3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型

1859年，當(dāng)澳大利亞的一個農(nóng)夫?yàn)榱舜颢C而從外國弄來幾只兔子后，一場可怕的生態(tài)災(zāi)難爆發(fā)了.兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亞它沒有天敵，數(shù)量不斷翻番.兔子每年能生產(chǎn)4到6次，一窩6-10只1950年，澳大利亞的兔子的數(shù)量從最初的五只增加到了五億只，這個國家絕大部分地區(qū)的莊稼或草地都遭到了極大損失.絕望之中，人們從巴西引入了多發(fā)黏液瘤病，以對付迅速繁殖的兔子.整個20世紀(jì)中期，澳大利亞的滅兔行動從未停止過.這種現(xiàn)象能否用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來解釋呢？請進(jìn)入本節(jié)的學(xué)習(xí)！例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.請問，你會選擇哪種投資方案？方案三可以用函數(shù)進(jìn)行描述.設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)進(jìn)行描述；思路分析：2.如何建立日回報(bào)效益與天數(shù)的函數(shù)模型？1.依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來選取投資方案？日回報(bào)效益，還是累計(jì)回報(bào)效益？方案二可以用函數(shù)進(jìn)行描述；注意x與y的意義3.三個函數(shù)模型的增減性如何？4.要對三種方案作出選擇，就要對它們的增長情況進(jìn)行分析，如何分析？根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748364.8107374182.4三種方案所得回報(bào)的增長情況如表和圖：2y＝4020406080100120O4681012yxy＝10xy＝0.4×2x－1函數(shù)圖象是分析問題的好幫手下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù)：結(jié)論：投資1～6天,應(yīng)選擇方案一;投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8～10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天(含11天)以上，應(yīng)選擇方案三.天數(shù)回報(bào)/元方案一二三40123456789101180120160200240280320360400440103060100150210280

3604505506600.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8例2：某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎金不超過利潤的25%，現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？1．確定x的取值范圍，即函數(shù)的定義域．2．通過圖象說明選用哪個函數(shù)模型？為什么？思考：812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOy＝5yx

首先計(jì)算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬元.

對于模型y=0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x=20時(shí)，y=5,因此，當(dāng)x>20時(shí)，y>5,所以該模型不符合要求；對于模型y=1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計(jì)算器，可知在區(qū)間（805，806）內(nèi)有一個點(diǎn)x0滿足由于它在區(qū)間[10,1000]上遞增，因此當(dāng)x>x0時(shí)，y>5,所以該模型也不符合要求；對于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x=1000時(shí)，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求.

計(jì)算按模型y=log7x+1獎勵時(shí)，獎金是否不超過利潤的25%，即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，是否有

成立

如何判斷該式是否成立令

綜上所述，模型確實(shí)能符合公司要求.時(shí)，

所以,當(dāng)

說明按模型獎勵,獎金不會超過利潤的25%，

利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象由圖象可知它是遞減的，

因此

即

構(gòu)造函數(shù)微課：指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的差異比較1.列表并在同一坐標(biāo)系中畫出下面這三個函數(shù)的圖象(a=2).x0.20.61.01.4y=2x1.1491.51622.639y=x20.040.3611.96y=log2

x-2.322-0.73700.485x1.82.22.63.03.4…y=2x3.4824.5956.063810.556…y=x23.244.846.76911.56…y=log2

x0.8481.1381.3791.5851.766…xyo1122345y=x2y=2xy=log2

x2.結(jié)合函數(shù)的圖象找出其交點(diǎn)坐標(biāo).

從圖象看出y=log2x的圖象與另外兩函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，且總在另外兩函數(shù)圖象的下方，y=x2的圖象與y=2x的圖象有兩個交點(diǎn)(2，4)和（4，16）.x012345678…y=2x1248163264128256…y=x201491625364964…ABy=2xxyo1121623434y=x2y=log2x差異明顯3.根據(jù)圖象,分別寫出使不等式log2x<2x<x2和

log2x<x2<2x成立的自變量x的取值范圍.使不等式log2x<2x<x2的x的取值范圍是(2，4);使不等式log2x<x2<2x的x取值范圍是(0，2)∪(4,+∞).

一般地，對于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0),在區(qū)間（0，+∞）上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax會小于xn,但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0,當(dāng)x>x0時(shí)，就會有ax>xn.指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的比較

對于對數(shù)函數(shù)y=logax（a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0),在區(qū)間（0，+∞）上,隨著x的增大，logax增長得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣.盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0,當(dāng)x>x0時(shí)，就會有l(wèi)ogax<xn.對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的比較1）在區(qū)間(0,+∞)上，y=ax（a>1)，y=logax(a>1)和y=xn（n>0）都是增函數(shù).因此總會存在一個x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就有l(wèi)ogax<xn<ax.2）隨著x的增大，y=ax（a>1)的增長速度越來越快，會

遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn（n>0）的增長速度.

3）隨著x的增大，y=logax(a>1)的增長速度越來越慢，

會遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于y=xn（n>0的增長速度.【提升總結(jié)】D2.(2018·北京高一檢測)下表是某次測量中兩個變量x,y的一組數(shù)據(jù),若將y表示為關(guān)于x的函數(shù),則最可能的函數(shù)模型是 (

)x23456789y0.631.011.261.461.631.771.891.99

A.一次函數(shù)模型 B.二次函數(shù)模型C.指數(shù)函數(shù)模型 D.對數(shù)函數(shù)模型D3.三個變量y1,y2,y3隨著變量x的變化情況如下表所示:x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4則關(guān)于x分別呈對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)變化的變量依次為_________,_________,_________.

幾類不同增長的函數(shù)模型類型指數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型冪函數(shù)模型實(shí)際問題理解問題簡化假設(shè)數(shù)學(xué)建模求解模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿?shù)學(xué)建模步驟1.某品牌茶壺的原售價(jià)為80元一個,今有甲、乙兩家茶具店銷售這種茶壺,甲店用如下的方法促銷:如果只購買一個茶壺,其價(jià)格為78元/個;如果一次購買兩個茶壺,其價(jià)格為76元/個,…;