..20XX04月真題講解一、前言

學(xué)員朋友們,你們好！現(xiàn)在,對《全國20XX4月高等教育自學(xué)考試概率論與數(shù)理統(tǒng)計〔經(jīng)管類試題》進行必要的分析,并詳細解答,供學(xué)員朋友們學(xué)習(xí)和應(yīng)試參考.

三點建議：一是在聽取本次串講前,請對課本內(nèi)容進行一次較全面的復(fù)習(xí),以便取得最佳的聽課效果；二是在聽取本次串講前,務(wù)必將本套試題獨立地做一遍,以便了解試題考察的知識點,以及個人對課程全部內(nèi)容的掌握情況,有重點的聽取本次串講；三是,在聽取串講的過程中,對重點、難點的題目,應(yīng)該反復(fù)多聽幾遍,探求解題規(guī)律,提高解題能力.

一點說明：本次串講所使用的課本是20XX8月第一版.

二、考點分析

1.總體印象

對本套試題的總體印象是：內(nèi)容比較常規(guī),個別題目略偏.內(nèi)容比較常規(guī)：①概率分數(shù)偏高,共76分；統(tǒng)計分數(shù)只占24分,與以往考題的分數(shù)分布情況對比,總的趨勢不變,各部分分數(shù)稍有變化；②課本中各章內(nèi)容都有涉及；③幾乎每道題都可以在課本上找到出處.個別題目略偏：與歷次試題比較,本套試題有個別題目內(nèi)容略偏,比如21題、25題等.

難度分析：本套試題基本保持了歷年試題的難度.如果粗略的把題目難度劃分為易、中、難三個等級,本套試題容易的題目約占24分,中等題目約占60分,稍偏難題目約占16分,包括計算量比較大題目.

當然,以上觀點只是相對于歷年試題而言,是在與歷年試題對比中產(chǎn)生的看法.如果只看本套試題,應(yīng)該說是一套不錯的試題,只是難度沒有降低.

2.考點分布

按照以往的分類方法：事件與概率約18分,一維隨機變量〔包括數(shù)字特征約38分,二維隨機變量〔包括數(shù)字特征約18分,大數(shù)定律2分,統(tǒng)計量及其分布4分,參數(shù)估計10分,假設(shè)檢驗8分,回歸分析2分.考點分布的柱狀圖如下

三、試題詳解一、單項選擇題〔本大題共10小題,每小題2分,共20分

1.甲,乙兩人向同一目標射擊,A表示"甲命中目標",B表示"乙命中目標",C表示"命中目標",則C=〔

A.AB.BC.ABD.A∪B[918160101][答案]D

[解析]"命中目標"="甲命中目標"或"乙命中目標"或"甲、乙同時命中目標",所以可表示為"A∪B",故選擇D.

[提示]注意事件運算的實際意義及性質(zhì)：

〔1事件的和：稱事件"A,B至少有一個發(fā)生"為事件A與B的和事件,也稱為A與B的并A∪B或A+B.

性質(zhì)：①,；②若,則A∪B=B.

〔2事件的積：稱事件"A,B同時發(fā)生"為事件A與B的積事件,也稱為A與B的交,記做F=A∩B或F=AB.

性質(zhì)：①,；②若,則AB=A.

〔3事件的差：稱事件"A發(fā)生而事件B不發(fā)生"為事件A與B的差事件,記做A－B.

性質(zhì)：①；②若,則；③.〔4事件運算的性質(zhì)

〔i交換律：A∪B=B∪A,AB=BA；

〔ii結(jié)合律：〔A∪B∪C=A∪〔B∪C,〔ABC=A〔BC；

〔iii分配律：〔A∪B∩C=〔A∩C∪〔B∩C

〔A∩B∪C=〔A∪C∩〔B∪C.

〔iv摩根律〔對偶律,2.設(shè)A,B是隨機事件,[918160102][答案]A

[解析],,

故選擇A.

[提示]見1題[提示]〔3.3.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F〔X則〔

A.F〔b－0－F〔a－0B.F〔b－0－F〔a

C.F〔b－F〔a－0D.F〔b－F〔a[918160103][答案]D

[解析]根據(jù)分布函數(shù)的定義及分布函數(shù)的性質(zhì),選擇D.詳見[提示].

[提示]1.分布函數(shù)定義：設(shè)X為隨機變量,稱函數(shù)

,

為的分布函數(shù).2.分布函數(shù)的性質(zhì)：

①0≤F〔x≤1；

②對任意x1,x2〔x1<x2,都有；

③F〔x是單調(diào)非減函數(shù)；

④,；

⑤F〔x右連續(xù)；

⑥設(shè)x為f〔x的連續(xù)點,則f′〔x存在,且F′〔x=f〔x.3.已知X的分布函數(shù)F〔x,可以求出下列三個常用事件的概率：

①；

②,其中a<b；

③.

4.設(shè)二維隨機變量〔X,Y的分布律為0120

100.10.2

0.40.30則[918160104][答案]D

[解析]因為事件,

所以,

=0+0.1+0.2=0.3

故選擇D

[提示]1.本題考察二維離散型隨機變量的邊緣分布律的求法；

2.要清楚本題的三個事件的概率為什么相加：因為三事件是互不相容事件,而互不相容事件的概率為各事件概率之和.5.設(shè)二維隨機變量〔X,Y的概率密度為,則

〔

A.0.25B.0.5C.0.75D.1[918160105][答案]A

[解析]積分區(qū)域D：0＜X≤0.5,0＜Y≤1,所以

故選擇A.

[提示]1.二維連續(xù)型隨機變量的概率密度f〔x,y性質(zhì)：

①f〔x,y≥0；

②；

③若f〔x,y在〔x,y處連續(xù),則有

,

因而在f〔x,y的連續(xù)點〔x,y處,可由分布函數(shù)F〔x,y求出概率密度f〔x,y；

④〔X,Y在平面區(qū)域D內(nèi)取值的概率為

.2.二重積分的計算：本題的二重積分的被積函數(shù)為常數(shù),根據(jù)二重積分的幾何意義可用簡單方法計算：積分值=被積函數(shù)0.5×積分區(qū)域面積0.5.6.設(shè)隨機變量X的分布律為X﹣202P0.40.30.3則E〔X=〔

A.﹣0.[918160106][答案]B

[解析]E〔X=〔﹣2×0.4+0×0.3+2×0.3＝﹣0.2

故選擇B.[提示]1.離散型一維隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義：設(shè)隨機變量的分布律為

,1,2,….

若級數(shù)絕對收斂,則定義的數(shù)學(xué)期望為

.

2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：

①E〔c=c,c為常數(shù)；

②E〔aX=aE〔x,a為常數(shù)；

③E〔X+b=E〔X+b=E〔X+b,b為常數(shù)；

④E〔aX+b=aE〔X+b,a,b為常數(shù).

7.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為,則E〔X=〔

A.B.C.D.[918160107][答案]C

[解析]根據(jù)連續(xù)型一維隨機變量分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系得

,

所以,=,故選擇C.

[提示]1.連續(xù)型一維隨機變量概率密度的性質(zhì)

①;

②;

③;

④；

⑤設(shè)x為的連續(xù)點,則存在,且.2.一維連續(xù)型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義：設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為,如果廣義積分絕對收斂,則隨機變量的數(shù)學(xué)期望為

.

8.設(shè)總體X服從區(qū)間[,]上的均勻分布〔,x1,x2,…,xn為來自X的樣本,為樣本均值,則

A.B.C.D.[918160108][答案]C

[解析],,

而均勻分布的期望為,故選擇C.[提示]1.常用的六種分布

〔1常用離散型隨機變量的分布〔三種：X01概率qpA.兩點分布

①分布列

②數(shù)學(xué)期望：E〔X=P

③方差：D〔X=pq.

B.二項分布：X～B〔n,p

①分布列：,k=0,1,2,…,n；

②數(shù)學(xué)期望：E〔X=nP

③方差：D〔X=npq.

C.泊松分布：X～

①分布列：,0,1,2,…

②數(shù)學(xué)期望：

③方差：＝

〔2常用連續(xù)型隨機變量的分布〔三種：

A.均勻分布：X～

①密度函數(shù)：,

②分布函數(shù)：,

③數(shù)學(xué)期望：E〔X＝,

④方差：D〔X＝.

Ｂ.指數(shù)分布：X～

①密度函數(shù)：,

②分布函數(shù)：,

③數(shù)學(xué)期望：E〔X＝,

④方差：D〔X＝.

Ｃ.正態(tài)分布

〔A正態(tài)分布：X～

①密度函數(shù)：,－∞＋∞

②分布函數(shù)：

③數(shù)學(xué)期望：＝,

④方差：＝,

⑤標準化代換：若X～,,則～.

〔B標準正態(tài)分布：X～

①密度函數(shù)：,－∞＋∞

②分布函數(shù)：,－∞＋∞

③數(shù)學(xué)期望：E〔X＝0,

④方差：D〔X＝1.2.注意："樣本"指"簡單隨機樣本",具有性質(zhì)："獨立"、"同分布".

9.設(shè)x1,x2,x3,x4為來自總體X的樣本,且,記,,,,則的無偏估計是〔

A.B.C.D.[918160109][答案]A

[解析]易知,,故選擇A.[提示]點估計的評價標準：

〔1相合性〔一致性：設(shè)為未知參數(shù),是的一個估計量,是樣本容量,若對于任意,有

,

則稱為的相合〔一致性估計.

〔2無偏性：設(shè)是的一個估計,若對任意,有

則稱為的無偏估計量；否則稱為有偏估計.

〔3有效性

設(shè),是未知參數(shù)的兩個無偏估計量,若對任意有樣本方差,則稱為比有效的估計量.若的一切無偏估計量中,的方差最小,則稱為的有效估計量.

10.設(shè)總體～,參數(shù)未知,已知.來自總體的一個樣本的容量為,其樣本均值為,樣本方差為,,則的置信度為的置信區(qū)間是〔

A.,

B.,

C.,

D.[918160110][答案]A

[解析]查表得答案.

[提示]關(guān)于"課本p162,表7-1：正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計表"記憶的建議：

①表格共5行,前3行是"單正態(tài)總體",后2行是"雙正態(tài)總體"；

②對均值的估計,分"方差已知"和"方差未知"兩種情況,對方差的估計"均值未知"；

③統(tǒng)計量順序：,t,x2,t,F.

二、填空題〔本大題共15小題,每小題2分,共30分

11.設(shè)A,B是隨機事件,P〔A=0.4,P〔B=0.2,P〔A∪B=0.5,則P〔AB=_____.[918160201][答案]0.1

[解析]由加法公式P〔A∪B=P〔A+P〔B－P〔AB,則

P〔AB=P〔A+P〔B－P〔A∪B=0.1

故填寫0.1.12.從0,1,2,3,4五個數(shù)字中不放回地取3次數(shù),每次任取一個,則第三次取到0的概率為________.[918160202][答案]

[解析]設(shè)第三次取到0的概率為,則

故填寫.[提示]古典概型：〔1特點：①樣本空間是有限的；②基本事件發(fā)生是等可能的；

〔2計算公式.

13.設(shè)隨機事件A與B相互獨立,且,則________.[918160203][答案]0.8

[解析]因為隨機事件A與B相互獨立,所以P〔AB=P〔AP〔B

再由條件概率公式有=

所以,故填寫0.8.[提示]二隨機事件的關(guān)系

〔1包含關(guān)系：如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則事件B包含事件A,記做；對任何事件C,都有,且；

〔2相等關(guān)系：若且,則事件A與B相等,記做A=B,且P〔A=P〔B；

〔3互不相容關(guān)系：若事件A與B不能同時發(fā)生,稱事件A與B互不相容或互斥,可表示為＝,且P〔AB=0；

〔4對立事件：稱事件"A不發(fā)生"為事件A的對立事件或逆事件,記做；滿足且.

顯然：①；②,.

〔5二事件的相互獨立性：若,則稱事件A,B相互獨立；

性質(zhì)1：四對事件A與B,與B,A與,與其一相互獨立,則其余三對也相互獨立；

性質(zhì)2：若A,B相互獨立,且P〔A＞0,則.

14.設(shè)隨機變量服從參數(shù)為1的泊松分布,則________.[918160204][答案]

[解析]參數(shù)為泊松分布的分布律為

,0,1,2,3,…

因為,所以,0,1,2,3,…,

所以=,

故填寫.

15.設(shè)隨機變量X的概率密度為,用Y表示對X的3次獨立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù),則________.[918160205][答案]

[解析]因為,則～,

所以,故填寫.

[提示]注意審題,準確判定概率分布的類型.

16.設(shè)二維隨機變量〔X,Y服從圓域D：x2+y2≤1上的均勻分布,為其概率密度,則=_________.[918160206][答案]

[解析]因為二維隨機變量〔X,Y服從圓域D：上的均勻分布,則

,所以

故填寫.[提示]課本介紹了兩種重要的二維連續(xù)型隨機變量的分布：

〔1均勻分布：設(shè)D為平面上的有界區(qū)域,其面積為S且S>0,如果二維隨機變量〔X,Y的概率密度為

,

則稱〔X,Y服從區(qū)域D上的均勻分布,記為〔X,Y～.〔2正態(tài)分布：若二維隨機變量〔X,Y的概率密度為

〔,,

其中,,,,都是常數(shù),且

,,,

則稱〔X,Y服從二維正態(tài)分布,記為〔X,Y～.

17.設(shè)C為常數(shù),則C的方差D〔C=_________.[918160207][答案]0

[解析]根據(jù)方差的性質(zhì),常數(shù)的方差為0.

[提示]1.方差的性質(zhì)

①D〔c=0,c為常數(shù)；

②D〔aX=a2D〔X,a為常數(shù)；

③D〔X+b=D〔X,b為常數(shù)；

④D〔aX+b=a2D〔X,a,b為常數(shù).

2.方差的計算公式：D〔X=E〔X2－E2〔X.

18.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,則E〔e-2x=________.[918160208][答案]

[解析]因為隨機變量X服從參數(shù)1的指數(shù)分布,則

,

則

故填寫.

[提示]連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：設(shè)X為連續(xù)性隨機變量,其概率密度為,又隨機變量,則當收斂時,有

19.設(shè)隨機變量X～B〔100,0.5,則由切比雪夫不等式估計概率________.[918160209][答案]

[解析]由已知得,,所以

.

[提示]切比雪夫不等式：隨機變量具有有限期望和,則對任意給定的,總有

或.

故填寫.

20.設(shè)總體X～N〔0,4,且x1,x2,x3為來自總體X的樣本,若～,則常數(shù)C=________.[918160210][答案]1

[解析]根據(jù)x2定義得C=1,故填寫1.

[提示]1.應(yīng)用于"小樣本"的三種分布：

①x2－分布：設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立,且均服從標準正態(tài)分布,則

服從自由度為n的x2－分布,記為x2～x2〔n.

②F－分布：設(shè)X,Y相互獨立,分別服從自由度為m和n的x2分布,則服從自由度為m與n的F－分布,記為F～F〔m,n,其中稱m為分子自由度,n為分母自由度.

③t－分布：設(shè)X～N〔0,1,Y～x2〔n,且X,Y相互獨立,則服從自由度為n的t－分布,記為t～t〔n.

2.對于"大樣本",課本p134,定理6-1：

設(shè)x1,x2,…,xn為來自總體X的樣本,為樣本均值,

〔1若總體分布為,則的精確分布為；

〔2若總體X的分布未知或非正態(tài)分布,但,,則的漸近分布為.

21.設(shè)x1,x2,…,xn為來自總體X的樣本,且,為樣本均值,則

________.[918160211][答案]

[解析]課本P153,例7-14給出結(jié)論：,而,

所以,

故填寫.

[說明]本題是根據(jù)例7-14改編.因為的證明過程比較復(fù)雜,在20XX課本改版時將證明過程刪掉,即本次串講所用課本〔也是學(xué)員朋友們使用的課本中沒有這個結(jié)論的證明過程,只給出了結(jié)果.感興趣的學(xué)員可查閱舊版課本《高等數(shù)學(xué)〔二第二分冊概率統(tǒng)計》P164,例5.8.

22.設(shè)總體x服從參數(shù)為的泊松分布,為未知參數(shù),為樣本均值,則的矩估計

________.[918160212][答案]

[解析]由矩估計方法,根據(jù)：在參數(shù)為的泊松分布中,,且的無偏估計為樣本均值,所以填寫.

[提示]點估計的兩種方法

〔1矩法〔數(shù)字特征法估計：

A.基本思想：

①用樣本矩作為總體矩的估計值；

②用樣本矩的函數(shù)作為總體矩的函數(shù)的估計值.

B.估計方法：同A.

〔2極大似然估計法

A.基本思想：把一次試驗所出現(xiàn)的結(jié)果視為所有可能結(jié)果中概率最大的結(jié)果,用它來求出參數(shù)的最大值作為估計值.

B.定義：設(shè)總體的概率函數(shù)為,,其中為未知參數(shù)或未知參數(shù)向量,為可能取值的空間,x1,x2,…,xn是來自該總體的一個樣本,函數(shù)稱為樣本的似然函數(shù)；若某統(tǒng)計量滿足,則稱為的極大似然估計.

C.估計方法

①利用偏導(dǎo)數(shù)求極大值

i對似然函數(shù)求對數(shù)

ii對求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零,得似然方程或方程組

iii解方程或方程組得即為的極大似然估計.

②對于似然方程〔組無解時,利用定義：見教材p150例7－10；

〔3間接估計：

①理論根據(jù)：若是的極大似然估計,則即為的極大似然估計；

②方法：用矩法或極大似然估計方法得到的估計,從而求出的估計值.

23.設(shè)總體X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,x1,x2,…,xn為來自該總體的樣本.在對進行極大似然估計時,記…,xn為似然函數(shù),則當x1,x2,…,xn都大于0時,…,xn=________.[918160213][答案]

[解析]已知總體服從參數(shù)為的指數(shù)分布,所以

,

從而…,=,

故填寫.

24.設(shè)x1,x2,…,xn為來自總體的樣本,為樣本方差.檢驗假設(shè)：,：,選取檢驗統(tǒng)計量,則H0成立時,x2～________.[918160214][答案]

[解析]課本p176,8.3.1.

25.在一元線性回歸模型中,其中～,1,2,…,n,且,,…,相互獨立.令,則________.[918160215][答案]

[解析]由一元線性回歸模型中,其中～,1,2,…,,且,,…,相互獨立,得一元線性回歸方程

,

所以,,則

～

由20題[提示]〔3得

,

故填寫.

[說明]課本p186,關(guān)于本題內(nèi)容的部分講述的不夠清楚,請朋友們注意.

三、計算題〔本大題共2小題,每小題8分,共16分

26.甲、乙兩人從裝有6個白球4個黑球的盒子中取球,甲先從中任取一個球,不放回,而后乙再從盒中任取兩個球,求〔1甲取到黑球的概率；〔2乙取到的都是黑球的概率.

[分析]本題考察"古典概型"的概率.[解析]

〔1設(shè)甲取到黑球的概率為p,則

.〔2設(shè)乙取到的都是黑球的概率為p,則

.27.某種零件直徑X～〔單位：mm,未知.現(xiàn)用一種新工藝生產(chǎn)此種零件,隨機取出16個零件、測其直徑,算得樣本均值,樣本標準差s=0.8,問用新工藝生產(chǎn)的零件平均直徑與以往有無顯著差異？〔

〔附：[分析]本題考察假設(shè)檢驗的操作過程,屬于"單正態(tài)總體,方差未知,對均值的檢驗"類型.[918160302][解析]

設(shè)欲檢驗假設(shè)H0：,H1：,

選擇檢驗統(tǒng)計量,

根據(jù)顯著水平=0.05及n=16,查t分布表,得臨界值t0.025〔15=2.1315,從而得到拒絕域

,

根據(jù)已知數(shù)據(jù)得統(tǒng)計量的觀察值

因為,拒絕,可以認為用新工藝生產(chǎn)的零件平均直徑與以往有顯著差異.

[提示]1.假設(shè)檢驗的基本步驟：

〔1提出統(tǒng)計假設(shè)：根據(jù)理論或經(jīng)驗對所要檢驗的量作出原假設(shè)〔零假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1,要求只有其一為真.

如對總體均值檢驗,原假設(shè)為H0：,備擇假設(shè)為下列三種情況之一：

：,其中i為雙側(cè)檢驗,ii,iii為單側(cè)檢驗.

〔2選擇適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量,滿足：①必須與假設(shè)檢驗中待檢驗的"量"有關(guān)；②在原假設(shè)成立的條件下,統(tǒng)計量的分布或漸近分布已知.

〔3求拒絕域：按問題的要求,根據(jù)給定顯著水平查表確定對應(yīng)于的臨界值,從而得到對原假設(shè)H0的拒絕域W.

〔4求統(tǒng)計量的樣本值觀察值并決策：根據(jù)樣本值計算統(tǒng)計量的值,若該值落入拒絕域W內(nèi),則拒絕H0,接受H1,否則,接受H0.

2.關(guān)于課本p181,表8-4的記憶的建議：與區(qū)間估計對照分類記憶.

四、綜合題〔本大題共2小題,每小題12分,共24分

28.設(shè)二維隨機變量〔X,Y的概率密度為

〔1求〔X,Y關(guān)于X,Y的邊緣概率密度；

〔2記Z=2X+1,求Z的概率密度.[分析]本題考察二維連續(xù)型隨機變量及隨機變量函數(shù)的概率密度.

[解析]

〔1由已知條件及邊緣密度的定義得

=,〔

所以

；

同理可得

.

〔2使用"直接變換法"求Z=2X+1的概率密度.

記隨機變量X、Z的分布函數(shù)為Fx〔x、Fz〔Z,則

,

由分布函數(shù)Fz〔Z與概率密度的關(guān)系有

由〔1知

,

所以

=.[提示]求隨機變量函數(shù)的概率密度的"直接變換法"基本步驟：

問題：已知隨機變量X的概率密度為,求Y=g〔X的概率密度解題步驟：1.；

2..

29.設(shè)隨機變量X與Y相互獨立,X～N〔0,3,Y～N〔1,4.記Z=2X+Y,求

〔1E〔Z,D〔Z；〔2E〔XZ；〔3PXZ.[分析]本題考察隨機變量的數(shù)字特征.[918160304][解析]

〔1因為X～N〔0,3,Y～N〔1,4,Z=2X+Y,所以

E〔Z=E〔2X+Y=2E〔X+E〔Y=1

D〔Z=D〔2X+Y=4D〔X+D〔Y=16

〔2

而隨機變量與相互獨立,

所以E〔XZ=6.

〔3因為,所以

.

五、應(yīng)用題〔10分

30.某次考試成績X服從正態(tài)分布〔單位：分,

〔1求此次考試的及格率和優(yōu)秀率；

〔2考試分數(shù)至少高于多少分能排名前50%？

〔附：[分析]本題考察正態(tài)分布的概率問題.[918160305][解析]已知X～N〔75,152,設(shè)Z～N〔0,1,為其分布函數(shù),

〔1

=

=

即本次考試的及格率為84.13%,優(yōu)秀率為15.87%.〔2設(shè)考試分數(shù)至少為x分可排名前50%,即,則

=,

所以,即,x=75,

因此,考試分數(shù)至少75分可排名前50%.

四、簡要總結(jié)

1.關(guān)于本套試題

〔1整套考題〔共30題所有題目幾乎均可在課本上找到其原型在講解中,指出了一些題目在課本上的出處.其實,每一道題幾乎都可以在課本上找到出處,甚至于原題,這是歷年本學(xué)科考試題目的共同特點,本套試題當然也不例外.

〔2兩種考查內(nèi)容

所有的考試,包括中考、高考及考研,試題不外乎考察兩個內(nèi)容：知識和能力.所謂考察知識,其實就是考查對課本內(nèi)容的理解和記憶,這類題目一般難度不大；所謂考查能力的題目,一般難度就比較大了.本套試題知識型題目約占80分左右,考查能力的部分約占20分左右,其中包括分析能力,推演能力和計算能力,所以,本套試題屬于難度適中的類型.

2