第章數(shù)章知整新教A版必修5一、等差數(shù)列1．定義：－＝(∈N)a－＝(∈N，≥．nn2．通項(xiàng)公式：a＝＋－dn∈N)．3如數(shù){}通項(xiàng)公式是a＝An＋(是無(wú)的常數(shù)那數(shù){a一定nn是等差數(shù)列．（＋）4．等差數(shù)列前n項(xiàng)和式：S＝，2

2b2bn（－）Sna＋.5．如果數(shù){的通項(xiàng)公式是S＝n

＋(是n無(wú)的常數(shù)，么數(shù)一定是等差數(shù)列．6.、、等差數(shù){a為、的等差中2＝＋.7．在等差數(shù)列{a}中，＝＋－m)n∈N)n8．在等差數(shù)列{a}中，由＋n＝＋a＋＝＋，若＋＝2p＋＝.nqm9.在等差數(shù)列{a}中S－－構(gòu)等差數(shù)列2(SS)＋S－S．kkkkkkkkk10．已知{a{}等差數(shù)列，{－}{ca，＋，{＋kb}(中為n數(shù)，k∈)仍是等差數(shù)列．11．已知}為差數(shù)列，若k，k，，，為差數(shù)列，則，，，，ak仍是差數(shù)列．12.若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則設(shè)三個(gè)數(shù)為ad，，＋，可簡(jiǎn)化計(jì)算．13．證明等差數(shù)列的兩種方法．(1)定義：a－a＝d(∈N．n(2)等差中項(xiàng)2＝a＋a(∈N，≥2)．二、等比數(shù)列a1．定義：＝(∈N)或＝(∈N，n≥2)．a(chǎn)a2．通項(xiàng)公式：a＝(∈N)．a(chǎn)（1q）3．等比數(shù)列前n項(xiàng)和＝(≠1)S＝na(＝．1－q1－qn4．，，成比數(shù)為a、的比中項(xiàng)＝.5．在等比數(shù)列{a}中，＝×(∈N．n6．在等比數(shù)列{a}中，由＋n＝＋aa＝a，npq若＋＝a＝.n7.在等比數(shù)列{a}中－－構(gòu)等比數(shù)列(S)(S－)(Skkkkkkk≠．8．已{{}等比數(shù)列，{}中為為0的數(shù)∈Nnn仍是等比數(shù)列．9．已知}為比數(shù)列，若k，，，…為差數(shù)列，則ak，，，…，ak仍是比數(shù)列．a(chǎn)10．若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則設(shè)三個(gè)數(shù)為，a，，簡(jiǎn)化計(jì)．q11．證明等比數(shù)列的兩種方法．a(chǎn)(1)利用定義：＝＝(n∈N，≥．a(chǎn)a(2)等比中項(xiàng)：＝a(n∈N，≥2)三、通項(xiàng)公式的求法數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的重要內(nèi)容之一把列各項(xiàng)的性質(zhì)集于一身用求通項(xiàng)的方法有觀察法、公式法、累加法、累乘法、前n項(xiàng)作差法、輔助數(shù)列法．累加法：數(shù)列的基本形式為a－＝()(n∈N)的解析式，而f(1)＋＋……＋nf()的和可求出．

累乘法：數(shù)列的基本形式為

aa

＝)(∈N)解析關(guān)系，而f(2)·f(n)的積可求出．），前項(xiàng)作差法：利用＝能合則合．）待定系數(shù)法數(shù)列有形如a＝＋k≠1)的系可待定系數(shù)法求()為等n比數(shù)列，再求得a.四、特殊數(shù)列的前n項(xiàng)利用等差、等比數(shù)列求和公式是最基本最重要的方法．?dāng)?shù)列的求和除記住一些公式外，還應(yīng)注重對(duì)通項(xiàng)公式的分析與整理?yè)?jù)其特征求和常用的方法技巧有分組求和法序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等．分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列是比數(shù)列，但如果將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，那么就可以分別求和，再將其合并即可．倒序相加法是推導(dǎo)等差數(shù)的前n項(xiàng)公式時(shí)所用的方法是一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列反)，再把它與原數(shù)列加，就可以得到個(gè)a＋n錯(cuò)位相減法是推導(dǎo)等比數(shù)的前n項(xiàng)公式時(shí)所用的方法種法主要用于求數(shù)列{·的前項(xiàng)，其中a}、分別是等差和等比數(shù)列．nn裂項(xiàng)相消法是解與組合思在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用項(xiàng)的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)通)分解，然后重新組，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．題型1求列的通項(xiàng)公式(一)觀察法就是觀察數(shù)列的特征，橫向看各項(xiàng)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式．1234例1數(shù)1，，，，的通項(xiàng)公式()491625nA．＝(2n－1)·（＋）nB．＝(2n－＋（＋）nC．＝(2n＋＋（＋）4＋D．＝（＋）

112233解析：＝1＋，3＝＋，＝＋，…，44991616n∴＝(2n－＋.（＋）答案：(二)公式法等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種常見(jiàn)且重要的數(shù)列公法就是先分析后項(xiàng)與前項(xiàng)的差或比是否符合等差、等比數(shù)列的定義，然后用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式表示它．例2已數(shù){}為無(wú)窮數(shù)列若＋＝2a(n且∈N)，且a＝，＝，

4＝－，13123n－4＝－，13123n－求通項(xiàng)a.解析：a＋＝，n∴，，成等差數(shù)列．n又∵n且∈N，∴數(shù)列}為等數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，差為.由可∴通項(xiàng)a＝＋n－1)×1＝＋2.(三)利用a的系前項(xiàng)關(guān)系式有兩種形式：一種是與n的系式，記為S＝(n，它可由公式an，＝直求通項(xiàng)a，但要意n＝與n≥2兩種情況能否一；另一種是2與a的系式，記為(，＝0，求它的通項(xiàng)公式a.nnn例3已數(shù){}前n項(xiàng)和為S，＝，求數(shù)列a}的項(xiàng)公式．nnn3解析：＝1時(shí)，5a3∴＝，當(dāng)≥2時(shí)，∵＝－，∴＝－，n∴－＝5(S－)．n即－＝5，na1a431∴}是首項(xiàng)a＝，公q－的等數(shù)列．44n－1∴＝＝(∈N)．4(四)累加法、累乘法有些數(shù)列雖然不是等差數(shù)列或比數(shù)列是它的后項(xiàng)與前項(xiàng)的差或商具有一定的規(guī)律性，這時(shí)，可考慮利用累加或累乘法，結(jié)合等差、等比數(shù)列的知識(shí)解決．a(chǎn)n＋例4已a(bǔ)＝1，＝，求；a(2)已知數(shù)列{a}中，＝，＝＋n(n≥2)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．nna解析：(1)當(dāng)≥2時(shí)a＝···…·345n＋＝1××××…×＝

n（＋）.2而＝適合上式．1故}的通項(xiàng)公a＝n(n＋1)(∈N．2(2)∵＝＋(n≥2)，a－＝＝，－a＝，＝，…an

aaa2222naaa2222n＝.將這－1個(gè)等兩邊分別相加得a＝＋＋…＋，n（＋）∴＝＋＋＋…n＝(n≥2)．21×（1＋）當(dāng)＝，＝＝1成立．2n（＋）∴＝(n)．2(五)構(gòu)造法有些數(shù)列直觀上不符合以上各種形式時(shí)可對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)變形以利于使用以上各類方法．形如已知a，＝＋(為數(shù)形式均可用構(gòu)造等比數(shù)列法，即＋x＝(an＋)，＋}等比數(shù)列，或a－＝(a－)，{a－}為比數(shù)列．nn例5設(shè)數(shù)列{a}是項(xiàng)為的項(xiàng)數(shù)列，且a－a＋·＝0(n∈N)，求{a}的nn通項(xiàng)．解析：a－＋a·a＝0.n∴

11－＝n1又＝，∴項(xiàng)1，差為1的等數(shù)列，11故＝，＝(∈N)an1若數(shù)列}滿足a＝，＝a＋，.n分析根遞推公式求出前幾項(xiàng)再觀察規(guī)律，猜想通項(xiàng)公式，有時(shí)比較困難．可變換遞推公式，利用構(gòu)造等差或等比數(shù)列的技巧，從而求通項(xiàng)公式．1解析：法一∵＝a＋1，n1∴＝a＋，1兩式相減得－＝(－)令＝－(＝，，，)，311則＝－＝－1，b＝b，22211∴數(shù)列}是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列．22∴＝＋－)＋(a－)＋－)n＝＋＋＋＋121n1＝＋＝－(∈N)11－2

222n221S＝＝SS－＋n＋24.3222n221S＝＝SS－＋n＋24.31方法二設(shè)－＝(－)，n11則＝a－＋，n11根據(jù)＝a＋可得：－＋A＝，A2221∴－2＝－．n1令＝－，b＝＝－，＝，1∴數(shù)列}是以1為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列．21∵＝·＝－1)·

n－1，∴＝＋－

n－1(∈N)題型2數(shù)求和的方法數(shù)列中求前n項(xiàng)是數(shù)列運(yùn)算的重要內(nèi)容考題中涉及此部分與通項(xiàng)的綜合問(wèn)題于等差數(shù)列與等比數(shù)列可依據(jù)公式求其和于些具有特殊結(jié)構(gòu)的非等差比列可轉(zhuǎn)化為利用等差或等比數(shù)列前n項(xiàng)公式能求和的形式用法有公式法組法項(xiàng)、錯(cuò)位相減法等．要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行深入研究，找出規(guī)律，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法．111例7等數(shù){}中，a＝，差d＝，S為前項(xiàng)和求＋＋＋.SSS解析：等差數(shù){a}的項(xiàng)＝，公差d＝，n（n－）n（n－）∴前n項(xiàng)S＝＋d3n＋×22＝＋2n(n)，1∴＝

1111n＋n（n＋）2n＋111∴＋＋＋1111111113＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋－＋(－)]＝－232432＋32（＋）（＋）n例8設(shè)列}滿足a＋＋＋…3＝(∈N

)．(1)求數(shù)列}的通項(xiàng)；n(2)設(shè)＝，求數(shù)列}的n項(xiàng)和.an解析：∵＋＋

na＋…3＝，①3

3nnnn13nnnn1∴當(dāng)≥2時(shí)，＋＋＋…＋

n－＝，②由①－②得3

11，∴＝，331在①中，令n＝1，得a＝，31∴數(shù)列}的通公式a＝()．3n(2)∵＝＝·3，a∴＝＋2×3＋3×3＋＋×3，∴＝＋2×3＋3×3…＋×3④由④－③得2＝n×3－＋＋＋＋)3（1－）＝×3－，1－3（n－）×33∴＝＋44題型3數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題2S12例9(2013·廣東卷)設(shè)數(shù)列a}前項(xiàng)和S.已知，＝－n－－，n33n∈N.(1)求的值；(2)求數(shù)列}的通項(xiàng)公式．1117(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有＋＋…＋＜.a4n12(1)解析：依題意，＝－，又S＝a1，所以a＝3312(2)解析：當(dāng)≥2時(shí)2＝－n－－n，33122(n－a－n－1)－n－－－1)，3312兩式相減得2＝na－－1)－(3n－n＋－(2－－，33aa整理得n＋＝－(＋1)，即－＝，－＝，n＋21故數(shù)列項(xiàng)＝，公差為的差數(shù)列，所以＝＋n－1)×1＝n，當(dāng)＝時(shí)，上式顯然成立．所以＝(n∈N)．17(3)證明：當(dāng)＝時(shí)＝＜；a411157當(dāng)＝，＋＝1＋＝＜；aa444

34naaa434naaa411111當(dāng)≥3時(shí)，＝＜＝－，an（－）n－11111111111此時(shí)，＋＋＋＝＋＋＋＋＋＜＋＋－434n4n111717＝＋＋