第第#頁共53頁則面積微元1dA=r2d021=2（2acos0）2d0,于是所求圖形的面積為n1一A=J2—(2acos0)2d0n22=2a2J;cos2d0,

n利用對稱性，得A=4a2J2cos2d0=2a20J2(1+cos20)d001=2a2(6+—sm20)2n2=na2,0事實上，r=2acos0表示一個半徑為a的圓.面積A=na2是正確的.小結(jié)計算面積時要注意：（1）適當選擇坐標系，以便簡化計算.如題（2）若采用直角坐標系計算就比較麻煩.一般地曲邊梯形宜采用直角坐標系，曲邊扇形宜采用極坐標系.（2）要考慮圖形的對稱性.（3）積分區(qū)間盡量少分塊.2．求旋轉(zhuǎn)體體積的方法例2求由曲線盯=4,直線％=1,%=4,y=0繞％軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體體積.解先畫圖形，因為圖形繞％軸旋轉(zhuǎn)，所以?。榉e分變量，%的變化區(qū)間為［1,4］，相應(yīng)于［1,4］上任取一子區(qū)間［%,%+d%］的小窄條，繞％軸旋轉(zhuǎn)而形成的小旋轉(zhuǎn)體體積，可用高為d%，底面積為ny2的小圓柱體體積近似代替，即體積微元為dV=ny2d%=n(4)2d%,%于是，體積V=nJ4(—)2d%1%J41

=16n d%1%21=-16n-4=12n.%1小結(jié)求旋轉(zhuǎn)體體積時，第一要明確形成旋轉(zhuǎn)的平面圖形是由哪些曲線圍成，這些曲線的方程是什么；第二要明確圖形繞哪一條坐標軸或平行于坐標軸的直線旋轉(zhuǎn),正確選擇積分變量，寫出定積分的表達式及積分上下限.3．求曲線的弧長的方法23例3(1)求曲線y=3x2上從0到3一段弧的長度,Ix=a(cost+1sint)(2)求圓的漸開線方程1一 、，上相應(yīng)于t從0到n的一段弧的長度.［y=a(sint—tcost)解(1)由公式S=J\：1+y'2dx (a<b)知,弧長為as=Js=J11+y'2dx=J3<1+xdx=—(1+x)

0 0 323=——162140333(2)因為曲線方程以參數(shù)形式給出，所以弧微元為ds=、：xr2(t)+y'2(t)dt,x'(t)=a(一sint+sint+1cost)=atcost,yr(t)=a(cost-cost+1sint)=atsint,故‘；x'2(t)+y'2(t)=aa212cos21+a212sin21=at,故所求弧長為s=Jnjxx2(t)+y'2(t)dt=Jnatdt=a(—)|

0, 0 214．求變力做功的方法例4設(shè)有一彈簧，假定被壓縮0.5cm時需用力1N(牛頓)，現(xiàn)彈簧在外力的作用下被壓縮3cm，求外力所做的功.解根據(jù)胡克定理，在一定的彈性范圍內(nèi)，將彈簧拉伸(或壓縮)所需的力F與伸長量(壓縮量)x成正比，即F=kx(k>0為彈性系數(shù))按假設(shè)當x=0.005m時，F(xiàn)=1N，代入上式得k=2N/m,即有F=200x,所以取x為積分變量，x的變化區(qū)間為［0，0.03］，功微元為dW=F(x)dx=200xdx,W=J0.W=J0.030200xdx=(100x2)0.03=0.09(J).05．求液體對側(cè)面的壓力的方法例5一梯形閘門倒置于水中，兩底邊的長度分別為2a，2b(a<b)，高為h，水面與閘門頂齊平，試求閘門上所受的壓力F.解取坐標系如圖所示,a—b則AB的方程為y=——x+b,h

X+dX],取水深X為積分變量，X的變化區(qū)間為［0,h］，在［0,h］X+dX],P=7x（y為水的比重），小梯形上所受的水壓力a—bdP=（2ydx）yx=2yx（x+b）dxh小梯形上所受的總壓力為P=Jh2yx（a_bx+b）dx0hh/a-b=2y h（ x2+bx）dx=2y（a-bx3

=2y（a-bx3

~h~T,X2、+b——）h=2y2oa-bb 1（ +—）h2=—（2a+b）yh2.32 3三、學(xué)法建議1．本章的重點是定積分的微元法,利用微元法求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積.學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵是如何應(yīng)用微元法,解決一些實際問題,這也是本章的難點.2.首先要弄清楚哪種量可以用積分表達，即用微元法來求它，所求的量F必須滿足(1)與分布區(qū)間有關(guān),且具有可加性；(2)分布不均勻,而部分量可以表示出來.3．用微元法解決實際問題的關(guān)鍵是如何定出部分量的近似表達式,即微元.如面積微元,功微元.微元一般是部分量的線性主部,求它雖有一定規(guī)律,可以套用一些公式,但我們不希望死套公式,而應(yīng)用所學(xué)知識學(xué)會自己去建立積分公式,這就需要多下工夫了.4．用微元法解決實際問題