第15講指數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)了=優(yōu)（“>o且OH1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中'是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.

2.指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)

函數(shù)名稱(chēng)指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)了=優(yōu)（”>0且。=1）叫做指數(shù)函數(shù)

a>10<a<\

圖象

^1

J"1(0.1)

-

定義域R

值域(0,+oo)

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)（0,1）,即當(dāng)X=O時(shí)，y=l.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

xx

函數(shù)值的a>l(x>0)a<l(x>0)

ax=l(x=0)ax=l(x=1)

變化情況ax<l(x<0)ax>l(x<0)

。變化對(duì)圖象

在第一象限內(nèi)，。越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，。越大圖象越低.

的影響

例1.在下列的關(guān)系式中，哪些不是指數(shù)函數(shù)，為什么？

(1)y=2"2⑵y=⑶y=-2'(4)y=

(5)y=x2(6)y=4x2(7)y=xx(8)y=(a-1)x(.a>\,且aH2)

【答案】⑴(2)(3)(5)(6)⑺不是

例2.比較下列各題中兩個(gè)值的大小:

(1)1,525,1.512(2)0.57,0.57

111

⑶1.5,0.8口

【答案】(1)<;(2)<；(3)>；(4)

比較大小問(wèn)題的處理方法：1：看類(lèi)型2：同底用單調(diào)性3:其它類(lèi)型找中間量

例3.函數(shù)〃x)=優(yōu)“+1(a>0且a")的圖象一定通過(guò)點(diǎn).

【答案】（—1,2）

例4.若函數(shù)歹=詭-（6+1）（。>0M工1）的圖像經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則一定有（）

A.a>1且b>0B.0<a<1且b<0

C.0<a<1且b>0D.a>1且b>1

【答案】A

【解析】依題意該函數(shù)為增函數(shù)且在v軸截距為負(fù)，

a>1

所以</_（6+］）<o，解得Q>1且6>0,選A.

例5.二次函數(shù)、=狽2+法與指數(shù)函數(shù)的圖象只可能是（）

ABCD

【答案】A

【解析】由指數(shù)函數(shù)y=可知a,6同號(hào)且不相等，

則二次函數(shù)y=ax2+bx的對(duì)稱(chēng)軸x=-<0可排除B與D,

C錯(cuò)誤：易知一2=^1^<(-1)±°=」,所以。>1,此時(shí)y=單調(diào)遞增，

2a222a\a)

A正確：易知-2=土土三>以1土2=-1,所以0<2<1,此時(shí)y單調(diào)遞減.

2a222a{aJ

例6.解方程：23T4=

【答案】x=g或-1

：+24(?+2)

［解析］由2-214=(焉J'一得2-2…=(27)'=2,

所以-2x-14=-4(/+2),解得x=|或-1,

例7.求下列不等式的解集：

(1)G)>32;⑵>-%>/+7(4>0且0H1)

【答案】(1)(-2,4)；(2)0<a<l時(shí)解集為(-1,7),a>l時(shí)解集為(-8,-l)U(7,+8)

【解析】⑴由《),‘>33得3->3勿，所以8-/>_2X,解得-2<X<4,

故解集為(-2,4)；

⑵當(dāng)0<”1時(shí)，由優(yōu)>小7得》2_5欠<》+7,解得-1<X<7；

當(dāng)。>1時(shí)，由產(chǎn)">尸得f-5x>x+7,解得x<-l或x>7,

綜上所述，0<”1時(shí)解集為(-1,7),a>l時(shí)解集為(70,-1)U(7,m).

例8.求函數(shù)的定義域和值域:

⑴；⑵尸業(yè)1_1；

(3)J=lyI；(4)y=2、-j+，

【答案】⑴定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?+Q|；⑵定義域?yàn)橐?；?8)，值域?yàn)椋?，+8)；

⑶定義域?yàn)镽,值域?yàn)?,+8)；⑷定義域?yàn)椋?4,1］,值域?yàn)椋?,4夜］

【解析】(1)定義域?yàn)镽,?.-2x-x2=-(x-l)2+l<lKy=［1］為減函數(shù)，

(2)由321奪0得3214=3-2,;.2》-12-2,解得xN-；,??.定義域?yàn)橐唬?內(nèi)

由321-卜0可知”0,.?.值域?yàn)椋?,+00)；

⑶定義域?yàn)镽,???-卜+心。且夕=(|)為減函數(shù),

值域?yàn)椋?，+8);

(4)由一x2-3x+420解得一44x41,.?.定義域?yàn)閇-4,1],

由-x2-3x+420可知y=2M"+422飆=1,

且*.3x+4=_g+以"則y=2'*j"<2后=25=472，

I2；44

值域?yàn)?/p>

例9.(1)求函數(shù)〉=3孑-，的單調(diào)區(qū)間；

/4、x?-2x-3

⑵求函數(shù)/（x）=（的單調(diào)減區(qū)間.

【答案】⑴單調(diào)增區(qū)間為‘8,-；）,單調(diào)減區(qū)間為1-；,+s|；

⑵單調(diào)減區(qū)間為（I,+8）.

【解析】（1）定義域?yàn)镠,^=3一，展是由y=3',，=-x2-x復(fù)合而成的，

???了=3'為增函數(shù)，f=-x2-x在上為增函數(shù)，在\+8）上為減函數(shù),

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的同增異減性可知：

y=3孑-*的單調(diào)增區(qū)間為‘8,一；｝單調(diào)減區(qū)間為；

⑵定義域?yàn)镽,/（x）=《J…是由》=（）和f=x2-2x-3復(fù)合而成的，

y=g）為減函數(shù)，f=x2-2x-3在（7,1）上為減函數(shù)，在（1,+8）上為增函數(shù)，

.?.仆）=代=’的單調(diào)減區(qū)間為（1,+8）.

例10.方程2-"+/=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.

【答案】2

【解析】由2-、+/=3得2T=3-/,畫(huà)出函數(shù)y=2-*與y=3-V的圖象,

由圖可知函數(shù)y=2T與y=3-Y的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程2-、+/=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為2.

跟蹤訓(xùn)練

1,下列函數(shù)中，可以稱(chēng)為指數(shù)函數(shù)的是（）

k.y=2XB.y=3川C.y=x*D.y=（3"l）"

【答案】A

2,下列關(guān)系式中正確的是（）

【答案】C

3.設(shè)〃,人滿足下列不等式中正確的是（）

abahaahh

A.a<aB.b<bC.a<bD.b<a

【答案】C

【解析】A錯(cuò)誤：由指數(shù)函數(shù)y="（O<a<l）在（O,+8）上為減函數(shù)且可知/>/；

B錯(cuò)誤：由指數(shù)函數(shù)y=b'（O<b<l）在（0,+8）上為減函數(shù)且可知

C正確：由幕函數(shù)y=x"（O<a<l）在（O,+8）上為增函數(shù)且a<b可知優(yōu)<b"；

D錯(cuò)誤：由幕函數(shù)y=d（O<b<l）在（0,+8）上為增函數(shù)且可知/</,故選c.

4,函數(shù)的圖象如圖，其中。力為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a>i,b<0B.a>\,b>0

C.

0<a<i9b>0

【答案】D

【解析】由圖知為減函數(shù)，

又〃O)=L<l=a°,.一b>。，即6<0,選D.

5.指數(shù)函數(shù)①y②y=b*,③了=。"=的圖象如圖，貝i]a,“Gd與1的大小

關(guān)系是（）

A.6Z<6<1<C<JB.b<a<\<d<c

C.\<a<b<c<dD.a<b<\<d<c

【答案】B

【解析】作直線』=1與四個(gè)圖形分別交于46cZ>四點(diǎn),則4（La）,5（l/）,C（Lc）,Q（l,d）

,由圖可知6<〃<1<“<。，故選B.

X(i'

6,函數(shù)y=H(O<a<l)圖象的大致形狀是)

ABcD

【答案】D

ax,x>0

【解析】易知y=且0<〃<1,選D.

—6fA,X<0

7.已知指數(shù)函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(-1，3),則/(3)=.

【答案"

【解析】設(shè)該指數(shù)函數(shù)為〃x)=",將點(diǎn)P(-l,3)代入得〃-1)=/=：=3,解得a=g,

8,函數(shù)y=+3(">0且a/1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn).

【答案】（3,4）

9.如果指數(shù)函數(shù)/（x）=g-l）'在R上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】（1,2）

【解析】=在R上是減函數(shù)，,解得1<“<2,

所以。的取值范圍是（1,2）.

10,若函數(shù)卜=優(yōu)+6-1（。>0且"I）的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則a,b的取值范圍分

別是.

【答案】（01），（-8,0）

【解析】依題意該函數(shù)為減函數(shù)且在N軸截距為負(fù)，

0<a<1,、，、

所以0,八，解得0<〃<1且6<0,所以a,6的取值范圍分別是（0,1）,（-00,0）.

11.方程加+x=2的實(shí)根的個(gè)數(shù)為.

【答案】2

【解析】由2忖+x=2得2國(guó)=2-x,作出y=2兇和y=2-x的圖象，

由圖可知兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故方程由2個(gè)實(shí)根.

12.解方程：(1)9-*-2-35=27;(2)6*+4'=29

【答案】⑴x=-2；(2)x=0

【解析】(1)?.-9-x-2-3'-1=27,.-.9x-2-3l-J:-27=0,

(3-J_6.3--27=0,：.(3--9)(3X+3)=0,

3'T=9=32,x=-2；

⑵..6+4,=29,+俏)=2,

13.解不等式：⑴(；)

⑵產(chǎn)7>d(Q>0且a工1)

【答案】(1)x>-3；(2)0<。<1時(shí)一1<X<3,時(shí)工<一1或x>3.

【解析】(1)2x—7<4x—1,解得x>-3；

(2)若0<。<1,貝Ij2f一7<4X一1,解得一1。<3；

若則2/一7>4%-1,解得不<-1或x>3.

/[\—2x2—8x+i

y='

14.求函數(shù)(-3WX41)的值域.

【答案】H，31

【解析】當(dāng)-34x41時(shí)，X-2X2-8X+1=-2(X+2)2+9G[-9,9],

是減函數(shù)，.?.值域?yàn)長(zhǎng)G),即[3工31.

15.討論函數(shù)了=(；)+2的單調(diào)性.

【答案】單調(diào)增區(qū)間為(。,+8),減區(qū)間為(ro,0).

【解析】定義域?yàn)镽+2是由y=f~—2f+2和

’=出G>°)復(fù)合而成的，

，=(；)為減函數(shù)，y=*-2f+2在即xe(O,"?)上為減函數(shù)，在，?1,+8),即

x<0上為增函數(shù)，

I]+2的單調(diào)增區(qū)間為(0,丘)，減區(qū)間為(-8,0).

16.已知函數(shù)“X)=官(優(yōu)一/")(。>0且ax1).

(1)判斷/(x)的單調(diào)性和奇偶性；

(2)當(dāng)xe(7,l)時(shí)，解不等式+

【答案】（1）/（