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)、，此時(shí)，顯然不成立，故等號(hào)不成立，因?yàn)椋?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)顯然不成立，故等號(hào)不成立，所以，所以，即，即.故答案為：二、單選題13．設(shè)，“”是“”的（

）條件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】B【分析】分別解出和，即可進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)?，則或者，因?yàn)?，則，即，則“”可以推出“”，反之不成立，所以“”是“”的必要非充分條件．故選：B.14．已知盒中裝有形狀完全相同的4個(gè)黑球與2個(gè)白球，現(xiàn)從中有放回的摸取4次，每次都是從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，設(shè)摸得白球個(gè)數(shù)為X，則為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由題可知，然后根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式即得.【詳解】因?yàn)楹兄醒b有形狀完全相同的4個(gè)黑球與2個(gè)白球，所以每次從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)白球的概率為，又摸球的過(guò)程是有放回的，故，所以.故選：A.15．《九章算術(shù)》中所述“羨除”，是指如圖所示五面體，其中，“羨除”形似“楔體”．“廣”是指“羨除”的三條平行側(cè)棱之長(zhǎng)、、，“深”是指一條側(cè)棱到另兩條側(cè)棱所在平面的距離、“袤”是指這兩條側(cè)棱所在平行直線之間的距離（如圖）．羨除的體積公式為，過(guò)線段，的中點(diǎn)，及直線作該羨除的一個(gè)截面，已知?jiǎng)偤脤⒘w除分成體積比為的兩部分．若、，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)梯形中位線求出，再根據(jù)所給“羨除”的體積公式表示出，，根據(jù)體積比得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?、、，，為線段，的中點(diǎn)，所以且，所以，，即，，因?yàn)?，即，解?故選：B16．考慮這樣的等腰三角形：它的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓：上，且其中恰有兩個(gè)頂點(diǎn)為的頂點(diǎn)．這樣的等腰三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】D【分析】對(duì)橢圓頂點(diǎn)連線是等腰三角形的腰還是底，進(jìn)行討論即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓的方程為，所以，①如圖1連接，當(dāng)為等腰三角形的底時(shí)，作的垂直平分線交橢圓于兩點(diǎn)，連接，則此時(shí)為等腰三角形，滿足題意；同理當(dāng)為等腰三角形的底時(shí)，也可以各作出2個(gè)滿足題意的等腰三角形；②如圖2連接，當(dāng)為等腰三角形的腰時(shí)，以為圓心，為半徑作圓，則圓的方程為，聯(lián)立，解得或或，即圓與橢圓交于，連接，則此時(shí)為等腰三角形，滿足題意；同理當(dāng)為等腰三角形的腰時(shí)，也可以各作出2個(gè)滿足題意的等腰三角形；③如圖③，以為圓心，為半徑作圓，同理可以證明圓與橢圓交于，連接，則此時(shí)為等腰三角形，滿足題意；④如圖④，以為圓心，為半徑作圓，同理可以作出2個(gè)等腰三角形；⑤因?yàn)橛捎跈E圓性質(zhì)知為橢圓最長(zhǎng)弦，所以它不能為等腰三角形的腰；綜上所述滿足題意的等腰三角形的個(gè)數(shù)有20個(gè).故選：D.【點(diǎn)睛】多種情況的題目需要對(duì)情況進(jìn)行詳細(xì)討論，做到不重不漏.三、解答題17．如圖，AB是圓柱底面圓的一條直徑，，PA是圓柱的母線，，點(diǎn)C是圓柱底面圓周上的點(diǎn)，．(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若點(diǎn)E在PA上且，求BE與平面PAC所成角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)或或.【分析】（1）依據(jù)線面垂直判定定理證明BC⊥平面PAC；（2）證明線面垂直，作出輔助線，找到與平面所成角，求出各邊長(zhǎng)，求出所成角的大小.【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，平面，所以，因?yàn)闉橹睆?，所以，因?yàn)?，平面，所以平?（2）由（1）知，為BE與平面PAC所成角．因?yàn)?，，所以，由勾股定理得：，，所以所以BE與平面PAC所成角為．或，所以BE與平面PAC所成角為．或所以BE與平面PAC所成角為．所以BE與平面PAC所成角為或或．18．已知，其中．(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)任意非零實(shí)數(shù)c，不等式均成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)判斷見解析．(2)【分析】（1）先求定義域，當(dāng)時(shí)，判斷奇偶性，當(dāng)時(shí)，利用奇偶性的定義判斷與的關(guān)系即可判斷；（2）根據(jù)基本不等式有，再利用三角不等式取等號(hào)條件即可得出結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，任取，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由，，得，且，為非奇非偶函數(shù)．（2）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，根據(jù)基本不等式有，所以，即，因?yàn)?，所以，由三角不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，實(shí)數(shù)t的取值范圍為．19．某公園為了美化環(huán)境和方便顧客，計(jì)劃建造一座圓弧形拱橋，已知該橋的剖面如圖所示，共包括一段圓弧形橋面ACB和兩段長(zhǎng)度相等的直線型橋面AD、BE，拱橋ACB所在圓的半徑為3米，圓心O在DE上，且AD和BE所在直線與圓O分別在連結(jié)點(diǎn)A和B處相切．根據(jù)空間限制及橋面坡度的限制，橋面跨度DE的長(zhǎng)要不大于18米，不小于12米．已知直線型橋面的修建費(fèi)用是每米0.6萬(wàn)元，弧形橋面的修建費(fèi)用是每米2.5萬(wàn)元，設(shè)．(1)若橋面（線段AD，BE和弧ACB）的修建總費(fèi)用為W萬(wàn)元，求W關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫出的取值范圍；(2)當(dāng)為何值時(shí)，橋面修建總費(fèi)用W最低？（角的取值精確到）【答案】(1)，；(2).【分析】（1）設(shè)為弧的中點(diǎn)，通過(guò)解直角三角形以及弧長(zhǎng)公式，表示出修建總費(fèi)用的表達(dá)式，根據(jù)長(zhǎng)度的限制，求得的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值.【詳解】（1）設(shè)為弧的中點(diǎn)，連結(jié)，，，則，，且，在中，，又因?yàn)?，所以弧長(zhǎng)為，所以，而，且，所以，顯然為銳角，所以，所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，；（2）因?yàn)椋?，設(shè)，則，令得，即，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)橋面修建總費(fèi)用最低.20．如圖，已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，且，的雙曲線的頂點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，且直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為A，B和C，D．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線，的斜率之積·為定值；(3)求的取值范圍．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據(jù)題意雙曲線的，且，進(jìn)而可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，利用斜率公式結(jié)合條件即可證出；（3）設(shè)直線的方程為，進(jìn)而求出直線的方程，把直線代入橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求出，同理求出弦長(zhǎng)，代入整理即可表示出，然后結(jié)合條件即得.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，且，即，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)點(diǎn)，由題可知，則，，所以，而由點(diǎn)在雙曲線上，可知，即有，從而，故；（3）由上可知，且，且不能同時(shí)取或，所以可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，把直線的方程為代入橢圓方程，整理得，設(shè)，，則有，，因此，同理可得，因此，又，所以，所以，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21．在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”．如數(shù)列1，2第1次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，3，2，第2次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，4，3，5，2.設(shè)數(shù)列a，b，c經(jīng)過(guò)第n次“和擴(kuò)充”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為，所有項(xiàng)的和記為．(1)若，求，；(2)設(shè)滿足的n的最小值為，求及（其中[x]是指不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，）；(3)是否存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得數(shù)列{}為等比數(shù)列？若存在，求b，c滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，；(2)，；(3)存在，詳見解析.【分析】（1）根據(jù)題中定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)“和擴(kuò)充”的方法，確定和的遞推關(guān)系式，利用配湊法求得的通項(xiàng)公式，解不等式求得的最小值，然后根據(jù)“和擴(kuò)充”的定義即得；（3）根據(jù)“和擴(kuò)充”的方法，利用等比數(shù)列求和公式結(jié)合條件可得，再根據(jù)等比數(shù)列的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）數(shù)列1,2,3，經(jīng)第1次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列為1,3,2,5,3，數(shù)列1,2,3，經(jīng)第2次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列為1,4,3,5,2,7,5,8,3，所以，；（2）數(shù)列經(jīng)每1次“和擴(kuò)充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中