吉洪諾夫空間數(shù)學(xué)術(shù)語01定義辨析例子和反例相關(guān)概念性質(zhì)目錄03050204基本信息在拓?fù)鋵W(xué)和相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，吉洪諾夫空間或完全正則空間是特定優(yōu)良種類的拓?fù)淇臻g。這些條件是分離公理的個(gè)例。吉洪諾夫空間得名于安德列·尼古拉耶維奇·吉洪諾夫（英語：AndreyNikolayevichTychonoff），他的俄語名(Тихонов)也翻譯為“Tychonov”、“Tikhonov”、“Tihonov”或“Tichonov”。定義定義拓?fù)淇臻gX是吉洪諾夫空間或T3?空間或Tπ空間或完全T3空間，當(dāng)且僅當(dāng)它是完全正則空間和T1空間二者。

相關(guān)概念相關(guān)概念假定X是拓?fù)淇臻g。X是完全正則空間，當(dāng)且僅當(dāng)給定任何閉集F和任何不屬于F的點(diǎn)x，存在從X到實(shí)直線R的連續(xù)函數(shù)f使得f(x)為0和f(y)為1對(duì)于所有F中的y。用“空想家”術(shù)語來說，這個(gè)條件聲稱x和F可以由函數(shù)分離。辨析辨析注意某些數(shù)學(xué)文獻(xiàn)對(duì)術(shù)語“完全正則”和涉及“T”的術(shù)語使用了不同的定義。我們這里給出的定義是今天最常用；但是某些作者切換了兩類術(shù)語的意義，或者把它們用做同一個(gè)條件的同義詞。在這里，我們直率的使用術(shù)語“完全正則”和“吉洪諾夫”，但避免不太明晰的術(shù)語“T”。在其他文獻(xiàn)中，你應(yīng)該仔細(xì)找出作者使用的是什么術(shù)語。完全正則空間和吉洪諾夫空間通過柯爾莫果洛夫商關(guān)聯(lián)起來的。拓?fù)淇臻g是吉洪諾夫空間，當(dāng)且僅當(dāng)它是完全正則空間和T0空間二者。在另一方面，一個(gè)空間是完全正則空間，當(dāng)且僅當(dāng)它的柯爾莫果洛夫商是吉洪諾夫空間。

性質(zhì)保持實(shí)數(shù)值連續(xù)函數(shù)嵌入緊致化一致結(jié)構(gòu)12345性質(zhì)保持完全正則性和吉洪諾夫性質(zhì)關(guān)于始拓?fù)涫潜憩F(xiàn)良好的。特別是，選取任意始拓?fù)浔３滞耆齽t性，選取點(diǎn)分離始拓?fù)浔３旨橹Z夫性質(zhì)?？傻贸?類似所有分離公理，選取終拓?fù)洳槐３滞耆齽t性。特別是，完全正則空間的商空間不必須是正則空間。吉洪諾夫空間的商空間甚至不必須是豪斯多夫空間。有Moore平面的閉合商作為反例。實(shí)數(shù)值連續(xù)函數(shù)對(duì)于任何拓?fù)淇臻gX，設(shè)C(X)指示在X上的實(shí)數(shù)值連續(xù)函數(shù)族，并設(shè)C*(X)是有界實(shí)數(shù)值函數(shù)的子集。完全正則空間可以特征化為它們的拓?fù)渫耆_定自C(X)或C*(X)的性質(zhì)。特別是:給定任意拓?fù)淇臻g(X,τ)有一種普遍方式對(duì)(X,τ)關(guān)聯(lián)上一個(gè)完全正則空間。設(shè)ρ是在引發(fā)自Cτ(X)的X上的始拓?fù)?，或等價(jià)的說，從(X,τ)中的余零集合的基生成的拓?fù)?。則ρ將是比τ粗的X上的最細(xì)完全正則拓?fù)?。這種構(gòu)造是普遍性的，在任何到完全正則空間Y的連續(xù)函數(shù)都將在(X,ρ)上連續(xù)的意義上。用范疇論的語言，從(X,τ)到(X,ρ)的函子左伴隨于包含函子CReg→Top。因此完全正則空間的范疇CReg是拓?fù)淇臻g范疇Top的反射子范疇。通過選取柯爾莫果洛夫商，可以看出吉洪諾夫空間的子范疇也是反射的?？梢宰C明在上述構(gòu)造中Cτ(X)=Cρ(X)，所以環(huán)C(X)和C*(X)典型的只在完全正則空間X中研究。嵌入吉洪諾夫空間完全就是那些可以嵌入到緊致豪斯多夫空間內(nèi)的空間。更精確地說，對(duì)于所有吉洪諾夫空間X，存在緊致豪斯多夫空間K使得X同胚于K的一個(gè)子空間。事實(shí)上，你總是可以選擇K為立方體(就是說，單位區(qū)間的可能無限乘積)。所有立方體都是緊致豪斯多夫空間是吉洪諾夫定理的一個(gè)結(jié)論。因?yàn)樗芯o致豪斯多夫空間的子空間都是吉洪諾夫空間，所以:緊致化特別有趣的嵌入是X的像是K中的稠密集；這叫做X的豪斯多夫緊致化。給定任何吉洪諾夫空間X到緊致豪斯多夫空間K的嵌入，X在K中的像的閉包是X的緊致化。在豪斯多夫緊致化中，有一個(gè)唯一“最一般”的，斯通–切赫緊致化βX。它由如下泛性質(zhì)刻畫，給定從X到任何其他緊致豪斯多夫空間Y的連續(xù)映射f，有一個(gè)唯一的從βX到Y(jié)連續(xù)映射g擴(kuò)張f，在f是g和j的復(fù)合意義上。一致結(jié)構(gòu)完全正則性正好是在拓?fù)淇臻g上存在一致結(jié)構(gòu)的必需條件。換句話說，所有一致空間都有完全正則拓?fù)?，而所有完全正則空間X是可一致化空間。拓?fù)淇臻g允許分離的一致結(jié)構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)它是吉洪諾夫空間。給定完全正則空間X通常存在多于一個(gè)X上的一致結(jié)構(gòu)相容于X的拓?fù)?。但是，總是有最?xì)一致結(jié)構(gòu)，叫做X的精細(xì)一致結(jié)構(gòu)。如果X是吉洪諾夫空間，則可以選擇一致結(jié)構(gòu)使得βX成為一致空間X