廣東省潮州市鳳凰華僑中學高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.曲線上的點到直線的最短距離是（

）A．

B.

C.

D.0參考答案：A略2.若關(guān)于x的不等式x2－ax－6a<0有解，且解區(qū)間的長度不超過5個單位長，則a的取值范圍是（）.

A.－25≤a≤1

B.

a≤－25或a≥1

C.－25≤a<0或1≤a<24

D.－25≤a<－24或0<a≤1參考答案：D3.拋物線y2=4x的焦點坐標是（

）A．(0,2)

B．(0,1)

C．(2,0)

D．(1,0)參考答案：D分析：根據(jù)拋物線的焦點為求解．詳解：由得，所以拋物線的焦點坐標是．故選D．

4.是的導函數(shù)，的圖象如右圖所示，則的圖象只可能是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知為虛數(shù)單位，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A6.一個網(wǎng)站針對“是否同意恢復五一長假”進行了隨機調(diào)查,在參加調(diào)查的2600名男性公民中有1600名持反對意見,在2400名女性公民中有1300人持反對意見,在運用這些數(shù)據(jù)分析說明“是否同意恢復五一長假”與性別有無關(guān)系時,比較適合的方法是().Ａ.平均數(shù)與方差

Ｂ.獨立性檢驗

Ｃ.回歸分析

Ｄ.條件概率參考答案：B略7.某地一年內(nèi)的氣溫(單位:℃)與時刻(單位：時)之間的關(guān)系如圖(1)所示,令表示時間段內(nèi)的溫差（即時間段內(nèi)最高溫度與最低溫度的差）,與之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖表示,則正確的圖像大致是(

)參考答案：D略8.已知橢圓的兩個焦點為（），（1，0），橢圓的長半軸長為2，則橢圓方程為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D9.已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則不等式xf′(x)<0的解集為()A．(-∞，)∪(,2)

B．(－∞，0)∪(，2)C．(－∞，∪(，＋∞)

D．(－∞，)∪(2，＋∞)參考答案：B略10.已知集合，則 （A）（0，2）

（B）[0，2]

（C）（-2，2）

（D）[-2,2]參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.是虛數(shù)單位，.（用的形式表示，）參考答案：略12.=．參考答案：e【考點】67：定積分．【分析】找出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后計算求值．【解答】解：=（ex+x2）|=e+1﹣1=e，故答案為：e【點評】本題考查了定積分的計算；關(guān)鍵是明確被積函數(shù)的原函數(shù)．13.已知隨機變量所有的取值為，對應的概率依次為，若隨機變量的方差，則的值是

．參考答案：略14.為了在運行如圖的程序之后得到輸出y=16，鍵盤輸入x應該是．（填一個答案即可）參考答案：﹣5或5考點：偽代碼．專題：圖表型．分析：首先分析程序含義，判斷執(zhí)行過程，對于結(jié)果為y=16，所以根據(jù)程序y=（x+1）2，y=（x﹣1）2分別計算求出x的值即可．解答：解：本程序含義為：輸入x如果x＜0，執(zhí)行：y=（x+1）2否則，執(zhí)行：y=（x﹣1）2因為輸出y=16由y=（x+1）2，可得，x=﹣5由y=（x﹣1）2可得，x=5故x=5或﹣5故答案為：﹣5或5．點評：本題選擇選擇結(jié)構(gòu)的程序語句，根據(jù)兩個執(zhí)行語句分別計算．屬于基礎題15.如圖，圓O上一點在直徑上的射影為.，，則____,___.參考答案：,略16.具有A，B，C三種性質(zhì)的總體，其容量為63，將A，B，C三種性質(zhì)的個體按1：2：4的比例進行分層調(diào)查，如果抽取的樣本容量為21，則A，B，C三種元素分別抽?。畢⒖即鸢福?，6，12【考點】分層抽樣方法．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)分層抽樣的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：∵抽取的樣本容量為21，A，B，C三種性質(zhì)的個體按1：2：4的比例進行分層調(diào)查，∴A，B，C三種元素分別抽取，，，故答案為：3，6，12【點評】本題主要考查分層抽樣的求解，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．17.過點向圓C：作兩條切線，切點分別為A，B，則過點P，A，C，B四點的圓的方程為

．參考答案：圓的圓心為(1,1)，半徑為1，由直線與圓相切知，,所以過點四點的圓的直徑為，的中點為圓心，即圓心為(0,0)..所以.過點四點的圓的方程為.故答案為：.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x2．（1）當a=2時，求函數(shù)y=f（x）在[，2]上的最大值；（2）令g（x）=f（x）+ax，若y=g（x））在區(qū)間（0，3）上為單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍；（3）當a=2時，函數(shù)h（x）=f（x）﹣mx的圖象與x軸交于兩點A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的導函數(shù)．若正常數(shù)α，β滿足條件α+β=1，β≥α．試比較h'（αx1+βx2）與0的關(guān)系，并給出理由．參考答案：【考點】6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）當a=2時，利用導數(shù)的符號求得函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)y=f（x）在[，2]上的最大值；（2）先求得g′（x）=﹣2x+a，因為g（x）在區(qū)間（0，3）上單調(diào)遞增，所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，運用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，求得右邊函數(shù)的范圍，由此可得a的范圍；（3）h′（αx1+βx2）＜0．理由：由題意可得，f（x）﹣mx=0有兩個實根x1，x2，化簡可得m=﹣（x1+x2），可得h'（αx1+βx2）=﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）=﹣﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），由條件知（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0，再用分析法證明h′（αx1+βx2）＜0．【解答】解：（1）∵f（x）=2lnx﹣x2，可得，函數(shù)f（x）在[，1]是增函數(shù)，在[1，2]是減函數(shù)，所以f（1）取得最大值，且為﹣1；

（2）因為g（x）=alnx﹣x2+ax，所以g′（x）=﹣2x+a，因為g（x）在區(qū)間（0，3）上單調(diào)遞增，所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，即有a≥在（0，3）的最大值，由y=的導數(shù)為y′=＞0，則函數(shù)y=在（0，3）遞增，可得y＜，則a≥；（3）由題意可得，h′（x）=﹣2x﹣m，又f（x）﹣mx=0有兩個實根x1，x2，∴2lnx1﹣x12﹣mx1=0，2lnx2﹣x22﹣mx2=0，兩式相減，得2（lnx1﹣lnx2）﹣（x12﹣x22）=m（x1﹣x2），∴m=﹣（x1+x2），于是h'（αx1+βx2）=﹣2（αx1+βx2）﹣m=﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）=﹣﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），∵β≥α，∴2α≤1，∴（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0．可得h′（αx1+βx2）＜0．要證：h′（αx1+βx2）＜0，只需證：﹣＜0，只需證：﹣ln＞0．（*）

令=t∈（0，1），∴（*）化為+lnt＜0，只證u（t）=+lnt即可．∵u′（t）=+=﹣=，又∵≥1，0＜t＜1，∴t﹣1＜0，∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，故有u（t）＜u（1）=0，∴+lnt＜0，即﹣ln＞0．∴h′（αx1+βx2）＜0．19.（本小題滿分14分）數(shù)列滿足，（）.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．參考答案：解：（1）由已知可得，即，即

∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列

…………7分（2）由（Ⅰ）知，∴

………………7分略20.某公司計劃在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機和智能洗衣機，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實際情況（如資金、勞動力）確定產(chǎn)品的月供應量，以使得總利潤達到最大已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

資

金單位產(chǎn)品所需資金（百元）月資金供應量（百元）空調(diào)機洗衣機成

本3020300勞動力（工資）510110單位利潤68

試問：怎樣確定兩種貨物的月供應量，才能使總利潤達到最大，最大利潤是多少?參考答案：解：設空調(diào)機、洗衣機的月供應量分別是x、y臺，總利潤是P，則P=6x+8y，約束條件為

可行域如圖所示可化為，可看作一組斜率為的直線，由圖知直線y=－x+P過點M時，縱截距最大這時P也取最大值，由

解得Pmax=6×4+8×9=96（百元）故當月供應量為空調(diào)機4臺，洗衣機9臺時，可獲得最大利潤9600元21.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2﹣n（n∈N*）．正項等比數(shù)列{bn}的首項b1=1，且3a2是b2，b3的等差中項．（I）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（II）若cn=，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和．【分析】（I）數(shù)列{an}的前n項和sn=n2﹣n，當n=1時，a1=s1；當n≥2時，an=sn﹣sn﹣1．可得an．利用等比數(shù)列的通項公式可得bn．（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．【解答】解：（I）數(shù)列{an}的前n項和sn=n2﹣n，當n=1時，a1=s1=0；當n≥2時，an=sn﹣sn﹣1=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．當n=1時上式也成立，∴an=2n﹣2．設正項等比數(shù)列{bn}的公比為q，則，b2=q，b3=q2，3a2=6，∵3a2是b2，b3的等差中項，∴2×6=q+q2，得q=3或q=﹣4（舍去），∴bn=3n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn==，∴數(shù)列{cn}的前n項和Tn=…①．Tn=…②①﹣②得Tn==2×=1﹣．∴Tn=．22.已知，其中e是無理數(shù)，a∈R．（1）若a=1時，f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值；（2）求證：在（1）的條件下，；（3）是否存在實數(shù)a，使f（x）的最小值是﹣1，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．參考答案：考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：綜合題；壓軸題；存在型．分析：（1）由題意先對函數(shù)y進行求導，解出極值點，然后再根據(jù)函數(shù)的定義域，把極值點代入已知函數(shù)，比較函數(shù)值的大小，從而解出單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）+，對其求導，求出h（x）的最小值大于0，就可以了．（3）存在性問題，先假設存在，看是否能解出a值．解答：解：（1）∵當a=1時，，∴，（1分）∴當0＜x＜1時，f'（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減當1＜x＜e時，f'（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增，（3分）∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；單調(diào)遞增區(qū)間為（1，e）；f（x）的極小值為f（1）=1．（4分）（2）由（1）知f（x）在（0，e]上的最小值為1，（5分）令h（x）=g（x）+，x∈（0，e]∴，（6分）當0＜x＜e時，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，（7分）∴，∴在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+，（8分）（3）假設存在實數(shù)a，使，（x∈（0，e]）有最小值﹣1，∴，（9分）①當a≤0時，∵0＜x≤e，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，此時f（x）無最小值．（10分）②當0＜a＜e時，若0＜x＜a，則f'（x）＜0，故f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，若a＜x＜e，則f'（x）＞0，故f（x）在（a，e]上單調(diào)遞增.，，得，滿足條件．（12分）3當a≥e4時，∵0＜x＜e，∴f'（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，（舍去），所以，此時無解．（13分）綜上，存在實數(shù)，使得當x∈（0，e]時f（x）的最小值是﹣1．（14分）（3）法二：假設存在實數(shù)a，使，x∈（0，e]）的最小值是﹣1，故原問題等價于：不等式，對x∈（0，e]恒成立，求“等號”取得時實數(shù)a的值．