反證法填一填反證法假設(shè)原命題不成立即在原命題的條件下，結(jié)論不成)經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這種證明方法叫做反證法．．反證法常見矛盾型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾個(gè)盾可以是與已知條件矛盾與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾判一判反證法于間接證明問題的方法(√)．反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理(×)．反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾(√)．反證法是通過證明逆否命題來證明原命題(×)．用反證法證明時(shí)，推出的矛盾不能與假設(shè)矛盾(×)．使用反證法證明時(shí)，可以不進(jìn)行反設(shè)(×)．反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定(×)．“全為”的對(duì)立面是“全不為0．(×)

想一想如何理反證法的概念？(1)反證法的原理是“否定之否定于肯定”一個(gè)否定是指“否定結(jié)假)第二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定”．(2)反證法屬“間接解題方法”．．“反證法”和“證明逆否命”的區(qū)別與聯(lián)系是什么？聯(lián)：通過證明逆否命題成立來證明原命題成立和通過反證法說明原命題成立屬于間接證明，都是很好的證明方法．區(qū)：證明逆否命題實(shí)際上就是從結(jié)論的反面出發(fā)，推出條件的反面成立，而反證法一般是假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后通過推理導(dǎo)出矛盾．．反證法中常用到反設(shè)有哪些？反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)了正確作出反設(shè)握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：/是；存/存在；平行不平行于；垂直/垂直于；等于/不等于；大小)/不大小)于；都是不都是；至少有一一個(gè)也沒有；至有/至多有(n1)個(gè)；至多有一個(gè)至有兩個(gè)；唯/至少有兩個(gè)．．反證法的適用對(duì)有哪些？作為一種間接證明方法，反證法尤其適合證明以下幾類數(shù)學(xué)問題：(1)直接證明需分多種情況的；(2)結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的類命否定性命題；(3)關(guān)于唯一性、存在性的命題；(4)結(jié)論是含有“至多”“至少”詞語的命題；條與結(jié)論聯(lián)系不夠明顯，直接由條件推結(jié)論的線索不夠清晰，結(jié)論的反面是比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題．

感悟體會(huì)練一練應(yīng)用反法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件使()①結(jié)論相反的判斷，即假設(shè)；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原結(jié)論．A①②．①②④C．②③D②③解析①③C.答案：．“實(shí)數(shù)，b，不大于”價(jià)()Aab，c不大于0B，bc中少一個(gè)大0C．a(chǎn)，b，中多有一個(gè)大于D．，bc至少有一個(gè)不大于解析：”“0”“”

nnnnnnnnnnnnnn答案：D已數(shù){}{}通公式分別為a＝＋2＝＋ab是數(shù))且a，那么兩個(gè)數(shù)列中序號(hào)與數(shù)值均相同的項(xiàng)()A0個(gè)B．1個(gè)C．個(gè)．無窮多個(gè)解析∈N*∴>bn1∴n∈*a

b>N*b答案：A．下列命題適合用反證法證明的．－2①已知函數(shù)fx)(，證明：方程f()＝0沒負(fù)實(shí)數(shù)根．x＋1＋1y②若x，y∈，>0，，且x＋y>2求證：和中至少有一個(gè)小于2.y③關(guān)于x的程(≠0)的解是唯一的．④同一平面內(nèi)，分別與兩相交直線垂直的兩條直線必相交．解析①“”②“”“”④答案：②③④知識(shí)點(diǎn)一

用反證法證明否(肯)定性命題命題“a，∈，若a－＋b－1|＝，則a＝”用反證法證明時(shí)，應(yīng)假

BsinAsinB3×BsinAsinB3××22°．解析：”“a≠1≠1≠1.答案：a≠b．在△，角，B，所的邊分別為ab，，已知＝30°，＝3＝3(1)求和△ABC面積；(2)當(dāng)是角時(shí)，證明tan(－118°)不可能是理數(shù)．解析：(1)BBA60°△B60°

19322

B120°C30°

193sin××3.(2)B(tan2°tan8°tan16°tan32°2°3tan2°tan118°)知識(shí)點(diǎn)二

用反證法證明“至少”“至多”問題＋＋y用反證證明“若y都是正數(shù)，且＋>2，則或<2中少有一個(gè)成y

yyyy立”時(shí)，應(yīng)假設(shè)()＋1＋y≥≥y＋1＋y≥2或≥2y＋1＋yC.≥y＋1＋y≥yyx1y解析：<2≥≥A.答案：A．用反證法證明：當(dāng)m為何數(shù)時(shí)，關(guān)于x方程2＝0至有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根．

－5＋m與＋x＋－m證明：xx

5mxx6m0Δ25Δ′1mm.知識(shí)點(diǎn)三

用反證法證明存在性、唯一性命題用反證證明“若一元二次方程＋＋c0(，，c∈，≠有有理根，那么a，c存在偶數(shù)”時(shí)，假設(shè)應(yīng))Aab，c是偶數(shù)B，bc都是數(shù)C．a(chǎn)，b，中多有一個(gè)是偶數(shù)D．，bc至多有兩個(gè)偶數(shù)解析：cc

1111B.答案：．若函數(shù)fx)在區(qū)間a]上的圖象連續(xù)，且fa)<0fb)>0(x在[，b]單調(diào)遞增，求證：(x在(a)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．證明：f)[]()<0f(bfafbfx)()f()fx)()fn≠m.nf)>fm)nf)<ff)).知識(shí)點(diǎn)三

反證法的綜合應(yīng)用已知p3

＋q＝，證p＋q≤2.用反證法證明時(shí)，可假設(shè)pq≥2.(2)已知a，bR，a＋b|<1，求證程

＋＋b＝的根的絕對(duì)值都小于用證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x的對(duì)值大于或等于，即假設(shè)x≥以下結(jié)論正確的()A與(的假設(shè)都錯(cuò)誤B與(的假設(shè)都正確C．的假設(shè)正確；(2)假設(shè)錯(cuò)誤D．的假設(shè)錯(cuò)誤(2)的假設(shè)正確解析：(1)(2)D.

3434．設(shè)函數(shù)fx)＝ax＋＋c且f(1)＝－，(1)試用反證法證明>0(2)證明：－3<－4證明：(1)≤∵3a>2>2b∴3≤0,2<0,2c2b<0.∵(1)∴322b0322b<0∴∴a>0.(2)∵(1)ac∴ab∴3a>22b>∵2>2∴∵a>0∴

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題．下列關(guān)于反證法的說法，正確的()①反證法的應(yīng)用需要逆向思維；②反證法是一種間接證明方法，否定結(jié)論時(shí)，一定要全面否定；③反證法推出的矛盾不能與已知相矛盾；④使用反證法必須先否定結(jié)論，當(dāng)結(jié)論的反面出現(xiàn)多種可能時(shí)，論證一種即可．A①②

B①③C．③D．③④解析：③BCD答案：A．“已知：ABC中AB，求證：B<90°.”下面寫出了用反證法證明這個(gè)命題過程中的四個(gè)推理步驟：(1)所以∠A＋∠B＋∠C>180°這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾；(2)所以∠<90°；(3)假設(shè)∠B≥；(4)那么，由AB＝，得∠＝∠C≥，即∠＋∠C≥這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)()AB．(4)(3)(2)(1)C．(3)(4)(1)(2)D．解析：(C.答案：．有下列敘述：①“>b”的反面是“<b；②“x＝y(tǒng)”的反面是“x>y或x<”；③“三角形的外心

ππ在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”角形最多有一個(gè)鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”．其中正確的敘述()A0個(gè)B．1個(gè)C．個(gè)．3個(gè)解析：①“a>”“<b∴②③“”“”∴④”“”④答案：．若△ABC能一條直線分成兩個(gè)與自身相似的三角形，那么這個(gè)三角形的形狀是()A鈍角三角形B．直角三角形C．角三角形．能確定解析：△ADDBC)∠∠ADC>∠BADADC>∠ABDABD∠BACB.答案：．下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的()A在ABC中若∠＝，則B一是銳角

17，不可能成等差數(shù)列C．ABC中若a>b>，則∠CD．n整數(shù)且n2

為偶數(shù)，則偶數(shù)解析：AD>>>C∠C∠A>60°>60°∴CBC180°答案：．設(shè)，，是數(shù)P＝ab－Qb＋－＝＋－b則”是“P，QR時(shí)大于零”的)A充分條件B必要條件C．分必要條件D．不分也不必要條件解析：“PQ”“”∵ac∈

PQR>0.∴>0Q<0R<0Q>0RQR<0c<0∴abcc.∵c∴cc∴>ca<0<0∴QQ∴“>0R”答案：1．設(shè)，qr∈(∞，0)，x＝p，＝＋，z＝r，則，，個(gè)數(shù)rpA都大于2

pqr1pqr127127127B至少有一個(gè)不大于C．小于2D．少一個(gè)不小于2解析：()xyx>2>z>>6①.1∵yzqrr

≤

2

rxyz≤6②r①②∴∴xyz2.答案：二、填空題．反證法證明命題“若a∈R，____________．

＋b＝0，b全”時(shí)，應(yīng)假設(shè)解析“a∈a2b00”“0”．答案：a，至少有一個(gè)不為．完成反證法證題的全過程．設(shè)，，a是1,2，…的一個(gè)排列，求證：乘積p＝a－1)(a－…(a－為偶數(shù)．證明假奇數(shù)，________________為奇數(shù)因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)＝＝________但≠奇數(shù)，這一矛盾說偶數(shù)．解析：p1…a7

2717127127172717127127173(a

1

(a…(a7)(a…20≠0答案a－1a－…a－7(a－1)＋(a－2)…＋(－(＋a＋＋a)－＋2…＋eq\o\ac(△,．)中AB＝AC是△ABC內(nèi)一點(diǎn)>∠APC∠CAP用反證法證明時(shí)的假設(shè)為___________．解析：∠<∠∠CAP∠BAP>CAP.答案：∠＝CAP或∠BAP>CAP11．和兩條異面直線AB，CD都交的兩條直線，BD的置關(guān)系是_．解析：ACBDα?BD?A∈B∈C∈D∈∴ABCD?ABCD答案：面．設(shè)a，兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①ab；②a＋＝2；③a＋；2＋b2>2；④ab其中能推出，中至少有一個(gè)大于”條件是_填號(hào))．解析：ba<1①bab2②23ab2

abab>1⑤③aab≤1≤1a≤2a

答案：三、解答題．已知三個(gè)正數(shù)，b，成比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：等差數(shù)列．解析：acacb∴a24①∵ac∴bb②①②a∴bca∴ab

，，c不成．已知直線m與線a和b分交于，B且a∥b求證：過、b、m且只有一個(gè)平面．證明：∵ab∴amaAmbB∴∈B∈b

∴∈α∈∈m∈