第1頁(yè)（共1頁(yè)）2020-2021學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共有12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且僅有一項(xiàng)是符合題目要求的，選錯(cuò)．不選、多選或涂改不清的均不給分）1．（5分）＝（）A．i B． C． D．2．（5分）“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z﹣i|＝1，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），則（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1 C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝14．（5分）已知為平面α的一個(gè)法向量，l為一條直線，則“l(fā)⊥”是“l(fā)∥α”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（5分）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象如圖所示，則（）A．x＝2是極小值點(diǎn) B．x＝1是最小值點(diǎn) C．x＝0是極小值點(diǎn) D．函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增6．（5分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝a，則異面直線AC1與CD1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，已知，＝，＝，＝，則＝（）A． B． C． D．8．（5分）如圖，F(xiàn)1、F2分別為橢圓+＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2的面積為的正三角形，則b2的值為（）A．4 B．3 C．2 D．9．（5分）函數(shù)f（x）＝的圖象大致是（）A． B． C． D．10．（5分）如圖，橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，它們的交點(diǎn)為P，且．若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．11．（5分）方程（2﹣t）x2+（t﹣1）y2＝1的圖象表示曲線C，有以下四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，曲線C是圓；②當(dāng)1＜t＜2時(shí)，曲線C是橢圓；③當(dāng)t＞2時(shí)，曲線C是雙曲線；④當(dāng)t＝2時(shí)，曲線C是拋物線．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12．（5分）已知函數(shù)，g（x）＝f（x）﹣x﹣a，若g（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜﹣2 B．a(chǎn)＜﹣1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＞2二、填空題（本題共有4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知向量＝（2，﹣1，1），＝（t，2，﹣1），t∈R，若⊥，則t＝．14．（5分）有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為（t是時(shí)間，s是位移），則該機(jī)器人在時(shí)刻t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為．15．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．16．（5分）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．三、解答題（本題共有6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過(guò)程）17．（10分）如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)．用向量法解決下面的問(wèn)題：（1）求證：AC⊥SD；（2）若BC＝2，求線段BP的長(zhǎng)．18．（12分）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|．19．（12分）已知函數(shù)．（1）若a＝﹣2，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；（2）若f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．20．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，BE＝2，AB＝PA＝4．（1）求直線PD與平面PCE所成角的正弦值；（2）在棱AB上是否存在一點(diǎn)F，使得二面角E﹣PC﹣F的大小為60°？如果存在，確定點(diǎn)F的位置；如果不存在，說(shuō)明理由．21．（12分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P（，1）在橢圓C上，且|PF1|+|PF2|＝4（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，M是橢圓C上一點(diǎn)，直線MP和MQ與x軸分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，O為原點(diǎn)．證明：|OE|?|OF|為定值．22．（12分）已知g（x）＝lnx+x﹣x2，h（x）＝xex﹣ax2﹣ag（x）．（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，h（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2020-2021學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共有12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且僅有一項(xiàng)是符合題目要求的，選錯(cuò)．不選、多選或涂改不清的均不給分）1．（5分）＝（）A．i B． C． D．【分析】利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：＝＝+．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基本知識(shí)的考查．2．（5分）“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】先解不等式化簡(jiǎn)后者；判斷前者和后者對(duì)應(yīng)的集合的包含關(guān)系；利用集合的包含關(guān)系判斷出前者是后者的什么條件．【解答】解：∵x2﹣3x+2＞0?x＞2或x＜1∵{x|x＞2}?{x|x＞2或x＜1}∴“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”成立的充分不必要條件故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解決條件問(wèn)題一般先化簡(jiǎn)各命題、考查將判斷條件問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的集合的包含關(guān)系問(wèn)題．3．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z﹣i|＝1，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），則（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1 C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1【分析】由z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），可得z＝x+yi，然后根據(jù)|z﹣i|＝1即可得解．【解答】解：∵z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），∴z＝x+yi，∴z﹣i＝x+（y﹣1）i，∴|z﹣i|＝，∴x2+（y﹣1）2＝1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義，正確理解復(fù)數(shù)的幾何意義是解題關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．4．（5分）已知為平面α的一個(gè)法向量，l為一條直線，則“l(fā)⊥”是“l(fā)∥α”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】“l(fā)⊥”?“l(fā)∥α或l?α”，“l(fā)∥α”?“l(fā)⊥”，由此能求出結(jié)果．【解答】解：為平面α的一個(gè)法向量，l為一條直線，則“l(fā)⊥”?“l(fā)∥α或l?α”，“l(fā)∥α”?“l(fā)⊥”，∴“l(fā)⊥”是“l(fā)∥α”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分條件、充要條件、必要條件的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（5分）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象如圖所示，則（）A．x＝2是極小值點(diǎn) B．x＝1是最小值點(diǎn) C．x＝0是極小值點(diǎn) D．函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)即可．【解答】解：由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，函數(shù)f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上遞增，在（0，2）上遞減，故x＝0是極大值點(diǎn)，x＝2是極小值點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．6．（5分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝a，則異面直線AC1與CD1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AC1與CD1所成角的余弦值．【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（a，0，0），C1（0，a，），C（0，a，0），D1（0，0，），＝（﹣a，a，），＝（0，a，﹣），設(shè)異面直線AC1與CD1所成角為θ，則cosθ＝＝＝．∴異面直線AC1與CD1所成角的余弦值為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．7．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，已知，＝，＝，＝，則＝（）A． B． C． D．【分析】利用空間向量加法法則直接求解．【解答】解：在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∵，＝，＝，＝，∴＝＝﹣+（）＝﹣++＝﹣++（）＝﹣++﹣＝﹣+．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的求法，考查空間向量加法法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．8．（5分）如圖，F(xiàn)1、F2分別為橢圓+＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2的面積為的正三角形，則b2的值為（）A．4 B．3 C．2 D．【分析】由△POF2的面積為的正三角形，可得＝，解得c．把P（1，）代入橢圓方程可得：，與a2＝b2+4聯(lián)立解得即可得出．【解答】解：∵△POF2的面積為的正三角形，∴＝，解得c＝2．∴P（1，）代入橢圓方程可得：，與a2＝b2+4聯(lián)立解得：b2＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等邊三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9．（5分）函數(shù)f（x）＝的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】由函數(shù)的定義域及特殊點(diǎn)的值，運(yùn)用排除法可以得到答案．【解答】解：定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），故排除A；f（100）＞0，故排除C；，故排除D．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由函數(shù)解析式找函數(shù)圖象，通常從特殊點(diǎn)，單調(diào)性，奇偶性等角度運(yùn)用排除法求解，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）如圖，橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，它們的交點(diǎn)為P，且．若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．【分析】運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義、三角形的余弦定理和離心率公式，推得橢圓和雙曲線的離心率的關(guān)系式，解方程可得所求值．【解答】解：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，|PF1|＝s，|PF2|＝t，則s+t＝2a，s﹣t＝2m，解得s＝a+m，t＝a﹣m，又|F1F2|2＝4c2＝s2+t2﹣2stcos＝（a+m）2+（a﹣m）2﹣（a﹣m）（a+m）＝a2+3m2，即為（）2+3（）2＝4可得+＝4，由e1＝，可得e2＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線和橢圓的定義和性質(zhì)，主要是離心率的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．11．（5分）方程（2﹣t）x2+（t﹣1）y2＝1的圖象表示曲線C，有以下四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，曲線C是圓；②當(dāng)1＜t＜2時(shí)，曲線C是橢圓；③當(dāng)t＞2時(shí)，曲線C是雙曲線；④當(dāng)t＝2時(shí)，曲線C是拋物線．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】討論參數(shù)t，利用圓錐曲線的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：方程（2﹣t）x2+（t﹣1）y2＝1的圖象表示曲線C，有以下四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，即x2+y2＝2曲線C是圓；①正確；②當(dāng)1＜t＜2，且t≠時(shí)，2﹣t＞0，t﹣1＞0曲線C是橢圓；②錯(cuò)誤；③當(dāng)t＞2時(shí)，2﹣t＜0，t﹣1＞0曲線C是雙曲線；③正確；④當(dāng)t＝2時(shí)，2﹣t＝0，t﹣1＝1曲線Cy2＝1是直線．④錯(cuò)誤．故有2個(gè)正確，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了曲線與方程，考查了圓錐曲線的定義，是中檔題．12．（5分）已知函數(shù)，g（x）＝f（x）﹣x﹣a，若g（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜﹣2 B．a(chǎn)＜﹣1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＞2【分析】先作出函數(shù)f（x）的圖象，然后求解當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x+a與y＝lnx相切時(shí)a的值，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f（x）與y＝x+a有三個(gè)交點(diǎn)，由圖象分析即可得到答案．【解答】解：函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝lnx，當(dāng)直線y＝x+a與f（x）＝lnx相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（m，n），又，則有，解得m＝1，所以n＝ln1＝0，故切點(diǎn)為（1，0），此時(shí)a＝﹣1，因?yàn)間（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)，故直線y＝x+a與y＝f（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知，a的取值范圍為a＜﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，涉及了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線、分段函數(shù)圖象的作法，此類問(wèn)題一般都是將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)進(jìn)行研究，屬于中檔題．二、填空題（本題共有4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知向量＝（2，﹣1，1），＝（t，2，﹣1），t∈R，若⊥，則t＝．【分析】由，得＝2t﹣2﹣1＝0，由此能求出t．【解答】解：∵向量＝（2，﹣1，1），，t∈R，，∴＝2t﹣2﹣1＝0，解得t＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題實(shí)數(shù)值的求法，考查向量垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．14．（5分）有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為（t是時(shí)間，s是位移），則該機(jī)器人在時(shí)刻t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為．【分析】對(duì)求導(dǎo)數(shù)，再代入t＝2求出對(duì)應(yīng)s′的值即可．【解答】解：機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為，所以s′＝2t﹣，t＝2時(shí)，s′＝2×2﹣＝，則該機(jī)器人在時(shí)刻t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．15．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為﹣＝1．【分析】設(shè)出雙曲線的方程，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求出a的值，即可得雙曲線的方程．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程為，設(shè)雙曲線方程為：﹣＝a，雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則有8﹣1＝a，解可得a＝7，則此時(shí)雙曲線的方程為：﹣＝1，故答案是：﹣＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，涉及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，注意雙曲線離心率公式的應(yīng)用．16．（5分）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，+∞）．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＞＝，求出的最大值即可．【解答】解：∵g（x）＝ax﹣﹣5lnx，∴g′（x）＝a+﹣＝，若g′（x）≥0，可得ax2﹣5x+a≥0，在x＞0上成立，∴a≥＝，求出的最大值即可，∵≤＝（x＝1時(shí)等號(hào)成立），∴a≥，故a的取值范圍是[，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．三、解答題（本題共有6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過(guò)程）17．（10分）如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)．用向量法解決下面的問(wèn)題：（1）求證：AC⊥SD；（2）若BC＝2，求線段BP的長(zhǎng)．【分析】（1）取底面中心O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OS所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再由，證明AC⊥SD；（2）由BC＝2，分別求得B與P的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出即可．【解答】（1）證明：由題意，四棱錐S﹣ABCD為正四棱錐，連接AC，BD，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OS所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2a，則SA＝SB＝SC＝SD＝2，可得A（0，﹣，0），C（0，，0），D（，0，0），S（0，0，），，，∵，∴，則AC⊥SD；（2）解：若BC＝2，則B（，0，0），D（，0，0），S（0，0，），∵P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，∴P（，），則，，則|BP|＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用空間向量證明線線垂直，訓(xùn)練了利用空間向量求兩點(diǎn)間的距離，是基礎(chǔ)題．18．（12分）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|．【分析】（1）由中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C，過(guò)點(diǎn)且離心率為，知，由此能求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線l和雙曲線的方程，消去y，可得x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得所求值．【解答】解：（1）∵中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C，過(guò)點(diǎn)且離心率為，∴，解得a2＝3，b2＝2，∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為﹣＝1．（2）聯(lián)立直線和雙曲線的方程2x2﹣3y2＝6，可得x2+2x﹣9＝0，設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，可得x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣9，則|AB|＝?|x1﹣x2|＝?＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．19．（12分）已知函數(shù)．（1）若a＝﹣2，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；（2）若f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．【分析】（1）令f（x）＝0，解方程可得所求零點(diǎn)；（2）由參數(shù)分離和二次函數(shù)的單調(diào)性求得最值，結(jié)合恒成立思想可得所求范圍．【解答】解：（1）若a＝﹣2，則函數(shù)f（x）＝2x﹣，由f（x）＝0，解得x＝1（﹣1舍去），即f（x）的零點(diǎn)為1；（2）f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，等價(jià)為﹣a≤2x2在x∈[1，+∞）恒成立，由g（x）＝2x2在x∈[1，+∞）遞增，可得g（x）的最小值為g（1）＝2，所以﹣a≤2，解得a≥﹣2，即a的取值范圍是[﹣2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)和恒成立問(wèn)題解法，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，BE＝2，AB＝PA＝4．（1）求直線PD與平面PCE所成角的正弦值；（2）在棱AB上是否存在一點(diǎn)F，使得二面角E﹣PC﹣F的大小為60°？如果存在，確定點(diǎn)F的位置；如果不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PCE的法向量，設(shè)直線PD與平面PCE所成角為θ，由sinθ＝|cos＜，＞|，即可得解；（2）設(shè)＝λ，λ∈[0，1]，則F（4λ，0，0），用含λ的式子表示出平面PCF的法向量，再根據(jù)|cos＜，＞|＝cos60°，得關(guān)于λ的方程，解之即可．【解答】解：（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，4），C（4，4，0），D（0，4，0），E（4，0，2），∴＝（0，4，﹣4），＝（4，4，﹣4），＝（4，0，﹣2），設(shè)平面PCE的法向量為＝（x，y，z），則，即，令x＝1，則y＝1，z＝2，∴＝（1，1，2），設(shè)直線PD與平面PCE所成角為θ，則sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直線PD與平面PCE所成角的正弦值為．（2）由（1）知，A（0，0，0），B（4，0，0），∴＝（4，0，0），設(shè)＝λ，λ∈[0，1]，則F（4λ，0，0），＝（4λ，0，﹣4），設(shè)平面PCF的法向量為＝（a，b，c），則，即，令a＝1，則b＝λ﹣1，c＝λ，∴＝（1，λ﹣1，λ），∵二面角E﹣PC﹣F的大小為60°，∴|cos＜，＞|＝||＝||＝cos60°＝，化簡(jiǎn)得2λ2+λ﹣1＝0，解得λ＝或﹣1（舍負(fù)），故點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角、二面角的求法，熟練掌握利用空間向量處理線面角和二面角的方法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．21．（12分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P（，1）在橢圓C上，且|PF1|+|PF2|＝4（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，M是橢圓C上一點(diǎn)，直線MP和MQ與x軸分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，O為原點(diǎn)．證明：|OE|?|OF|為定值．【分析】（Ⅰ）橢圓的定義，得|PF1|+|PF2|＝2a＝4，即a＝2，將點(diǎn)P（，1）的坐標(biāo)代入，解得：b＝即可求得橢圓C的方程；（Ⅱ）由題意可知：設(shè)M（x0，y0），則有x02+2y02＝4，直線MP的方程為y﹣1＝（x﹣），令y＝0，得x＝，從而丨OE丨＝丨丨．，同理即可求得丨OF丨＝丨丨，則丨OE丨?丨OF丨＝丨丨＝丨丨＝4．【解答】解：（Ⅰ）由橢圓的定義，得|PF1|+|PF2|＝2a＝