第16講直線和圓錐曲線的位置關系【知識點梳理】知識點一：直線與橢圓的位置關系平面內點與橢圓的位置關系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內、橢圓外，因此，平面上的點與橢圓的位置關系有三種，任給一點M（x，y），若點M（x，y）在橢圓上，則有；若點M（x，y）在橢圓內，則有；若點M（x，y）在橢圓外，則有.直線與橢圓的位置關系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.①Δ＞0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；②Δ＝0直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；③Δ＜0直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．直線與橢圓的相交弦設直線交橢圓于點兩點，則==同理可得這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：知識點三、直線與雙曲線的位置關系直線與雙曲線的位置關系將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若即，①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點；②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點；③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點．直線與雙曲線的相交弦設直線交雙曲線于點兩點，則==同理可得這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：雙曲線的中點弦問題遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解.在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來相互轉化，同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍.解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.知識點四、直線與拋物線的位置關系直線與拋物線的位置關系將直線的方程與拋物線的方程y2=2px（p＞0）聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.若，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點；若①Δ＞0直線和拋物線相交，有兩個交點；②Δ＝0直線和拋物線相切，有一個公共點；③Δ＜0直線和拋物線相離，無公共點．直線與拋物線的相交弦設直線交拋物線于點兩點，則==同理可得這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：拋物線的焦點弦問題已知過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點。設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：①焦點弦長②③，其中|AF|叫做焦半徑，④焦點弦長最小值為2p。根據(jù)時，即AB垂直于x軸時，弦AB的長最短，最短值為2p。【題型歸納目錄】題型一：直線與橢圓的位置關系題型二：橢圓的弦題型三：橢圓的綜合問題題型四：直線與雙曲線的位置關系題型五：雙曲線的弦題型六：雙曲線的綜合問題題型七：直線與拋物線的位置關系題型八：拋物線的弦題型九：拋物線的綜合問題【典型例題】題型一：直線與橢圓的位置關系例1．（2022·全國·高二課時練習）直線與橢圓的交點個數(shù)為（

）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個例2．（2022·全國·高二單元測試）已知點?.下列曲線方程中，在該曲線上不存在點P，滿足的曲線方程為（

）A． B．C． D．例3．（2022·江蘇·南京市中華中學高二開學考試）橢圓：的左、右頂點分別為，，點在上且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．例4．（2022·江蘇·高二）已知橢圓C的標準方程為，若過點的直線l與橢圓C在第一象限相切于點M，則點M的坐標為______．例5．（2022·重慶·西南大學附中高二階段練習）直線：與橢圓的位置關系是____________.例6．（2022·全國·高二課時練習）已知直線與焦點在軸上的橢圓總有公共點，則b的取值范圍是___________.例7．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓C的兩個焦點分別是?，且橢圓C經過點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)當m取何值時，直線與橢圓C：①有兩個公共點；②只有一個公共點；③沒有公共點？例8．（2022·四川·寧南中學高二階段練習（文））已知橢圓的一個頂點為，離心率為.(1)求橢圓的方程(2)過橢圓右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點A，B，與軸交于點E，線段AB的中點為P，直線過點E且垂直于（其中O為原點），證明直線過定點.例9．（2022·全國·高二課時練習）已知直線與橢圓C：有唯一的公共點，求實數(shù)m的值．例10．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學校高二期末）設，分別是橢圓：的左、右焦點，的離心率為，點是上一點.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交橢圓E于A，B兩點，且，求直線的方程.例11．（2022·全國·高二課時練習）已知直線與橢圓相交于不同的兩點，求k的取值范圍．題型二：橢圓的弦例12．（2022·福建·莆田一中高二期末）直線x－y＋1＝0被橢圓＋y2＝1所截得的弦長|AB|等于（

）A． B． C． D．例13．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓的右焦點為，左、右頂點為A、，，．則直線被橢圓截得的弦長為_____________．例14．（2022·全國·高二課時練習）已知直線與橢圓相交于A，B兩點，求線段的長．例15．（2022·廣東茂名·高二期末）已知橢圓的中心在原點，焦點為，，且長軸長為4.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于A，兩點，求弦長.例16．（2022·遼寧丹東·高二期末）平面直角坐標系xOy中，點，，點M滿足.記M的軌跡為C.(1)說明C是什么曲線，并求C的方程；(2)已知經過的直線l與C交于A，B兩點，若，求.例17．（2022·新疆·哈密市第一中學高二期末（理））已知中心在原點的橢圓C的右焦點為，離心率等于.(1)求橢圓C的標準方程；(2)過橢圓右焦點且傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，求的長.例18．（2022·遼寧沈陽·高二期末）已知橢圓的標準方程為：，若右焦點為且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設，是上的兩點，直線與曲線相切且，，三點共線，求線段的長．例19．（2022·河南·高二階段練習（理））已知橢圓的離心率為，為右焦點，為的上頂點，且.為坐標原點.（1）求橢圓的方程;（2）設直線與相交于兩點，求的面積.例20．（2022·新疆昌吉·高二期末（文））已知橢圓的長軸在軸上，長軸長為4，離心率為，（1）求橢圓的標準方程，并指出它的短軸長和焦距.（2）直線與橢圓交于兩點，求兩點的距離.例21．（2022·河南·溫縣第一高級中學高二開學考試（文））已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，左頂點為，離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）斜率為1的直線與橢圓相交于，兩點，求的最大值．題型三：橢圓的綜合問題例22．（2022·江蘇·高二）（1）已知中心在原點的雙曲線的漸近線方程是，且雙曲線過點，求雙曲線的方程；（2）已知橢圓的中心在坐標原點，右焦點的坐標為，直線交橢圓于兩點，線段的中點為，求橢圓的方程；例23．（2022·廣東·清遠市博愛學校高二階段練習）已知橢圓M的短軸長為，焦點坐標分別為和.(1)求橢圓M的標準方程.(2)斜率為k的直線與橢圓M交于A?B兩點，若線段AB的中點為P，O為坐標原點，且直線OP的斜率kOP存在，試判斷k與kOP的乘積是否為定值，若是請求出，若不是請說明理由.例24．（2022·四川·南部縣第二中學高二階段練習（文））已知橢圓的短軸長為，焦點坐標分別為和.(1)求橢圓的標準方程.(2)直線與橢圓交于兩點，若線段的中點，求直線的方程.例25．（2022·江蘇省阜寧中學高二期中）已知橢圓的右焦點為F(，0)，且點M(－，)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)直線l過點F，且與橢圓交于A，B兩點，過原點O作l的垂線，垂足為P，若，求λ的值.例26．（2022·四川·寧南中學高二階段練習（文））已知橢圓的一個頂點為，離心率為.(1)求橢圓的方程(2)過橢圓右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點A，B，與軸交于點E，線段AB的中點為P，直線過點E且垂直于（其中O為原點），證明直線過定點.例27．（2022·陜西咸陽·高二期末（理））已知點?分別是橢圓C：）的左?右焦點，點P在橢圓C上，當∠PF1F2=時，面積達到最大，且最大值為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設直線l：與橢圓C交于A?B兩點，求面積的最大值.例28．（2022·安徽·淮南第二中學高二階段練習）點是曲線上任一點，已知曲線在點處的切線方程為．如圖，點P是橢圓上的動點，過點P作橢圓C的切線l交圓于點A、B，過A、B作圓O的切線交于點M．(1)求點M的軌跡方程；(2)求面積的最大值．例29．（2022·江蘇·高二課時練習）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過橢圓的右焦點作直線，與軸垂直，交橢圓于、兩點．(1)求的長．(2)求內切圓的面積．例30．（2022·內蒙古師大附中高二期末（理））已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，橢圓C上點M滿足．(1)求橢圓C的標準方程：(2)若過坐標原點的直線l交橢圓C于P，Q兩點，求線段PQ長為時直線l的方程．例31．（2022·北京平谷·高二期末）已知橢圓C：（）的離心率為，并且經過點，(1)求橢圓C的方程；(2)設點關于坐標原點的對稱點為，點為橢圓C上任意一點，直線的斜率分別為，，求證：為定值．題型四：直線與雙曲線的位置關系例32．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直線與雙曲線沒有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．例33．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學高二階段練習（文））直線與雙曲線的交點個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0例34．（2022·陜西·西安中學高二期末（文））已知雙曲線方程為，過點的直線與雙曲線只有一個公共點，則符合題意的直線的條數(shù)共有（

）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條例35．（多選題）（2022·浙江浙江·高二期中）若雙曲線的方程為，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率為 B．雙曲線的焦點坐標為C．雙曲線的漸近線方程為 D．直線與雙曲線有兩個交點例36．（2022·江蘇·高二）已知直線與雙曲線有且只有一個公共點，則C的離心率等于________．例37．（2022·江蘇·高二）已知直線與雙曲線無交點，則該雙曲線離心率的最大值為_________.例38．（2022·全國·高二單元測試）若曲線與直線有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是___________.例39．（2022·上海市建平中學高二階段練習）若直線與雙曲線僅有一個公共點，則k的取值是_________例40．（2022·重慶市清華中學校高二階段練習）已知雙曲線的方程為，直線.(1)求雙曲線的漸近線方程、離心率；(2)若直線與雙曲線僅有一個公共點，求實數(shù)的值.例41．（2022·江蘇·高二課時練習）判斷直線與雙曲線的公共點的個數(shù)．題型五：雙曲線的弦例42．（2022·江蘇·高二）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，A為一條漸近線上的一點，且，則的面積為（

）A． B． C．5 D．例43．（2022·江蘇·高二）已知為雙曲線：的兩個焦點，，為上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．例44．（2022·江蘇·高二課時練習）若經過雙曲線的一個焦點，且垂直于實軸的直線l與雙曲線交于A，B兩點，則線段AB的長為______.例45．（2022·江蘇·高二）求直線被雙曲線截得的弦長.例46．（2022·全國·高二課時練習）過雙曲線的左焦點，作傾斜角為的直線.(1)求證：與雙曲線有兩個不同的交點；(2)求線段的中點的坐標和.例47．（2022·四川·自貢成外高級中學有限公司高二階段練習（文））已知雙曲線的漸近線方程為，且過點．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的一個焦點作斜率為的直線交雙曲線于兩點，求弦長．例48．（2022·內蒙古烏蘭察布·高二期末（理））已知雙曲線C：（a>0，b>0）的離心率為，實軸長為2.(1)求雙曲線的焦點到漸近線的距離；(2)若直線y=x+m被雙曲線C截得的弦長為，求m的值.例49．（2022·湖北·武漢市第十九中學高二期末）已知點A(-2，0)，B(2，0)，動點M滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)若直線和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點，求.例50．（2022·甘肅蘭州·高二期末（文））已知雙曲線及直線．（1）若與有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．（2）若與交于，兩點，且線段中點的橫坐標為，求線段的長．例51．（2022·全國·高二期末）已知焦點在軸上的雙曲線的實軸長為，焦距為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）若直線與雙曲線交于兩點，求弦長.題型六：雙曲線的綜合問題例52．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學高二階段練習（文））已知雙曲線過點，且離心率(1)求該雙曲線的標準方程：(2)如果，為雙曲線上的動點，直線與直線的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出該定值.例53．（2022·全國·高二）已知雙曲線，是上的任意點.（1）求證：點到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；（2）設點的坐標為，求的最小值.例54．（2022·上?！じ裰轮袑W高二期中）已知點?依次為雙曲線（，）的左?右焦點，且，.(1)若，以為法向量的直線經過，求到的距離；(2)設雙曲線經過第一?三象限的漸近線為，若直線與直線垂直，求雙曲線的離心率.例55．（2022·江蘇·高二）在以下三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題：①在拋物線C上，且；②過焦點F作x軸的平行線，與拋物線C交于G，H兩點，；③拋物線C的準線過雙曲線的下焦點．問題：已知拋物線的焦點為F，點，______，若線段AF的垂直平分線交拋物線于P，Q兩點，求線段PQ的長度．例56．（2022·江蘇·高二期末）已知雙曲線的離心率為，兩條準線間的距離為.(1)求C的標準方程；(2)斜率為k的直線l過點，且直線與C的兩支分別交于點A，B，①求k的取值范圍；②若D是點B關于x軸的對稱點，證明：直線AD過定點.例57．（2022·福建泉州·高二期中）平面直角坐標系中，橢圓C與雙曲線共焦點，點A，B是C上不關于長軸對稱的兩點，且的最大值為8．(1)求C的方程；(2)若A，B到點的距離相等，求m的取值范圍．例58．（2022·上海市奉賢中學高二階段練習）如圖，在以點O為圓心，為直徑的半圓中，D為半圓弧的中點，P為半圓弧上一點，且，雙曲線C以A，B為焦點且經過點P．以O為原點，所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系．(1)求雙曲線C的方程；(2)設過點D的直線l與雙曲線C相交于不同兩點E，F(xiàn)，若的面積不小于，求直線l的斜率的取值范圍．例59．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線上的一點P與左右焦點、構成．(1)求的內切圓與x軸正半軸相切的切點N的坐標；(2)已知，求的大?。?0．（2022·全國·高二課時練習）直線l：與雙曲線C：交于不同的兩點A、B．(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)若雙曲線C的右焦點為F，是否存在實數(shù)k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．例61．（2022·全國·高二課時練習）平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩定點、，動點滿足：．(1)求點P的軌跡方程；(2)設點P的軌跡與雙曲線C：交于相異兩點M、N．若以MN為直徑的圓經過原點，且雙曲線C的虛軸長是實軸長的倍，求雙曲線C的方程．題型七：直線與拋物線的位置關系例62．（2022·全國·高二課時練習）過點作直線l與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．無數(shù)條例63．（多選題）（2022·江蘇·高二）已知直線與拋物線相切，則（

）A． B． C． D．例64．（2022·北京二中高二學業(yè)考試）已知拋物線的焦點到準線的距離為3，過焦點的直線與拋物線交于兩點，且，則點到軸的距離為___________.例65．（2022·全國·高二課時練習）過點且與拋物線只有一個公共點的直線的條數(shù)為______條．例66．（2022·湖北·隨州市第一中學高二階段練習）拋物線的準線與軸相交于點，過點作斜率的直線交拋物線于，兩點，為拋物線的焦點，若，則直線的斜率___________.例67．（2022·江蘇·高二）已知直線與拋物線有且只有一個公共點，則滿足條件的實數(shù)的值組成集合_______.例68．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線的兩條漸近線分別與拋物線的準線交于A、B兩點，O為坐標原點，若△AOB的面積為1，則p的值為______．例69．（2022·全國·高二課時練習）求過定點且與拋物線只有一個公共點的直線方程.例70．（2022·全國·高二課時練習）①直線l過點，②直線l與拋物線只有一個公共點，③直線l過拋物線的焦點，從中選擇兩個條件求直線l的方程.例71．（2022·全國·高二期末）已知拋物線，的焦點為，若過點的直線與拋物線有且只有一個交點，求直線的方程．例72．（2022·全國·高二課時練習）已知直線與拋物線有且只有一個公共點，求的值．題型八：拋物線的弦例73．（2022·江蘇·高二）己知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點，直線與C交于D、E兩點，則的最小值為（

）A．24 B．22 C．20 D．16例74．（2022·江蘇·高二）拋物線的弦AB過其焦點，且垂直于它的對稱軸，O為原點，若△AOB的面積為3，則拋物線方程為______．例75．（2022·吉林·長春市第八中學高二階段練習）已知直線l與拋物線交于A、B兩點，若線段AB的中點為，則線段AB的長度為_______．例76．（2022·江蘇·高二）已知拋物線：（）的焦點到準線的距離為4，過點的直線與拋物線交于，兩點，若，則______．例77．（2022·全國·高二單元測試）過拋物線的焦點的直線和拋物線交于兩點，若弦，則該直線的方程是___________.例78．（2022·江蘇·高二）設O是坐標原點，F(xiàn)是拋物線的焦點，A是拋物線上的一點，F(xiàn)A與x軸正向的夾角為60°，則___________.例79．（2022·全國·高二課時練習）設F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則的面積為______.例80．（2022·廣西·高二階段練習（理））已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于、兩點，坐標原點為.(1)若，求直線的方程；(2)若，求的面積.例81．（2022·江蘇·高二）已知拋物線的焦點為，為坐標原點．(1)過作垂直于軸的直線與拋物線交于兩點，的面積為．求拋物線的標準方程；(2)拋物線上有兩點，若為正三角形，求的邊長．例82．（2022·江蘇·高二）已知過拋物線方程的焦點的直線交拋物線于、兩點，若，求弦長．例83．（2022·江蘇·高二）已知拋物線過點．(1)求拋物線的方程，并求其準線方程；(2)過該拋物線的焦點，作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點，求線段的長度．例84．（2022·四川·富順第二中學校高二階段練習（理））已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，開口向右且焦點到準線的距離為.(1)求拋物線的標準