按Esc鍵退出返回目錄2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值按Esc鍵退出返回目錄按Esc鍵退出返回目錄?知識(shí)梳理

1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1,x2.當(dāng)x1<x2時(shí),都有

,那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí),都有

,那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)按Esc鍵退出返回目錄圖象描述自左向右看圖象是

自左向右看圖象是

(2)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是

或

,則稱(chēng)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.逐漸上升的逐漸下降的增函數(shù)減函數(shù)按Esc鍵退出返回目錄2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足條件對(duì)于任意x∈I,都有

;存在x0∈I,使得

.對(duì)于任意x∈I,有

;存在x0∈I,使得

.結(jié)論M為最大值M為最小值按Esc鍵退出按Esc鍵退出按Esc鍵退出返回目錄返回目錄返回目錄?基礎(chǔ)自測(cè)?1.下列函數(shù)中,在(0,3)上是增函數(shù)的是(

).A.f(x)=?

B.f(x)=-x+3C.f(x)=?

D.f(x)=x2-6x+4答案：C2.下列函數(shù)f(x)中滿(mǎn)足“對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2)”的是(

).A.f(x)=ex

B.f(x)=?C.f(x)=(x-2)2

D.f(x)=ln(x+3)答案：B按Esc鍵退出返回目錄3.若函數(shù)f(x)=x2-2x+m在[3,+∞)上的最小值為1,則實(shí)數(shù)m的值為(

).A.-3

B.-2C.-1

D.1答案：B4.若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),又f(-3)=0,則不等式?<0的解集為(

).A.(-3,0)∪(3,+∞)

B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

D.(-∞,-3)∪(0,3)答案：B按Esc鍵退出返回目錄5.函數(shù)f(x)=?+2在[3,4]上的最大值為

,最小值為

.?思維拓展：1，2，3?按Esc鍵退出返回目錄一、函數(shù)單調(diào)性的判斷【例1-1】下列四個(gè)函數(shù)中,在(0,+∞)上為增函數(shù)的是(

).A.y=?B.y=-log2xC.y=x2-2xD.y=?解析:畫(huà)出各函數(shù)圖象,由圖象可知,選D.考點(diǎn)探究突破練習(xí)：針對(duì)訓(xùn)練1按Esc鍵退出返回目錄【例1-2】討論函數(shù)f(x)=?(m<0)的單調(diào)性.

解:函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠2},不妨設(shè)x1,x2∈(-∞,2)且x1<x2,f(x2)-f(x1)=?-=?

=∵m<0,x1,x2∈(-∞,2),且x1<x2,∴x1-x2<0,(x2-2)(x1-2)>0.按Esc鍵退出返回目錄∴?>0,即f(x2)>f(x1),故函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,2)上是增函數(shù);同理可得函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上也是增函數(shù).綜上,函數(shù)f(x)在(-∞,2),(2,+∞)上均為增函數(shù).請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]5按Esc鍵退出返回目錄方法提煉1.判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性,最基本的方法是利用定義或利用導(dǎo)數(shù).利用定義的步驟是:設(shè)元取值→作差(商)變形→確定符號(hào)(與1比較大小)→得出結(jié)論;利用導(dǎo)數(shù)的步驟是:求導(dǎo)函數(shù)→判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)→得出結(jié)論.2.兩個(gè)增(減)函數(shù)的和函數(shù)仍是增(減)函數(shù),但兩個(gè)增函數(shù)的差、積、商的函數(shù)單調(diào)性不確定,同樣兩個(gè)減函數(shù)的差、積、商的函數(shù)單調(diào)性也不確定.按Esc鍵退出返回目錄二、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法與單調(diào)性的應(yīng)用【例2-1】定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:對(duì)任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有?<0,則(

).A.f(3)<f(-2)<f(1)

B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)

D.f(3)<f(1)<f(-2)解析:由題意得,在[0,+∞)上?<0,故f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,且滿(mǎn)足n∈N*時(shí),f(-2)=f(2),3>2>1>0,得f(3)<f(-2)<f(1),故選A.答案：A請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]3按Esc鍵退出返回目錄【例2-2】已知f(3x+1)=9x2-6x+5,(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)寫(xiě)出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解:(1)令t=3x+1,則x=?,代入已知,得f(t)=9?-6×?+5,∴f(t)=t2-4t+8,即f(x)=x2-4x+8.(2)由(1)知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=2,開(kāi)口向上.由圖象性質(zhì)知,增區(qū)間為[2,+∞),減區(qū)間為(-∞,2).練習(xí)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.按Esc鍵退出返回目錄方法提煉求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法:(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性,即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù),求單調(diào)區(qū)間.(2)定義法:先求定義域,再利用單調(diào)性定義.(3)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(4)圖象法:如果函數(shù)是以圖象形式給出的,或者函數(shù)的圖象易作出,可由圖象的直觀性寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間.按Esc鍵退出按Esc鍵退出按Esc鍵退出按Esc鍵退出按Esc鍵退出返回目錄返回目錄返回目錄返回目錄返回目錄三、求函數(shù)的最值【例3-1】函數(shù)

在區(qū)間[0,4]上的最大值M與最小值N的和為

.解析:函數(shù)y=x+2在其定義域上是增函數(shù),所以x=0時(shí)有最小值N=0,x=4時(shí)有最大值M=8,M+N=8.答案：8

請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]2按Esc鍵退出返回目錄【例3-2】已知定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(?)=f(x1)-f(x2),且當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0.(1)求f(1)的值,并判斷f(x)的單調(diào)性;(2)若f(4)=2,求f(x)在[5,16]上的最大值.按Esc鍵退出返回目錄解:(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,則?>1,由于當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0,所以f?>0,即f(x1)-f(x2)>0,因此f(x1)>f(x2),按Esc鍵退出返回目錄所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).(2)∵f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),∴f(x)在[5,16]上的最大值為f(16).由f?=f(x1)-f(x2),得f?=f(16)-f(4),而f(4)=2,所以f(16)=4.∴f(x)在[5,16]上的最大值為4.補(bǔ)充練習(xí)按Esc鍵退出返回目錄方法提煉1.求函數(shù)值域與最值的常用方法:(1)先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求值域或最值.(2)圖象法:先作出函數(shù)在給定區(qū)間上的圖象,再觀察其最高、最低點(diǎn),求出最值.(3)配方法:對(duì)于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)形式的函數(shù),可用配方法求解.(4)換元法:對(duì)較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù),再用相應(yīng)的方法求值域或最值.按Esc鍵退出返回目錄(6)導(dǎo)數(shù)法:先求導(dǎo),然后求在給定區(qū)間上的極值,最后結(jié)合端點(diǎn)值,求出值域或最值.(5)基本不等式法:先對(duì)解析式變形,使之具備“一正二定三相等”的

條件后,再用基本不等式求出最值.按Esc鍵退出返回目錄2.對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義,結(jié)合題目所給性質(zhì)和相應(yīng)條件,對(duì)任意x1,x2在所給區(qū)間內(nèi)比較f(x1)-f(x2)與0的大小,或?與1的大小(f(x)>0).有時(shí)根據(jù)需要,需作適當(dāng)?shù)淖冃?如x1=x2·?或x1=x2+x1-x2等.按Esc鍵退出返回目錄四、函數(shù)的單調(diào)性與不等式【例4】已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②當(dāng)x>0時(shí),f(x)>-1.(1)求f(0)的值,并證明f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù);(2)若f(1)=1,解關(guān)于x的不等式:f(x2+2x)+f(1-x)>4.按Esc鍵退出返回目錄解:(1)令x=y=0得f(0)=-1.在R上任取x1>x2,則x1-x2>0,f(x1-x2)>-1,又f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),所以,函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).(2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5.由f(x2+2x)+f(1-x)>4得f(x2+x+1)>f(3),又函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),故x2+x+1>3,解之,得x<-2或x>1,故解集為{x|x<-2或x>1}.練習(xí)：限時(shí)作業(yè)5第11題按Esc鍵退出返回目