7.1

任意角的概念與弧度制7.1.1角的推廣7.1.2?弧度制及其與角度制的換算P71學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解任意角的概念，能正確區(qū)分正角、負角和零角.2.理解象限角、軸線角、終邊相同的角的概念，會判斷已知角的終邊所在的象限以及幾個已知角是不是終邊相同的角.

3.會用集合的形式表示象限角、軸線角和終邊相同的角，能進行簡單的角的集合之間的運算.重點：將0°~360°的角的概念推廣到任意角.難點：角的概念的推廣，終邊相同的角的表示.7.1.1角的推廣知識梳理一、角的概念的推廣

同時我們還知道，角可以看成是平面內(nèi)一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.1.小學(xué)和初中所學(xué)過的角

在小學(xué)和初中，我們把有公共端點的兩條射線組成的圖形稱為角，這個公共端點稱為角的頂點，這兩條射線稱為角的邊.我們以前所學(xué)過的角，大小一般不會超過一個周角（360°）的大小.2.角的概念的推廣（1）摩天輪所轉(zhuǎn)過的角度大小是否會超過360°？（2）如果甲、乙兩人分別站在摩天輪的兩側(cè)觀察，那么他們所看到的摩天輪旋轉(zhuǎn)方向相同嗎？如果不同，你能用合適的數(shù)學(xué)符號表示這種不同嗎？從這個實例出發(fā)，你能將以前所學(xué)的角進行推廣嗎？思考：當(dāng)摩天輪在持續(xù)不斷地轉(zhuǎn)動時，角的概念的推廣：一條射線繞其端點旋轉(zhuǎn)到另一條射線所形成的圖形稱為角，這兩條射線分別稱為角的始邊和終邊.射線的旋轉(zhuǎn)有兩個相反的方向：順時針方向和逆時針方向.習(xí)慣上規(guī)定，按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角稱為正角；按照順時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角稱為負角；當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時，我們也把它看成一個角，稱為零角.這樣定義的角，由于是旋轉(zhuǎn)生成的，所以也常稱為轉(zhuǎn)角.提示：

“旋轉(zhuǎn)”是用運動的觀點來定義角，它使得角的范圍不再局限于0°~360°，研究問題變得更加方便.旋轉(zhuǎn)三要素：①未作任何旋轉(zhuǎn)時的位置，

②旋轉(zhuǎn)方向，

③旋轉(zhuǎn)的絕對量，即旋轉(zhuǎn)度數(shù).值得注意的是，在角的定義中，當(dāng)射線繞其端點按逆時針方向或按順時針方向旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)的絕對量可以是任意的.因此，角的概念經(jīng)過推廣以后，就包括正角、負角、零角.也就是說，角的大小是任意的.由此，我們把角的概念推廣到了任意角.3.角的作圖方法作圖時，常用帶箭頭的弧來表示旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的絕對量.

圖（1）

圖（2）

如圖（1）（2）表示的兩個轉(zhuǎn)角，逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成正角.順時針方向旋轉(zhuǎn)形成負角.注意：1.由圖確定任意角的度數(shù)時，首先看旋轉(zhuǎn)方向，以確定正負；其次看旋轉(zhuǎn)圈數(shù)，以確定數(shù)量.2.畫圖表示角時，因為箭頭的方向代表角的正負，所以箭頭不能丟掉.3.始邊與終邊重合的角不一定是零角，只有終邊沒作任何旋轉(zhuǎn)，始邊與終邊重合的角才是零角.4.角的加減運算的一個幾何意義利用轉(zhuǎn)角，可以給出角的加減運算的一個幾何意義.例如，對于60°+90°來說，如圖（1）所示，射線OA逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OB所形成的角為60°，OB逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OC所形成的角為90°，則OA逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OC所形成的角為60°+90°＝150°.圖（1）類似地，如圖（2）所示，射線OA逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OB所形成的角為90°，OB順時針方向旋轉(zhuǎn)到OC所形成的角為-30°，則OA逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OC所形成的角為90°-30°＝60°.圖（2）二、象限角1.象限角為了方便起見，通常將角放在平面直角坐標(biāo)系中來討論，并約定：角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊落在x軸的正半軸上.這時，角的終邊在第幾象限，就把這個角稱為第幾象限角.如果終邊在坐標(biāo)軸上，就認為這個角不屬于任何象限.提示：1.“角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合”是研究象限角的前提，也是將角置于坐標(biāo)系進行研究的最簡形式.2.當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)軸上時，通常稱此類角為軸線角.3.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的好處：在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊繞原點旋轉(zhuǎn)360°后回到原來的位置.因此，在平面直角坐標(biāo)系中討論角可以很好地表現(xiàn)角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.

示例：圖（1）

圖（2）二四

對于集合S＝{β|β＝α+k·360°，k∈Z}的理解應(yīng)注意四點：（1）α是任意角.

（4）若頂點和始邊相同，則相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍.知識拓展1.各象限角的集合表示象限角象限角α的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角

2.軸線角的集合表示角α終邊的位置角α的集合表示在x軸的正半軸上在x軸的負半軸上在y軸的正半軸上在y軸的負半軸上在x軸上在y軸上在坐標(biāo)軸上

?？碱}型一、角的概念的推廣例1下列說法：①經(jīng)過兩個小時，時鐘的時針轉(zhuǎn)過的角是60°；②鈍角一定大于銳角；③射線OA繞端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周所成的角是0°；④小于90°的角都是銳角.其中錯誤的為

（填序號）.1.辨析角的概念【解析】

①經(jīng)過兩個小時，時鐘的時針按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，因而轉(zhuǎn)過的角為-60°，故①不正確.②鈍角α的取值范圍為90°<α<180°，銳角θ的取值范圍為0°<θ<90°，因此鈍角一定大于銳角，故②正確.③射線OA繞端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周所成的角是360°，故③不正確.④銳角θ的取值范圍是0°<θ<90°，小于90°的角也可以是零角或負角，故④不正確.【答案】

①③④訓(xùn)練題下列說法正確的有

.（填序號）①零角的始邊和終邊重合.②始邊和終邊重合的角是零角.③如圖，若射線OA為角的始邊，OB為角的終邊，則∠AOB＝45°；若射線OB為角的始邊，OA為角的終邊，則∠BOA＝-45°.④絕對值最小的角是零角.①

③④2.角的加減及其幾何意義例2射線OA繞端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°到達OB，再由OB順時針旋轉(zhuǎn)240°到達OC，則∠AOC＝（）A.120°

B.-120°

C.360°

D.-360°【解析】射線OA繞端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°到達OB所形成的角為120°，由OB順時針旋轉(zhuǎn)240°到達OC所形成的角為-240°，則OA繞端點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)到OC所形成的∠AOC＝120°+（-240°）＝-120°.【答案】

B訓(xùn)練題1.如圖（1）（2），從OA旋轉(zhuǎn)到OB，OB1，OB2時所成的角度α＝

，β＝

，γ＝

.圖（1）

圖（2）

【點撥】在判斷角度時，應(yīng)時刻抓住“旋轉(zhuǎn)”二字：①要明確旋轉(zhuǎn)方向；②要明確旋轉(zhuǎn)絕對值；③要明確射線未作任何旋轉(zhuǎn)時的位置；④注意由旋轉(zhuǎn)方向來確定角的符號.2.求和并作圖表示下列各角：（1）60°+90°；（2）90°-30°；（3）-60°-45°.解：（1）60°+90°＝150°，如圖①；（2）90°-30°＝60°，如圖②；（3）-60°-45°＝-105°，如圖③.

圖①

圖②

圖③二、象限角、軸線角與終邊相同的角

1.辨析象限角、軸線角例3若角α的終邊經(jīng)過點M（0，-3），則角α

（）A.是第三象限角

B.是第四象限角C.既是第三象限角，又是第四象限角

D.不屬于任何一個象限【解析】∵

點M（0，-3）在y軸負半軸上，

∴

角α不屬于任何一個象限.【答案】D2.寫與已知角終邊相同角的集合，求在某個范圍內(nèi)與已知角終邊相同的角例4

寫出與75°角終邊相同的角的集合S，并把S中滿足不等式360°≤β≤1080°的元素β寫出來.【解題提示】根據(jù)與角α終邊相同的角的集合為{β|β＝α+k·360°，k∈Z}，寫出與75°角終邊相同的角的集合S，再取適當(dāng)?shù)膋值，求出滿足不等式360°≤β≤1080°的元素β.◆求在某個范圍內(nèi)與已知角α終邊相同的角的方法首先可將這樣的角表示成α+k·360°（k∈Z）的形式，然后采用解不等式或賦值法求解，確定k的值，求出符合條件的角.例5

已知α＝-1120°.（1）把α寫成β+k·360°（k∈Z）的形式，其中0°≤β<360°；（2）寫出與角α終邊相同的角θ的集合S，并求出S中滿足不等式-720°≤θ≤0°的元素.【解題提示】（1）將α除以360°，得商和余數(shù)，再改寫成β+k·360°（k∈Z）的形式；（2）先寫出與α終邊相同的角的集合，然后采用賦值法或解關(guān)于k的不等式（組）求出k，再代入求出范圍內(nèi)的角.

訓(xùn)練題已知α＝-1845°，在與α終邊相同的角中，求滿足下列條件的角：（1）最小的正角；（2）最大的負角；（3）［-360°，720°］范圍內(nèi)的角.

3.寫終邊在某條過原點的射線上的角的集合

例6

在平面直角坐標(biāo)系中寫出下列角的集合：

（1）終邊在x軸的正半軸上；（2）終邊在y＝x（x≥0）上.

◆寫終邊在某條過原點的射線上的角的集合的一般步驟（1）數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該射線.（2）寫出［0°，360°）內(nèi)，終邊在該射線上的角.（3）再寫出與上述角終邊相同的角組成的集合.

訓(xùn)練題1.終邊與坐標(biāo)軸重合的角α的集合是

（）A.{α|α＝k·360°，k∈Z}

B.{α|α＝k·180°，k∈Z}C.{α|α＝k·90°，k∈Z}

D.{α|α＝k·180°+90°，k∈Z}2.集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中各角的終邊都在

（）A.x軸正半軸上

B.y軸正半軸上C.x軸或y軸上

D.x軸正半軸或y軸正半軸上CC3.下列說法不正確的是

.（填序號）①第一象限角一定不是負角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角都是鈍角；④小于90°的角是銳角.4.若角α與β的終邊相同，則角α-β的終邊

（）A.在x軸的正半軸上

B.在x軸的負半軸上C.在y軸的負半軸上

D.在y軸的正半軸上①②③④A5.判定給定角是第幾象限角或終邊在第幾象限例8已知角的頂點與平面直角坐標(biāo)系的原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，作出下列各角，指出它們是第幾象限角，并指出在［0°，360°）的范圍內(nèi)與其終邊相同的角.（1）405°；（2）-45°；（3）495°；（4）-520°.【解題提示】【解】作出各角的終邊如圖所示.

由圖可知：（1）405°角是第一象限角；（2）-45°角是第四象限角；（3）495°角是第二象限角；（4）-520°角是第三象限角.（1）405°＝45°+360°，所以在［0°，360°）的范圍內(nèi)，與405°角終邊相同的角是45°角.（2）-45°＝315°-360°，所以在［0°，360°）的范圍內(nèi)，與-45°角終邊相同的角是315°角.（3）495°＝135°+360°，所以在［0°，360°）的范圍內(nèi)，與495°角終邊相同的角是135°角.（4）-520°＝200°-2×360°，所以在［0°，360°）的范圍內(nèi)，與-520°角終邊相同的角是200°角.

◆判定給定角α是第幾象限角或終邊在第幾象限的方法根據(jù)終邊相同的角的概念，將α寫成β+k·360°，k∈Z，0°≤β<360°的形式，觀察角β的終邊所在的象限即可.β在第幾象限，此角就是第幾象限角.也即，將α除以360°，求出其在［0°，360°）內(nèi)的余數(shù)，再根據(jù)這個余數(shù)來確定角所在的象限.訓(xùn)練題1.已知α＝-1910°，把α寫成β+k·360°（k∈Z，0°≤β<360°）的形式，指出它是第幾象限角.

三、終邊對稱的兩角之間的關(guān)系

例9若α與β的終邊關(guān)于y軸對稱，則α+β的終邊一定

落在

.

訓(xùn)練題1.已知θ為小于180°的正角，這個角的4倍與這個角的終邊關(guān)于x軸對稱，那么θ＝

.

2.已知角α和角β的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，且β＝-60°，則α＝

.

72°或144°k·360°+150°（k∈Z）四、寫終邊在某條過原點的直線上的角的集合

【錦囊妙記】終邊相同的角常用的三個結(jié)論1.終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍.2.終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍，即若α與β的終邊在同一條直線上，則α-β＝k·180°，k∈Z.3.終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍，即若α與β的終邊垂直，則α-β＝±90°+k·360°，k∈Z.◆寫終邊在某條過原點的直線上的角的集合的一般步驟（1）數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線（射線）.（2）寫出［0°，360°）內(nèi)所有終邊在該直線（射線）上的角.（3）再分別寫出與上述角終邊相同的角組成的集合.（4）對上述集合求并集，并化簡集合，得結(jié)論.【說明】終邊在過原點的直線上的角β都可表示為180°的整數(shù)倍加上［0°，180°）范圍內(nèi)終邊在該直線上的角α，即：終邊在過該直線上的角β的集合可以記為{β|β＝α+k·180°，k∈Z

}.

訓(xùn)練題寫出終邊落在如圖所示的直線上的角的集合.圖（1）

圖（2）

圖（3）

圖（4）

解：由于終邊落在直線上的角都是180°的整數(shù)倍加上相應(yīng)的角（0°到180°范圍內(nèi)），因此相對應(yīng)的角的集合為：（1）{α|α＝90°+k·180°，k∈Z}.（2）{α|α＝45°+k·180°，k∈Z}.（3）{α|α＝135°+k·180°，k∈Z}.（4）{α|α＝45°+k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°+k·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°+2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝45°+（2k+1）·90°，k∈Z}＝{α|α＝45°+k·90°，k∈Z}.

五、判定倍角、分角、補角終邊所在位置

A

例12

已知角α是第二象限角，則180°-α是第幾象限【解】由角α是第二象限角，可得90°+k·360°<α<180°+k·360°，k∈Z，所以180°-（90°+k·360°）>180°-α>180°-（180°+k·360°），k∈Z，即90°-k·360°>180°-α>-k·360°，k∈Z.所以180°-α為第一象限角.【錦囊妙記】α與180°-α的終邊關(guān)于y軸對稱，類似地，α與-α的終邊關(guān)于x軸對稱，α與180°+α的終邊關(guān)于原點對稱，利用這些關(guān)系，可以由α的終邊所在的象限直接看出相應(yīng)角的終邊所在的象限.訓(xùn)練題1.若α是第四象限角，則180°-α的終邊一定在

（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限2.已知α是第三象限角，則-α是第（）象限角.A.四

B.三

C.二

D.一CC六、求終邊落在某區(qū)域的角的集合例13

如圖所示，已知α的終邊在圖中陰影部分所表示的區(qū)域內(nèi)（包括邊界），則角α的集合為

.

【解析】如圖所示，按逆時針方向找到區(qū)域的起始邊界OA和終止邊界OB，OA，OB對應(yīng)的［0°，360°］范圍內(nèi)的角分別為45°，150°，∴

最簡區(qū)間為{α|45°≤α≤150°}.∴

終邊落在該區(qū)域的角α的集合為{α|45°+k·360°≤α≤150°+k·360°，k∈Z

}.【答案】

{α|45°+k·360°≤α≤150°+k·360°，k∈Z}訓(xùn)練題1.如圖所示，終邊落在陰影部分內(nèi)（含邊界）的角α的集合是

（）A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°，k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°，k∈Z}C2.如圖所示，寫出終邊在圖中陰影部分內(nèi)（包括邊界）的角的集合，并判斷-950°12′角是不是該集合中的角.

3.已知角α的終邊在如圖所示的陰影部分所表示的范圍內(nèi)，求角α的取值范圍.解：當(dāng)角α的終邊落在陰影的上半部分時，α∈{α|k·360°+30°<α≤k·360°+150°，k∈Z}，當(dāng)角α的終邊落在陰影的下半部分時，α∈{α|k·360°-150°<α≤k·360°-30°，k∈Z}.由此可知滿足題意的角α的取值范圍為{α|k·180°+30°<α≤k·180°+150°，k∈Z}.小結(jié)1.角的概念推廣后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐標(biāo)系中進行研究，對于一個給定的角，都有唯一的一條終邊與之對應(yīng)，并使得角具有代數(shù)和幾何雙重意義.2.終邊相同的角有無數(shù)個，在0°～360°范圍內(nèi)與已知角β終邊相同的角有且只有一個.用β除以360°，若所得的商為k，余數(shù)為α（α必須是正數(shù)），則α即為所找的角.3．求終邊相同的特定范圍內(nèi)的角時，可以根據(jù)數(shù)形結(jié)合試算得解，從而能夠避免列不等式計算的麻煩。

7.1.2?弧度制及其與角度制的換算學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解弧度制，體會引入弧度制的必要性.2.理解1弧度的角及弧度的定義.3.掌握角度與弧度的換算公式，能進行角度與弧度的換算，并熟記幾個特殊角的弧度數(shù).4.掌握弧度制中的弧長公式和扇形面積公式.重點：了解弧度制，并能進行弧度與角度的換算.難點：弧度的概念.知識梳理一、度量兩種角的制度（弧度制與角度制）角度制定義用度數(shù)作為單位來度量角的單位制1度角弧度制定義以弧度