數(shù)學建模問題前期分析課件第一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學模型(E.A.Bendar定義)：關于部分現(xiàn)實世界為一定目的而做的抽象、簡化的數(shù)學結(jié)構(gòu)。數(shù)學模型是現(xiàn)實世界與數(shù)學世界的理想橋梁怎樣構(gòu)架這座橋梁？第二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三現(xiàn)實世界數(shù)學世界建立數(shù)學模型推理演繹求解翻譯為實際解答實際解答：如對現(xiàn)實對象的分析、預報、決策、控制等結(jié)果。始于現(xiàn)實世界并終于現(xiàn)實世界第三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三求解數(shù)學模型

實際問題分析建立數(shù)學模型提交論文與報告

模型與模型解的分析及檢驗

數(shù)學建模的各階段工作第四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三問題的前期分析

包括：明確問題、分析條件、分析數(shù)據(jù)等

為什么問題前期分析至關重要？數(shù)學建模問題往往含混不清,可能的原因有:*提出問題的人未能清楚地表述問題.*不同領域的人交流出現(xiàn)故障.*各領域的應用者提出問題時,未給出恰當?shù)臈l件.第五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三對問題進行充分的前期分析以前,過早著手解決問題,往往會陷入一些意想不到的陷阱,或者偏離解決問題的方向.*未能準確理解問題.不應過早進入細節(jié)，掌握問題分析方法。第六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

數(shù)學建模過程是一種創(chuàng)新過程，在思考方法和思維方式有自身特點數(shù)學創(chuàng)新思維…….等等.類比思維歸納思維逆向思維發(fā)散思維猜測思維一、問題分析的方法第七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

掌握幾類方法：問題解決法、思想表達法、創(chuàng)造發(fā)明法.方法的共同特點：

不輕易否定別人的意見，懷疑一般常識，努力發(fā)現(xiàn)別人尚未察覺的事物等幾種（個體和集體的）創(chuàng)造性思維方法

對于創(chuàng)造能力的培養(yǎng)不可或缺第八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三一、打開思路的方法面對新問題，應盡量打開自己的思路：發(fā)散性思維和猜測思維是創(chuàng)造性思維方式的重要組成部分1.不要輕易沿一條思路深入，不要輕易做出結(jié)論.

2.盡量多一些想法，多一些猜測。思考、思考、再思考.第九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三幫助展開思路的方法：

關鍵詞聯(lián)想法提問題法1.提問題法借助于一系列問題來展開思路

面臨難題,束手無策時通過提出一系列問題來導出一些想法或一個好的方案.如：

(l)這個問題和什么問題相類似？(2)假如變動問題的某些條件將會怎樣？第十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三(4)重新組合又會怎樣？(3)將問題分解成若干部分再考慮會怎樣？為進一步打開思路可提以下問題：

(5)我們還可以做什么工作？(6)有無需要進一步完善的內(nèi)容？(7)可否換一種數(shù)學工具來解決此問題？針對問題和初始方案可以先設計出類似的問題清單，然后反復展開。

第十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三例1穿越公路問題在一個由交通燈控制車輛通行的十字路口，問綠燈亮的15秒期間有多少輛車通過交通燈下？這個問題太籠統(tǒng)含混，因為紅綠燈控制交通的方式可能非常復雜，有哪些問題值得我們?nèi)ニ伎嫉哪?？第十二頁，共六十四頁，編輯?023年，星期三1.交通燈左轉(zhuǎn)彎，右轉(zhuǎn)彎如何執(zhí)行？當車輛較少時可能沒有多少要通過路口的車輛。3.車輛較多時可能等在后排的司機在下一一次紅燈亮起的時候仍然沒有通過路口。4.有多少條車道？第十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

為了明確問題，這里研究紅燈時有較長車隊等候經(jīng)過口。并作如下假設：1、十字路口沒有阻塞。2、所有車輛筆直穿越路口。3、所有車長5米，從禁止狀況啟動。4、每輛車間距2米。問題分析：城市里大多數(shù)車以15米/秒的速度行駛，假定所有車從禁止勻加速到15米/秒。而大部分汽車廠商宣稱可以在10秒內(nèi)由禁止加速到25米/秒左右，則加速度為2.5米/秒，保守取一班車加速度為2米/秒。則一輛汽車通過路口的關系式為：22第十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三接下來考慮整個車隊：假定前一輛車啟動后，下一輛車延遲1秒啟動。則可以得到各個車輛在各個時間的行駛狀況。例如五輛車行駛4秒。車號運動時間運動距離初始位置最終位置1416016239-72324-14-10411-21-20500-28-28第十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三一種新產(chǎn)品剛面世，廠家和商家總是采取各種措施促進銷售，比如不惜血本大做廣告等等.他們都希望對這種新產(chǎn)品的推銷速度做到心中有數(shù),廠家用于組織生產(chǎn)，商家便于安排進貨.例2電飯煲銷售問題怎樣建立一個數(shù)學模型描述新產(chǎn)品(電飯煲)推銷速度，并由此分析出一些有用的結(jié)果以指導生產(chǎn).第十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三問題分析：產(chǎn)品剛出現(xiàn)時，人們對此一無所知，有部分人使用后感到很方便，向親朋好友宣傳。設時刻已售出的電飯煲數(shù)量為，且每一售出的電飯煲在單位時間內(nèi)平均吸引個顧客，即滿足微分方程：若已知時，，則其解為：若進一步分析時，顯然與事實不符。第十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三問題分析：設需求量的上界為M，則尚未使用的人數(shù)為，銷售速度與和的乘積成正比，比例系數(shù)為，則有：第十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三想一想

此問題與我們遇到的哪一個建模問題相類似？分析Logistic人口模型，t

時刻的人口數(shù)為t≥0

改寫為

第十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學分析1.若

r＜0，則S＜0，隨著,則2.若

r＞0，討論Logistic曲線特征N(t)是單調(diào)上升函數(shù).

K是使得人口凈增長率r(K)=0的人口數(shù)，可理解為該地區(qū)能容納的人口上限.第二十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第二十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三t00N0kk/2人口不會無限增長，存在一個轉(zhuǎn)折時間點t0，過此點以后增長速度會減緩。

第二十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三(1)一般每戶只需用1～2只電飯煲就足夠,一個地區(qū)的需求量是有限的；電飯煲的銷售情況類似于人口增長情況,可利用類比方法建立模型.Logistic模型特點：初期高速增長，過一個特定時間點后增長速度減緩，且有上界控制.對原問題的分析：(2)初期在廣告之類推銷作用下銷售速度較快,商品趨于飽和時銷售速度會減緩.第二十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三記x(t)為t時刻已售出的電飯煲總數(shù),市場的飽和量(最大需求量)為M,利用Logistic模型來描述電飯煲的銷售速度變化情況.實際情況與Logistic銷售曲線十分吻合

思考

請考慮現(xiàn)實中哪些變量的變化可用

Logistic模型進行描述？第二十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三現(xiàn)代化都市里大樓林立,這些拔地而起的摩天大樓安全性不容忽視,我們經(jīng)常耳聞目睹大樓內(nèi)發(fā)生意外情況,造成令人震驚的人員傷亡和財產(chǎn)損失.大樓內(nèi)居住人員的安全保障在于無論發(fā)生什么情況,都能使人員有組織,有秩序地進行疏散撤離.一座大樓的管委會想進行一次緊急疏散人員的演習.例3“地震”事件的反思第二十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

問題分析

演習之前需要考慮許多方面,如大樓內(nèi)的設施、人員的分布情況、撤離路線的設計、撤離的步驟等等，這是一個較龐大的系統(tǒng)工程應考慮將此問題分解成為若干個子問題，如*一個房間內(nèi)人員的撤離；*一個通道的撤離；*一層樓人員的撤離；……最后，將各個子問題重新組合起來第二十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

上面的敘述太籠統(tǒng)，無法建立模型。因為我們不知道大樓面積有多大，樓層數(shù)和出口數(shù)為多少等等。但是一個熟練的建模人員善于簡化那些看起來很復雜的問題，而且通常從較簡單的情況入手所得到的結(jié)果有助于整個問題的解決。我們不如考慮一所學校的教學樓。其中一樓教室如下圖所示。第二十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第二十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三問題分析：先考慮一個房間內(nèi)的疏散情形。人與人之間的距離為米，人員疏散時的速度為米/秒，第一個到達門口所用時間為。則人鏈的長度為米。整個撤離時間為：兩間房子的疏散情況怎么樣？第二十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三仔細考慮覺得有些欠缺，即沒有考慮不同房間人員在走廊上的沖突問題，為了避免混亂，規(guī)定走廊只能允許一列隊伍通過，在第一個房間人員疏散過程中第二個房間的人員需要等待，以此類推。第一條人鏈鏈尾到達門口所需時間：第二條人鏈鏈頭到達第一間門口所需時間：所以當時，第二個房間的人員需要等待。第三十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三則兩個房間全體人員疏散所需時間為：第三十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三2.關鍵詞聯(lián)想法一種有效的發(fā)散思維方式

主要步驟如下：(1)抓住問題或方案的關鍵詞,不受任何約束地進行聯(lián)想；(2)把聯(lián)想到的內(nèi)容用關鍵詞的方式登記在卡片上,進一步激發(fā)產(chǎn)生新的想法,進一步想出新的主意；(3)再把積攢的卡片相互搭配,形成解決問題的初步思路與步驟.第三十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三在約10,000米高空的某邊長160公里的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機作水平飛行.區(qū)域內(nèi)每架飛機的位置和速度均由計算機記錄其數(shù)據(jù),以便進行飛行管理.當一架欲進入該區(qū)域的飛機到達區(qū)域邊緣,記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內(nèi)的飛機發(fā)生碰撞.如果會碰撞,則應例4

飛行管理問題第三十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學模型,列出計算步驟,對以下數(shù)據(jù)進行計算(方向角誤差不超過0.01度).要求飛機飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小.記錄數(shù)據(jù)為：……試根據(jù)實際應用背景對你的模型進行評價與推廣.計算如何調(diào)整各架（包括新進入的）飛機飛行方向角，以避免碰撞.現(xiàn)假定條件如下：……第三十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三*對問題仔細閱讀,首先抓住題目中的關鍵詞“管理”進行聯(lián)想.

*

抓住諸如“碰撞”、“調(diào)整”、“避免碰撞”、“立即”、“判斷”等等詞語.

*聯(lián)系解決問題的方案,不加約束繼續(xù)聯(lián)想，再將關鍵詞搭配起來.

第三十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三立即判斷

碰撞

條件

實時

算法

避免碰撞

調(diào)整方向角

實時

幅度盡量小

相對距離優(yōu)化問題優(yōu)化算法優(yōu)化調(diào)整方案第三十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三問題的初步理解和想法飛行管理問題是優(yōu)化問題,在調(diào)整方向角的幅度盡量小的同時，還必須注意調(diào)整方案及算法的實時性.第三十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三二、整體把握問題的方法有兩種把握住問題的全貌的有效方法：

(1)層次結(jié)構(gòu)法

(2)問題分解法

有專著介紹

問題分解法是一種簡單而有效的把握問題整體的方法.第三十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三將問題分解為“三要素”的三個部分.

問題分解三要素

初態(tài)

目標態(tài)

過程

覺察到的現(xiàn)在狀態(tài)(目前“有什么”，如條件、數(shù)據(jù)等).

覺察到的希望目標(想要什么、希望達到什么等).

能在“初態(tài)”和“目標態(tài)”之間發(fā)生作用的行動(能做什么).第三十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三例5

常見數(shù)學題目模式

已知求（證）解題初態(tài)目標態(tài)過程教師的主要教學目標第四十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

*解決實際問題時，分析出問題的初態(tài)和目標態(tài)很困難.

*未清晰地描述出問題的“初態(tài)”和“目標態(tài)”之前，過早地進入解決問題的階段，會條件不清、目標不明.

盡量拓展思路的基礎上,再進行充分分析得到的問題分解結(jié)果：例6．飛行管理問題

初態(tài)：現(xiàn)有飛機的飛行狀態(tài)（數(shù)據(jù)）與碰撞條件第四十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

過程：建立碰撞的判別準則，優(yōu)化管理方案及相應算法.

目標態(tài)：實時調(diào)整，避免碰撞。第四十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三氣象觀察站調(diào)整問題

某地區(qū)內(nèi)有12個氣象觀察站（位置如圖),有10年各觀察站的年降水量數(shù)據(jù).為了節(jié)省開支，想要適當減少氣象站.

問題：減少哪些觀察站可以使得到的降水量的信息量仍然足夠大？

如何利用熵的概念解決此問題，給出解決問題的思路。1.問題分析首先找出問題中的關鍵詞，進行聯(lián)想.第四十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三減少站數(shù)

刪除原則保持信息量

各站關系降水數(shù)據(jù)足夠大衡量指標衡量指標熵降水數(shù)據(jù)第四十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三2.問題的分解初態(tài)：12個氣象站的年降水數(shù)據(jù)。（無日或月的降水數(shù)據(jù)，也無地理、氣候等其它條件.）

目標態(tài)：減少氣象站數(shù)，并保持降水量足夠大的信息量.過程：（將做的事情）(1)信息量的衡量（用熵）；(2)給出刪除氣象站的條件及原則；(3)建立保持足夠信息量的判別條件；解決問題的惟一出發(fā)點第四十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三(1)確定各氣象站的年降水量：的概率分布，并計算各個氣象站降水量的熵值.

(2)分析判斷各站年降水量(兩兩之間或多個變量間)是否存在相關關系(線性的或非線性的)，并據(jù)此保留其中熵值較大的氣象站.隨機變量另一種方法：用聚類分析法進行聚類.3.解決問題的思路（可由降水數(shù)據(jù)分析各個氣象站的相似性，如同為干旱、濕潤地區(qū)等.）第四十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三1)設定一個閾值，保留所有熵值大于閾值的氣象站；

2)使保留氣象站的信息量總和占原信息量總和的一定比例.可考慮各種判別條件，如：(3)建立保持足夠信息量的判別條件注：閾值或比例值均需背景知識和經(jīng)驗來確定。仍保留降水量的信息量較大的站。第四十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三三、問題前期分析1.條件及數(shù)據(jù)分析

設置好問題的目標態(tài),著手工作還需要做以下工作：1.收集必要的資料和數(shù)據(jù)。

2.分析現(xiàn)有的數(shù)據(jù)和條件,使問題進一步明確化.

第四十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三我國淡水資源有限.節(jié)約用水人人有責,洗衣機在家庭用水中占有相當大的份額,目前洗衣機已非常普及,節(jié)約洗衣機用水十分重要.假設在放入衣物和洗滌劑后洗衣機的運行過程為：加水—漂洗—脫水—加水—漂洗—脫水—…—加水—漂洗—脫水(稱“加水—漂洗—脫水”為運行一輪).例7節(jié)水洗衣機問題第四十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三請為洗衣機設計一種程序（包括運行多少輪、每輪加水量等),使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少.選用合理的數(shù)據(jù)進行運算，對照目前常用的洗衣機的運行情況，對你的模型和結(jié)果出評價.第五十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三*衣服的洗凈效果指標(包括污物和殘留洗滌劑)；

*不同質(zhì)地衣物的脫水率或衣物的含水量C；

*洗衣機的最高水位H、最低水位L；

*各類污物(泥土、油膩等)和洗滌劑在水中的溶解特性。

怎樣收集數(shù)據(jù)和資料？

分析：題目中沒有一個數(shù)據(jù),但問題卻需要比較多的數(shù)據(jù)及條件,如

第五十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三可在各類圖書館、網(wǎng)上查閱、向?qū)＜以儐?、通過試驗來得到。

收集數(shù)據(jù)應列入工作計劃，并注意：

1.向有關人員調(diào)查情況應事先設計好問題；

2.事先確定所需資料清單、資料來源、收集方式。有條理的收集計劃可以為后期的工作創(chuàng)造良好的條件

第五十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

對收集到的或者現(xiàn)有的資料和數(shù)據(jù)要做仔細分析，使問題進一步明確.

為了保護人類賴以生存的自然環(huán)境,可再生資源(如漁業(yè)、林業(yè)資源)的開發(fā)必須適度,一種合理、簡化的策略是，在實現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益.例3.3.3最優(yōu)捕魚策略第五十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三考慮對某種魚的最優(yōu)捕撈策略：假設這種魚分4個年齡組，稱1齡魚，…，4齡魚,各年齡組每條魚的平均重量（單位：g）分別為5.07、11.55、17.86、22.99，各個年齡組的魚的自然死亡率均為0.8(1/年),這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖,平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109×105個,3齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個月,卵孵化并成活為1齡魚,成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比）為第五十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三1.22×1011/（1.22×1011+n）

漁業(yè)管理部門規(guī)定,每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個月內(nèi)進行捕撈作業(yè).如果每年投入的捕撈能力(如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等)固定不變,這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比,比例系數(shù)不妨稱捕撈強度系數(shù).通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng),這種網(wǎng)只能捕3齡魚和4齡魚，其兩個強度系數(shù)之比為0.42:1.漁業(yè)上稱這種方式為固定努力捕撈.第五十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三建立數(shù)學模型分析如何實現(xiàn)可持續(xù)捕獲(即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變),并且在此前提下得到最高的年收獲量(捕撈總重量)漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務5年,合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞.已知承包時各年齡組魚群的數(shù)量分別為:122,29.7，10.1，3.29（×109為）條），

如果仍用固定努力量的捕撈方式,該公司應采取怎樣的策略才能使總收獲量最高.

第五十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三分析：此題中的數(shù)據(jù)、條件特別多,有的難于把握,有的會直接影響到所建模型是否正確.1.捕撈強度系數(shù)

q

單位時間捕撈量與魚群條數(shù)成正比時的比例系數(shù)

可否理解為捕撈量占總魚群量的百分率？

否！第五十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三將捕撈強度