2.5極限的存在準則22-1夾逼準則單調(diào)有界收斂準則本節(jié)我們介紹極限存在的二個準則：⑴夾逼準則；⑵單調(diào)有界收斂準則。進而得到的兩個重要極限：xxfi0第一重要極限：lim

sin

x

=1x22-2xfi

￥第二重要極限：

lim(1+

1

)x

=

e.nfi

￥22-3準則1（夾逼準則之數(shù)列形式）假設(shè)三個數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿足下列兩個條件：從某一項起有an≤cn≤bn,lim

an

=

lim

bn

=

a.nfi

￥

nfi

￥則數(shù)列{cn}收斂，且lim

cn

=

a.2.5.1夾逼準則證明從略準則1（夾逼準則之函數(shù)形式）設(shè)在自變量的同一變化過程中，f(x)，g(x)，h(x)都有定義，且滿足（1）

g(x)

￡

f

(x)

￡

h(x)

；（2）

lim

g(x)

=

lim

h(x)

=

A

，22-4則lim

f

(x)

=

A.如果將準則1

中A

換成+￥

(或-￥

)，結(jié)論仍成立.解由于1

11￡￡n2

+

n n2

+

i n2

+1,i

=1,2,,n

，所以11

1n2n2+n2

+

n

￡

n(

n2

+1n2

+

2

+

+

n2

+

n

)

￡

n2

+1.22+1又因為lim

=

limn2+

nn2nfi

￥

n

nfi

￥

n=1.

所以由夾逼準則知111lim

n(nfi

￥+)

=1.n2

+1n2

+

2n2

+

n+

+例2.5.1122-511).求lim

n(nfi

￥+n2

+1n2

+

2

n2

+

n+

+例2.5.2設(shè)

f

(x)

滿足

f

(x)

￡

x2

，證明xfi

0證由于f

(0)￡

02

=0

，所以f

(0)=0

。lim

f

(x)=f

(0)。xfi

022-6又f

(x)￡

x2

，所以-x2

￡

f

(x)￡

x2

。由于lim(-x2

)

=

lim

x2

=

0xfi0

xfi0所以由夾逼準則知lim

f

(x)=0

=f

(0)。xxfi

0第一重要極限：lim

sin

x

=1.x證

sin

x

是偶函數(shù)，故可將

x→0

等價地轉(zhuǎn)化為

x→0+，2并限制x

?

(0,

p

)

.

由結(jié)論

1.4.1

知有xtan

x

>x

>sin

x

>0,得cos

x

<sin

x

<1.xfi

0由于lim

cos

x

=cos

0

=1

，由夾逼準則，x22-7lim

sin

x

=1.xfi

0解1xfi

0xfi

0

xfi

0x

x

cos

x

x

xfi

0

cos

xlim

tan

x

=

lim

sin

x

1=

lim

sin

x

lim=

1.例2.5.3x求lim

tan

x

.xfi

0f

(x)f

(

x)fi

0第一重要極限的推廣形式：

lim

sin

f

(x)

=1.f

(x)

?

0.證令u

=f

(x)，f

(x)

uf

(

x)fi

0ufi

0則

lim

sin

f

(x)

=

lim

sin

u

=1.xfi

0x

xfi

0

sin(arcsin

x)lim

arcsin

x

=

lim

arcsin

x=1.x

x22-8xfi

0xfi

￥同理，

lim

arc

tan

x

=1, lim

x

sin1

=

1.例2.5.4x2求lim

1

-cos

x

.xfi

0解2

sin

2

sin1xx2

)2

,x2x2

x2xfi

0

xfi

02

xfi

0lim

-

cos

x

=

lim

2

=

1

lim(sin

xx2xfi

0由第一重要極限的推廣形式得lim

2

=

1222-92

2sin

xx2x2xfi

0xfi

0故lim

1

-cos

x

=1

(lim2

)2

=

1

12

=

1

.例2.5.5x

-

x0求lim

sin

x

-sin

x0

.xfi

x0解2

2xfi

02

sin

x

-

x0

cos

x

+

x0lim

sin

x

-

sin

x0=

limxfi

0x

-

x0x

-

x0222-10220=1 cos

x0

+

x0

=

cos

x

.x

-

x0sin

x

-

x0=

lim

2

lim

cos

x

+

x0xfi

x0xfi

x0由以上討論，可得一些等價無窮小:當

x

fi

0

時，

sin

x

~

x, tan

x

~

x,212x

.arcsin

x

~

x, arctan

x

~

x,

1-

cos

x

~例2.5.6(arc

sin

5x)3xfi

0解3x

1x222-11(arc

sin

5x)3

(5x)3

250xfi

0xfi

0lim

tan

3x

(1-

cos

x)

=

lim

2

=

3 .若f

(x)fi

0

，可將上面的x

全部換成f

(x)，結(jié)論也正確.求lim

tan

3x

(1-

cos

x)

.注意：不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.例2.5.7xfi

0求lim

tan

x

-sin

x

.sin

x

~

x.當x

fi

0時, tan

x

~

x,(2

x)3xfi

0解

當x

fi

0時,12~3x

,sin3

2

xsin

2

x

~

2

x,tan

x

-

sin

x

=

tan

x(1

-

cos

x)1(2

x)3x3xfi

0原式=

lim

2161=

.錯

解原式·=lim

x

-x

=0.練習(xí)：計算下列極限xx(2)lim

arctan

2

x(1)lim

x

arcsin

1xfi

0xfi

￥解x~1

1x

x0,\

arcsin1

fi(1)

x

fi

￥

時，xxfi

￥\

原式

=

lim

x

1

=

1(2)

x

fi

0時，arctan

2

x

~

2

xxxfi

0\原式=lim

2

x

=22.5.2單調(diào)有界收斂準則如果數(shù)列{xn

}滿足x1

￡

x2

￡

￡

xn

￡

,就稱數(shù)列{xn

}為單增數(shù)列；如果數(shù)列{xn

}滿足注意：含有等號x1

?

x2

?

?

xn

?

,就稱數(shù)列{xn

}為單減數(shù)列.單增數(shù)列和單減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.22-15準則Ⅱ（單調(diào)有界準則）

單調(diào)有界數(shù)列一定收斂.22-16證明從略。推論

2.5.1

如果單增數(shù)列{xn

}

有上界，即存在常數(shù)M

，nfi

￥使得xn

￡

M

,

n=1,

2,

，，則lim

xn

存在且不大于M

.推論2.5.2如果單減數(shù)列{xn

}有下界，即存在常數(shù)m

，nfi

￥使得xn

?

m

,

n

=1,

2,

，則lim

xn

存在且不小于m

.例2.5.822-17設(shè)0

<x1

<1,xn+1

=sin

xn

,n

=1,2,3,

，證明nfi

￥lim

xn

存在，并求其極限值.證由題意知xn>0

，且xn+1

=sin

xn

<xn

，nfi

￥所以{xn

}單調(diào)下降且有下界。\lim

xn

存在。nfi

￥設(shè)lim

xn

=a

，在xn+1

=sin

xn

中令n

fi

￥

，由于nfi

￥lim

xn+1

=a

，故得a

=sin

a

，解得a

=0

，所以nfi

￥lim

xn

=0

。例2.5.9設(shè)x1

=2,xn+1

=2

+xn

,n

=1,2,3,

，證明nfi￥lim

xn

存在，并求其值．nnn證①由xn+1n-1n-1xn

-

xn-1-

x

=

2

+

x

-

2

+

x

=2

+

x

+

2

+

x，知xn+1

-xn

與xn

-xn-1

同號，以此類推，xn+1

-xn

與x2

-

x1

=

2

+

2

-22-182

>0

同號，\{xn

}單調(diào)增加。也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明此數(shù)列單調(diào)增。續(xù)證②

x1

=一般地，xn

=2

<

2,

x2

=

2

+

x1

<

2

+

2

=

2,

，2

+

xn-1

<

<

2

+

2

=

2

，\{xn

}有上界。于是，由單調(diào)有界準則可得：{xn

}收斂。nfi

￥③設(shè)lim

xn

=

a

，則在關(guān)系式

xn+1

=2

+

xn中求極限可得：a

=22-192

+a

，解得：a

=2

。故nfi

￥lim

xn

=2

。練習(xí)：證明數(shù)列xn式)的極限存在.=3

+3

+

+3

(n重根證顯然xn+1

>xn

,\{xn

}是單調(diào)遞增的;又

x1

=<

3,3

<3,

假定xkxk

+1

=3

+

xk<3

+

3

<

3,n\{x

}是有(上)界的;nfi

￥\lim

xn

存在.

xn+1

=

3

+

xn

,nx

2=

3

+

x

,n+1nlim

x

2=

lim(3

+

x

),nfi

￥n+1nfi

￥A2

=

3

+

A,2213

,

A

=

1

-解得A

=1

+13

(舍去)2=

1

+

13

.n\

lim

xnfi

￥nfi

￥設(shè)lim

xn

=A,xxfi

￥第二重要極限：

lim(1+

1

)x

=

e.1nnfi

￥第二重要極限的數(shù)列形式：lim(1+)n

=

e.1!

2!

3!

n!n=0

n!￥在第13

章中將有e

=

1

=1+

1

+

1

+

1

++

1

+.注意：上面極限中的e

在當時只是極限值的記號，而現(xiàn)在已經(jīng)成為重要的數(shù)值。以e

為底的對數(shù)稱為自然對數(shù).記作ln

x

，即ln

x

=logex

.函數(shù)y

=ln

x

與函數(shù)y

=ex

互為反函數(shù).e

為無理數(shù)，其值為e=2.718281828459045…。注：一般地，如果u

fi

1,v

fi

￥

，就稱極限lim

uv

為1￥

型未定式22-。21證明思路:n⑴先利用均值不等式證明數(shù)列{(1

+1

)n

}單增且有上界；然nn22-22nfi

￥后由單調(diào)有界準則知數(shù)列{(1

+1

)n

}收斂，即極限lim(1+1

)n存在，且記為e

。⑵再將數(shù)列的結(jié)論利用夾逼準則及及變量代換，引伸到函數(shù)的情形中去。1f

(x)f

(

x

)fi

￥第二重要極限的推廣形式：

lim

(1+)

f

(

x

)

=

e。其中f

(x)可為任意函數(shù)，條件是f

(x)fi

￥

。1xfi

0第二重要極限的變形：lim(1+x)x=e

。1111)

xxxfi

0事實上：lim(1+x)x=

lim(1+xfi

0=e

。x22-23同理，第一重要極限的變形：xfi

￥lim

x

sin

1

=1。1]a

(

x

)

=

elim

[1

+a

(

x

)fi

￥a

(

x)1lim

（1

+

b

(

x))

b

(

x

)

=

eb（x

)fi

0兩個極限的特征：底為兩項之和，第一項為1，第二項極限為零，指數(shù)與第二項互為倒數(shù)。注意：例2.5.9計算以下極限x(1) lim(1

-

1

)xxfi

￥2(2) lim(1

+

3

x)xxfi

0x

fi

￥-

x-

x1

)-

xx

fi

￥(1

+11

)-

x

]-1

=

lim解（1）

原式=lim[(1

+=

1

.e（2）

令t

=3

x，則x

fi

0時，t

fi

0，于是11

.6xfi

0

t

fi

0原式

=

lim(1

+

3

x)3

x

=

[lim(1

+

t

)t

]6

=

e62

+

xx

fi

￥求lim(3

+x

)2

x

.例2.5.1011)-4x

+

2x

+

2)x

+2

]2

(1

+xfi

￥解（一）原式=lim[(1

+33x

.62

xe6e4

13

1

++

x

=

lim

= =

e2x

xfi

￥

12

xfi

x

x2

.4

+

x

1

+2x

二）原式=lim1

=

e

2

.11lim(1

+=

lim[(1

+)-4=

e2x

+

2x

+

2xfi

￥)x

+2

]2xfi

￥1￥

型）練習(xí)

求下列極限xfi

￥xxx

+

a3、lim(xfi

￥xfi

0xxfi

￥2、

lim(1

+

x

)2

x

=

lim[(1

+

1

)x

]2

=

e2xax

a)

a)x

=

lim(1

+xfi

￥=

ea25

tan

x1xfi

p5、lim(1

-21-

1)tan

x=

lim[(1

-)-5tan

x

]5

tan

xxfi

p5-

15