湖北省宜昌市當(dāng)陽第一高級中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）已知底面邊長為1，側(cè)棱長為ABCD的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（） A． π B． 4π C． D． 2π參考答案：C考點(diǎn)： 球的體積和表面積．專題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離；球．分析： 由正四棱柱的底面邊長與側(cè)棱長，可以求出四棱柱的對角線的長，就是外接球的直徑，然后求出球的體積．解答： 因?yàn)檎睦庵酌孢呴L為1，側(cè)棱長為，所以它的體對角線的長是=2．所以球的直徑是2，半徑r為1．所以這個(gè)球的體積是：r3=π．故選：C．點(diǎn)評： 本題考查正四棱柱的外接球的體積．考查空間想象能力與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

.參考答案：略3.已知單位向量，，滿足.若點(diǎn)C在內(nèi)，且，，則下列式子一定成立的是（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】設(shè)，對比得到答案.【詳解】設(shè)，則故答案為D【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4.若等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)之和大于其前21項(xiàng)之和，則a16的值（）A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能確定參考答案：C【分析】根據(jù)條件得到不等式，化簡后可判斷的情況.【詳解】據(jù)題意：，則，所以，即，則：，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的應(yīng)用，難度較易.等差數(shù)列前項(xiàng)和之間的關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為與的關(guān)系.5.若角的終邊上有一點(diǎn)，則的值是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C6.已知等差數(shù)列滿足，則

A．16

B．18

C．22

D．28參考答案：C7.在中，所對的邊分別為，如果，那么（

）A．；

B．；

C．；

D．。參考答案：D略8.以原點(diǎn)O及點(diǎn)A（5，2）為頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，使A=90°，則的坐標(biāo)為（）A. B.或 C. D.或參考答案：B【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)表示，利用，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的坐標(biāo)表示.【詳解】設(shè)，，因?yàn)槿切蜲AB是等腰直角三角形，且,所以,即,解方程組得或所以或,故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量坐標(biāo)表示，考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，向量模的計(jì)算公式.9.已知函數(shù)，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點(diǎn)的為()A.

B.

C.

D.參考答案：B10.下列函數(shù)中，最小正周期為π，且圖象關(guān)于直線x=對稱的是（）A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x﹣） C．y=sin（2x+） D．y=sin（+）參考答案：B【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的對稱性．【分析】將x=代入各個(gè)關(guān)系式，看看能否取到最值即可．【解答】解：∵y=f（x）的最小正周期為π，可排除D；其圖象關(guān)于直線x=對稱，∴A中，f（）=sin=≠±1，故A不滿足；對于B，f（）=sin（﹣）=sin=1，滿足題意；對于C，f（）=sin（+）=sin=≠±1，故C不滿足；故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=1，b=2，cos（A+B）=，則c的值為_________．參考答案：12.（5分）函數(shù)y=2tanx+a在x上的最大值為4，則實(shí)數(shù)a為

．參考答案：4﹣2考點(diǎn)： 正切函數(shù)的圖象．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性和最值建立方程關(guān)系即可．解答： ∵函數(shù)y=2tanx+a在x上為增函數(shù)，∴當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)y=2tanx+a確定最大值為4，即在2tan+a=4，即a=4﹣2，故答案為：4﹣2點(diǎn)評： 本題主要考查正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的單調(diào)性和最值的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．13.動點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A（1，0）出發(fā)沿單位圓運(yùn)動，點(diǎn)P按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，設(shè)P，Q第一次相遇時(shí)在點(diǎn)B，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為

．參考答案：（﹣，﹣）

【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)兩個(gè)動點(diǎn)的角速度和第一次相遇時(shí)，兩者走過的弧長和恰好是圓周長求出第一次相遇的時(shí)間，再由角速度和時(shí)間求出其中一點(diǎn)到達(dá)的位置，根據(jù)三角函數(shù)的定義得出此點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)P、Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是t，則t?+t?|﹣|=2π，∴t=4（秒），即第一次相遇的時(shí)間為4秒；設(shè)第一次相遇點(diǎn)為B，第一次相遇時(shí)P點(diǎn)已運(yùn)動到終邊在?4=的位置，則xB=﹣cos?1=﹣，yB=﹣sin?1=﹣．∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．故答案為：（﹣，﹣）．【點(diǎn)評】本題考查了圓周運(yùn)動的角速度問題，認(rèn)真分析題意列出方程，即第一次相遇時(shí)兩個(gè)動點(diǎn)走過的弧長和是圓周，是解題的關(guān)鍵．14.已知直線l過A(－2,(t+)2)、B(2,(t－)2)兩點(diǎn)，則此直線斜率為

參考答案：略15.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，記，如果存在正整數(shù)，使得對一切正整數(shù)，都成立，則的最小值是________．參考答案：2略16.在△ABC中，已知D是BC上的點(diǎn)，且CD=2BD．設(shè)=，=，則=．（用a，b表示）參考答案：【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【分析】根據(jù)D是BC上的點(diǎn)，且CD=2BD，得到，結(jié)合向量減法的三角形法則，得到，化簡整理可得，代入已知條件即得本題的答案．【解答】解：∵D是BC上的點(diǎn)，且CD=2BD，∴∵，，∴，整理，得結(jié)合題意=，=，可得=故答案為：17.在中的內(nèi)角所對的邊分別為，重心為，若；則

；參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.若是定義在上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，求不等式的解集.參考答案：【分析】根據(jù)奇偶性將不等式化為，根據(jù)函數(shù)定義域和單調(diào)性可得不等式組，解不等式組求得結(jié)果.【詳解】為奇函數(shù)

等價(jià)于定義域?yàn)榍覟樵龊瘮?shù)，解得：不等式的解集為：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性求解不等式的問題，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略函數(shù)定義域的要求，造成求解錯(cuò)誤.19.（1）證明三倍角的余弦公式：cos3θ=4cos3θ﹣3cosθ；（2）利用等式sin36°=cos54°，求sin18°的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值．【分析】（1）將cos3θ化簡為cos（2θ+θ），利用兩角和差的公式和二倍角公式化簡即可證得．（2）利用二倍角公式化簡，和同角三角關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求sin18°的值．【解答】解：（1）cos3θ=cos（2θ+θ）=cos2θcosθ﹣sin2θsinθ=（2cos2θ﹣1）cosθ﹣2sin2θcosθ=2cos3θ﹣cosθ﹣2（1﹣cos2θ）cosθ=4cos3θ﹣3cosθ．（2）sin36°=cos54°，∵sin36°=2sin18°cos18°∵cos54°=4cos318°﹣3cosθ．∴2sin18°=4cos218°﹣3．則sin18°=2cos218°﹣．2（1﹣sin218°）﹣sin18°﹣=0，令sin18°=t，（t＞0）則有：2﹣2t2﹣t﹣=0，解得：t=，即sin18°的值為：．20.某網(wǎng)店經(jīng)營的一種商品進(jìn)價(jià)是每件10元，根據(jù)一周的銷售數(shù)據(jù)得出周銷量P（件）與單價(jià)x（元）之間的關(guān)系如圖折線所示，該網(wǎng)店與這種商品有關(guān)的周開支均為25元．（I）根據(jù)周銷量圖寫出周銷量P（件）與單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）寫出周利潤y（元）與單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)該商品的銷售價(jià)格為多少元時(shí)，周利潤最大？并求出最大周利潤．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（I）根據(jù)函數(shù)圖象，求出解析式，即可寫出周銷量P（件）與單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）分段求出最值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（I）當(dāng)x∈[12，20]時(shí)，P=k1x+b1，代入點(diǎn)（12，26），（20，10）得k1=﹣2，b1=50，∴P=﹣2x+50；同理x∈（20，28]時(shí)，P=﹣x+30，∴周銷量P（件）與單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式P=；（Ⅱ）y=P（x﹣10）﹣25=，當(dāng)x∈[12，20]時(shí)，y=，x=時(shí)，ymax=；x∈（20，28]時(shí)，y=﹣（x﹣20）2+75，函數(shù)單調(diào)遞減，∴y＜75，綜上所述，x=時(shí)，ymax=．21.通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，專家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力隨著老師講課時(shí)間的變化而變化，講課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間一段時(shí)間，學(xué)生保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，設(shè)表示學(xué)生注意力隨時(shí)間（分鐘）的變化規(guī)律（越大，表明學(xué)生注意力越集中），經(jīng)實(shí)驗(yàn)分析得知（Ⅰ）講課開始多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？（Ⅱ）講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？（Ⅲ）一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講完這道題目？參考答案：解（Ⅰ）當(dāng)0<t≤10時(shí)，f（t）=-t2+24t+100是增函數(shù),且f（10）=f（24）=240,當(dāng)10<t≤20時(shí)，f（t）=240,而當(dāng)20<t≤40時(shí),f（t）為減函數(shù).所以講課開始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘；……4分（Ⅱ）求函數(shù)值比較，f（5）=195,f（25）=205,講課開始后25分鐘比講課開始后5分鐘學(xué)生的注意力更集中；……8分（Ⅲ）當(dāng)0<t≤10時(shí)，f（t）=-t2+24t+100=180,則t=4，20<t≤40,f（t）=-7t+380=180,t=28.57,則學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時(shí)間28.57-4=24.57>24,……10分所以，經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?，老師可以在學(xué)生達(dá)到所需要的狀態(tài)下講授完這道題.………12分22.已知函數(shù)，，．(1)若，試判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；ww(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值的表達(dá)式．參考答案：(1)判斷：若，函數(shù)在上是增函數(shù).

………………1分證明：當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上任意，設(shè)，

所以，即在上是增函數(shù).

………………5分(注：用導(dǎo)數(shù)法證明或其它方法說明也同樣