2022-2023學(xué)年四川省達(dá)州市宣漢縣普光中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若方程x2+y2+x﹣y+m2=0表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】圓的一般方程．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；方程思想；直線與圓．【分析】由二元二次方程表示圓的條件得到m的不等式，解不等式即可得到結(jié)果．【解答】解：方程x2+y2+x﹣y+m2=0表示一個(gè)圓，則1+1﹣4m2＞0，∴．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元二次方程表示圓的條件，屬基礎(chǔ)知識(shí)的考查，本題解題的關(guān)鍵是看清楚所表示的二元二次方程的各個(gè)系數(shù)之間的關(guān)系．2.已知橢圓,過橢圓的右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，若為正三角形，則此橢圓的離心率為(

)A. B. C. D.參考答案：C3.已知直線:,若以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切于點(diǎn),且在軸上,則該圓的方程為

（）A． B． C． D．參考答案：A4.過拋物線y=x2上的點(diǎn)M()的切線的傾斜角（）A．30° B．45° C．60° D．135°參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由直線的斜率公式，可得傾斜角．【解答】解：y=x2的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，在點(diǎn)的切線的斜率為k=2×=1，設(shè)所求切線的傾斜角為α（0°≤α＜180°），由k=tanα=1，解得α=45°．故選：B．5.已知集合A={－2,－1,0,1,2}，，則A∩B=（

）A.{－1,0} B.{0,1}C.{－1,0,1} D.{－2,0,1,2}參考答案：A【分析】解出集合，利用交集的定義可得出集合.【詳解】，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的運(yùn)算，同時(shí)也涉及了一元二次不等式的解法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)b、c表示兩條直線，?、?表示兩個(gè)平面，下列命題中真命題是A．若b??,c∥?，則b∥c B．若b?,b∥c，則c∥? C．若c∥?，c⊥?，則?⊥? D．若c∥?，?⊥?，則c⊥?參考答案：C7.定義平面上的區(qū)域D如下：若P為D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則過P點(diǎn)必定可以引拋物線y=mx2(m<0)的兩條不同的切線，那么（

）（A）D={(x，y)|y>mx2}

（B）D={(x，y)|y>2mx2}（C）D={(x，y)|y<mx2}

（D）D={(x，y)|y<2mx2}

參考答案：A8.拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.任取一個(gè)三位正整數(shù)N，對(duì)數(shù)log2N是一個(gè)正整數(shù)的概率是(

)(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略10.極坐標(biāo)方程所表示的曲線經(jīng)過直角坐標(biāo)系下的伸縮變換后，得到的曲線是（

）A.直線 B.橢圓 C.雙曲線 D.圓參考答案：D【分析】先把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再經(jīng)過直角坐標(biāo)系下的伸縮變換，把直角坐標(biāo)方程中的，分別換成得，，由此能求出結(jié)果．【詳解】∵極坐標(biāo)方程∴∴直角坐標(biāo)方程為，即∴經(jīng)過直角坐標(biāo)系下的伸縮變換后得到的曲線方程為，即.∴得到的曲線是圓故選D.【點(diǎn)睛】本題考查曲線形狀的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)系下的伸縮變換公式的合理運(yùn)用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，且焦點(diǎn)在直線2x+y﹣2=0上的拋物線方程是．參考答案：y2=4x或x2=8y【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】求出已知直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A和B，在焦點(diǎn)分別為A和B的情況下設(shè)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)照拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)的公式求待定系數(shù)，即可得到相應(yīng)拋物線的方程．【解答】解：直線2x+y﹣2=0交x軸于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2）；①當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為y2=2px，可得2p=4，∴拋物線方程為y2=4x；②當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為x2=2py，可得2p=8，∴拋物線方程為x2=8y綜上所述，拋物線方程為y2=4x或x2=8y．故答案為：y2=4x或x2=8y．12.直線（為參數(shù),）與圓（為參數(shù)）相交所得的弦長(zhǎng)的取值范圍是

.參考答案：13.已知兩點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），點(diǎn)C是圓x2+y2﹣2x=0上的任意一點(diǎn)，則△ABC的面積最小值是

．參考答案：【考點(diǎn)】圓的一般方程；三角形的面積公式．【分析】求出直線方程，圓心坐標(biāo)與半徑，從而可得圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值進(jìn)而可求△ABC的面積最小值．【解答】解：直線AB的方程為+=1，即x﹣y+2=0．圓x2+y2﹣2x=0，可化為（x﹣1）2+y2=1，∴圓心（1，0）到直線的距離為d==，圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值為﹣1．∵|AB|=2，∴△ABC的面積最小值是×2×（﹣1）=3﹣，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用截距式求直線的方程，點(diǎn)到直線的距離公式、直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．14.從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率為_________。

參考答案：15.觀察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此規(guī)律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=

．參考答案：n（n+1）

【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】由題意可以直接得到答案．【解答】解：觀察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此規(guī)律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n（n+1），故答案為：n（n+1）16.在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為矩形，AB=3，AD=1，AA1=2，且∠BAA1=∠DAA1=60°．則異面直線AC與BD1所成角的余弦值為．參考答案：【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出=（3，1，0），=（﹣3，2，），即可求出異面直線AC與BD1所成角的余弦值．【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0，0），C（3，1，0），B（3，0，0），D1（0，2，），∴=（3，1，0），=（﹣3，2，），∴異面直線AC與BD1所成角的余弦值為||=，故答案為：．17.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是_________.參考答案：【分析】根據(jù)分段函數(shù)在上單調(diào)遞減可得，且二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，且，從而可得答案。【詳解】由題分段函數(shù)在上單調(diào)遞減可得又因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像開口向上，所以，解得且，將代入可得，解得所以的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是明確且屬于一般題。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓（）的離心率是，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸頂點(diǎn)分別為A，B，如圖所示，的面積為1.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且斜率為k的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)（異于A，B點(diǎn)），證明：直線BM和BN的斜率和為定值.參考答案：（1），，，又所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，

=

直線與的斜率之和為定值

19.（本題滿分16分）為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國(guó)家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元．（1）該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？參考答案：該單位不獲利，需要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼元，才能不虧損．則…………………10分因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有最大值．故該單位不獲利，需要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼元，才能不虧損．…………16分20.（本題滿分14分）給定正數(shù)，且，設(shè)，．（１）比較的大小；（２）由（１）猜想數(shù)列的單調(diào)性，并給出證明．參考答案：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，方程x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得=a1＝，當(dāng)n＝2時(shí)，方程x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1，又S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，∴(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝.(2)由題意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.猜想Sn＝(n∈N*)．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．①當(dāng)n＝1時(shí)，結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝.當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Sk＋1＝＝.即當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立．由①②知Sn＝對(duì)任意的正整數(shù)n都成立．21.（本小題滿分12分）

如圖，四邊形ABCD是正方形，EA平面ABCD，EA//PD，AD=PD=2EA，F(xiàn)，G，H分別為PB，EB，PC的中點(diǎn)．(I)求證：FG//平面PED；(II)求平面FGH與平而PBC所成銳二而角的大小參考答案：22.極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸.已知曲線C1的極坐標(biāo)為，曲線C2的參數(shù)方