平面圖形的鑲嵌八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊綜合與實(shí)踐課前準(zhǔn)備12個(gè)4個(gè)4個(gè)4個(gè)4個(gè)6個(gè)4個(gè)1.清點(diǎn)學(xué)具袋中多邊形的類型和數(shù)量，并分類放在桌面上。2.能夠利用n邊形內(nèi)角和公式計(jì)算下列正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。n邊形內(nèi)角和公式：（n-2）180°正n邊形內(nèi)角公式：（n-2）180°/n創(chuàng)設(shè)情境，明晰概念

思維拓展，應(yīng)用提升總結(jié)歸納，提煉精華操作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律作業(yè)布置，學(xué)以致用教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，明晰概念校園中的數(shù)學(xué)奧秘平面圖形鑲嵌的定義用形狀、大小完全相同的一種或幾種圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片。說明：平面圖形的鑲嵌有兩類情況（1）多邊形的頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，邊與邊重合。（2）多邊形的頂點(diǎn)在另一個(gè)多邊形的邊上。本節(jié)課我們只研究第（1）種情況。設(shè)計(jì)說明

通過自己拍攝制作的《校園中的數(shù)學(xué)奧秘》，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊，數(shù)學(xué)來源于我們的現(xiàn)實(shí)生活，從而讓學(xué)生關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美，同時(shí)自然引出平面圖形鑲嵌的定義。二、操作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律設(shè)計(jì)說明

這一部分是整節(jié)課的重點(diǎn)，我以小明家要進(jìn)行裝修遇到的三個(gè)問題為情景，設(shè)計(jì)了三個(gè)探究活動(dòng)，通過學(xué)生的觀察實(shí)驗(yàn)、猜想驗(yàn)證、動(dòng)手操作、小組交流合作、填寫探究報(bào)告以及教師的教具直觀演示、幾何畫板輔助等多種學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生逐步探究得出平面圖形和正多邊形鑲嵌的條件，同時(shí)滲透基本的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。探究活動(dòng)一：同種正多邊形的鑲嵌問題：小明家的新房進(jìn)行地面裝修，他的父母在某建材市場選購材料的過程中看到如下幾種形狀的地磚：正三角形，正方形，正五邊形，正六邊形和正八邊形，如果只選擇一種進(jìn)行地面裝修，哪幾種可供選擇？探究：請(qǐng)各小組合理分工，利用多邊形模板動(dòng)手操作驗(yàn)證，得出結(jié)論，小組合作完成導(dǎo)學(xué)案上的探究報(bào)告，并準(zhǔn)備進(jìn)行小組展示。時(shí)間：5分鐘填寫表格收集、整理、分析數(shù)據(jù)正n邊形拼圖每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)與360°的關(guān)系能否鑲嵌n=3n=4n=5n=6n=860°90°108°120°135°6×60°=360°4×90°=360°4×108°＞360°3×120°=360°3×108°＜360°2×135°＜360°3×135°＞360°不能鑲嵌不能鑲嵌能鑲嵌能鑲嵌能鑲嵌不能鑲嵌不能鑲嵌探究報(bào)告1.這五種正多邊形中，

能進(jìn)行平面鑲嵌，

不能進(jìn)行平面鑲嵌。2.請(qǐng)結(jié)合拼圖，具體說一下能夠鑲嵌的圖形是如何鑲嵌的？

3.請(qǐng)結(jié)合拼圖，具體說一下不能鑲嵌的圖形的原因？

4.根據(jù)以上探究，總結(jié)平面圖形鑲嵌的條件?5.根據(jù)平面圖形鑲嵌的條件，總結(jié)正多邊形能夠鑲嵌的條件？

60°90°120°60°60°60°60°60°60°120°120°120°90°90°90°90°60°90°120°108°135°平面圖形鑲嵌的條件是什么？每個(gè)拼接點(diǎn)（頂點(diǎn)）處各角的和為360°正多邊形能夠鑲嵌的條件是什么？正多邊形內(nèi)角的度數(shù)能被360度整除。思考：經(jīng)過剛才的實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)正多邊形中正三角形、正方形、正六邊形可以鑲嵌，那么其它的正多邊形能鑲嵌嗎？因?yàn)檎噙呅斡袩o數(shù)個(gè)，我們是無法用實(shí)驗(yàn)操作來一一驗(yàn)證的，你能進(jìn)行推導(dǎo)或者證明嗎？解：設(shè)m個(gè)正n邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌?！嗾噙呅沃兄挥姓切巍⒄叫?、正六邊形可以鑲嵌?！適，n為正整數(shù)∴n=3,4或6根據(jù)剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，如果正多邊形能夠鑲嵌，它內(nèi)角的度數(shù)必須能夠被360°整除，除了60°，90°，和120°，能被360°整除的還有180°和360°，而多邊形內(nèi)角的度數(shù)不可能為180°和360°，所以不能再找到其他可以鑲嵌的正多邊形了。設(shè)計(jì)說明

通過設(shè)未知數(shù)，建立方程，使學(xué)生對(duì)鑲嵌的認(rèn)識(shí)從“形”到“數(shù)”，同時(shí)也滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。探究活動(dòng)一結(jié)論1.正多邊形中，只有正三角形、正方形、正六邊形能進(jìn)行鑲嵌。2.鑲嵌的條件是：拼接點(diǎn)處幾個(gè)內(nèi)角的和能構(gòu)成360°。3.同種正多邊形鑲嵌的條件是：內(nèi)角的度數(shù)能被360°整除。特殊多邊形任意多邊形1231

234一般多邊形探究活動(dòng)二：任意多邊形的平面鑲嵌問題：小明的爸爸在裝修過程中用一些邊角余料切割成一些形狀、大小完全相同的任意三角形，他用這些三角形能進(jìn)行地面鑲嵌嗎？任意的四邊形呢？探究：請(qǐng)各小組合理分工，利用任意三角形和任意四邊形模板動(dòng)手操作驗(yàn)證，根據(jù)操作驗(yàn)證，小組合作完成導(dǎo)學(xué)案上的探究報(bào)告，并準(zhǔn)備進(jìn)行小組展示。時(shí)間：5分鐘探究報(bào)告1.任意的三角形和任意的四邊形

(能或不能)進(jìn)行鑲嵌。2.若它們能鑲嵌，請(qǐng)具體說一下它們是如何鑲嵌的？

12312γ12γ123123123一般三角形的鑲嵌∠1+∠2+∠3+∠1+∠2+∠3=2（∠1+∠2+∠3）=2x180°=360°1

2341

2341

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234一般四邊形的鑲嵌∠1+∠2+∠3+∠4=360°一般四邊形的鑲嵌∠1+∠2+∠3+∠4=360°1

234探究活動(dòng)二結(jié)論1.形狀和大小完全相同的任意三角形和任意四邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌。2.為實(shí)現(xiàn)連續(xù)鑲嵌，鑲嵌時(shí)相等的邊要重合在一起。單一圖形組合圖形簡單復(fù)雜探究活動(dòng)三：邊長相等的兩種正多邊形的組合鑲嵌問題：小明的父母想用剛才邊長相等的正三角形，正方形、正五邊形，正六邊形中的兩種地磚進(jìn)行臥室地面的裝修，請(qǐng)你幫他們設(shè)計(jì)出能夠利用兩種地磚進(jìn)行組合鑲嵌的方案。探究：小組PK。編號(hào)為奇數(shù)的小組利用動(dòng)手操作來設(shè)計(jì)方案，編號(hào)為偶數(shù)的小組利用探究活動(dòng)一和探究活動(dòng)二發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，不動(dòng)手操作，利用其他方法來設(shè)計(jì)方案。時(shí)間：5分鐘探究報(bào)告

正多邊形組合

拼圖每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)與360°的關(guān)系正三角形正方形正三角形正六邊形60°×3+90°×2=360°60°×4+120°×1=360°60°×2+120°×2=360°探究報(bào)告1.我們發(fā)現(xiàn)：以上四種圖形進(jìn)行兩兩組合，共有

種組合方案，其中能夠鑲嵌的有

共

種方案。2.通過探究，請(qǐng)具體描述以上能夠鑲嵌的多邊形組合是如何鑲嵌的？

邊長相等的兩種正多邊形的組合鑲嵌（1）正三角形與正方形的平面鑲嵌（2）正三角形與正六邊形的平面鑲嵌60°×3+90°×2=360°60°×4+120°×1=360°60°×2+120°×2=360°∴

3個(gè)正三角形和2個(gè)正方形可以進(jìn)行組合鑲嵌。

60x+90y=360∵x,y為正整數(shù)解：設(shè)在一個(gè)拼接點(diǎn)處有x個(gè)正三角形,y個(gè)正方形，則有∴方程的解為x=3y=2

整理得：2x+3y=12探究活動(dòng)三結(jié)論1.正三角形和正方形組合，正三角形和正六邊形組合能進(jìn)行平面鑲嵌。2.鑲嵌的條件是：每個(gè)拼接點(diǎn)處兩種正多邊形各內(nèi)角的和為360°。三、總結(jié)歸納，提煉精華思考：在鑲嵌時(shí)需要關(guān)注哪些因素？頂點(diǎn)，角，邊平面圖形鑲嵌的條件是什么？1.每個(gè)拼接點(diǎn)（頂點(diǎn)）處各角的和為360°；2.相等的邊互相重合。四、思維拓展，應(yīng)用提升設(shè)計(jì)說明

這個(gè)環(huán)節(jié)作為一個(gè)拓展內(nèi)容，通過給學(xué)生提供三個(gè)不規(guī)則圖形鑲嵌的實(shí)例演示，目的是讓學(xué)生不僅關(guān)注曲變形的鑲嵌問題，而且關(guān)注基本鑲嵌圖形的構(gòu)造過程，從而為設(shè)計(jì)鑲嵌圖案提供思路。2cm1cm將正方形分割為如圖所示的兩個(gè)圖形，是否可以鑲嵌？如圖，在一個(gè)正方形的內(nèi)部按圖示1的方式減去一個(gè)圖形，并平移，形成如圖2所示的新圖案。以這個(gè)圖案為“基本單位”能否進(jìn)行鑲嵌？如圖所示的兩個(gè)“類平行四邊形”圖形，是否可以鑲嵌？思維提升1.一個(gè)能夠鑲嵌的圖形分割成幾個(gè)圖形，經(jīng)組合后仍可進(jìn)行平面鑲嵌。2