初中數(shù)學(xué)各種公式(完整版)

初中數(shù)學(xué)公式大全1.乘法與因式分解①$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$②$(a\pmb)^2=a^2\pm2ab+b^2$③$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$④$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$2.冪的運(yùn)算性質(zhì)①$a^1=a$⑥$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$②$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$③$(a^m)^n=a^{mn}$④$a^m\timesa^n=a^{m+n}$⑤$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$⑦$a^0=1(a\neq0)$特別地：$a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$3.二次根式①$\sqrt{a^2}=a(a\geq0)$②$|\pma|=|a|$③$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt$④$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}\sqrt(\text{其中}a>0,b\geq0)$4.三角不等式$|a|-|b|\leq|a\pmb|\leq|a|+|b|(\text{定理})$；加強(qiáng)條件：$||a|-|b||\leq|a\pmb|\leq|a|+|b|$也成立，這個(gè)不等式也可稱為向量的三角不等式（其中$a$，$b$分別為向量$a$和向量$b$）；$|a+b|\leq|a|+|b|$；$|a-b|\leq|a|+|b|$；$|a|\leqb\iff-b\leqa\leqb$；$|a-b|\geq|a|-|b|$；$-|a|\leqa\leq|a|$；5.某些數(shù)列前$n$項(xiàng)之和$1+2+3+4+5+6+7+8+9+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$；$1+3+5+7+9+11+13+15+\cdots+(2n-1)=n^2$；$2+4+6+8+10+12+14+\cdots+(2n)=n(n+1)$；$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$；$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$；$1\times2+2\times3+3\times4+4\times5+5\times6+6\times7+\cdots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$；6.一元二次方程對(duì)于方程：$ax^2+bx+c=0$：①求根公式是$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$\Delta=b^2-4ac$叫做根的判別式。當(dāng)$\Delta>0$時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)$\Delta=0$時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)$\Delta<0$時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。注意：當(dāng)$\Delta\geq0$時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根。②若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根$x_1$和$x_2$，則二次三項(xiàng)式$ax^2+bx+c$可分解為$a(x-x_1)(x-x_2)$。③以$a$和$b$為根的一元二次方程是$x^2-(a+b)x+ab$。7.一次函數(shù)一次函數(shù)$y=kx+b(k\neq0)$的圖象是一條直線（$b$是直線與$y$軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱為截距）。①當(dāng)$k>0$時(shí)，$y$隨$x$的增大而增大（直線從左向右上升）；1.正比例函數(shù)正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像是一條過原點(diǎn)的直線。當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大(直線從左向右上升)；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小(直線從左向右下降)；特別地：當(dāng)b=0時(shí)，y=kx(k≠0)也叫做正比例函數(shù)，圖像必過原點(diǎn)。2.反比例函數(shù)反比例函數(shù)y=k/x(k≠0)的圖像叫做雙曲線。當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線在一、三象限(在每一象限內(nèi)，從左向右降)；當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線在二、四象限(在每一象限內(nèi)，從左向右上升)。3.二次函數(shù)(1)定義：一般地，如果y=ax^2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)。(2)拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)。a的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)a>0時(shí)，開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同。平行于y軸（或重合）的直線記作x=h。特別地，y軸記作直線x=0。(3)幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)y=ax^2(0,0)x=y軸(0,0)y=ax^2+k(0,k)x=y軸(0,k)y=a(x-h)^2(h,0)x=h(h,0)y=a(x-h)^2+k(h,k)x=h(h,k)(4)求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法①公式法：y=ax^2+bx+c=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c，∴頂點(diǎn)是(-b/2a,c-b^2/4a)，對(duì)稱軸是直線x=-b/2a。②配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a(x-h)^2+k的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱軸是直線x=h。③運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。(5)拋物線①a決定開口方向及開口大小，這與y=ax^2中的a完全一樣。②b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置。由于拋物線y=ax^2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=-b/2a，故：①b=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；②a>0(即a、b同號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；③a<0(即a、b異號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)。③c的大小決定拋物線y=ax^2+bx+c與y軸交點(diǎn)的位置。1.當(dāng)$x=0$時(shí)，拋物線$y=ax^2+bx+c$與$y$軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)$(0,c)$，其中$c$為常數(shù)。根據(jù)$c$的值，可以判斷交點(diǎn)在$y$軸的正半軸還是負(fù)半軸，或者是否經(jīng)過原點(diǎn)。這三種情況在結(jié)論和條件互換時(shí)仍然成立。2.二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：一般式$y=ax^2+bx+c$、頂點(diǎn)式$y=a(x-h)^2+k$和交點(diǎn)式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$。根據(jù)已知條件的不同，可以選擇不同的形式來表示二次函數(shù)。3.拋物線$y=ax^2+bx+c$與$x$軸的交點(diǎn)的情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的判別式來判斷。若判別式大于零，則有兩個(gè)交點(diǎn)；若等于零，則有一個(gè)交點(diǎn)（此時(shí)頂點(diǎn)在$x$軸上）；若小于零，則沒有交點(diǎn)。4.平行于$x$軸的直線與拋物線的交點(diǎn)可能有一個(gè)、兩個(gè)或沒有。當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為$k$，則橫坐標(biāo)是$ax^2+bx+c=k$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。5.一次函數(shù)$y=kx+n$的圖像與二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像的交點(diǎn)數(shù)目可以由方程組$y=kx+n$和$y=ax^2+bx+c$的解的數(shù)目來確定。若有兩組不同的解，則有兩個(gè)交點(diǎn)；若只有一組解，則有一個(gè)交點(diǎn)；若無解，則沒有交點(diǎn)。6.拋物線$y=ax^2+bx+c$與$x$軸的兩個(gè)交點(diǎn)$A(x_1,0)$和$B(x_2,0)$之間的距離為$AB=|x_1-x_2|$。7.統(tǒng)計(jì)學(xué)中，總體是所要考察的對(duì)象的全體，個(gè)體是總體中的每一個(gè)考察對(duì)象。從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量。一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做眾數(shù)，中間的數(shù)叫做中位數(shù)。1.數(shù)據(jù)分析中的基本概念在數(shù)據(jù)分析中，我們需要了解一些基本概念。首先，平均數(shù)是指一組數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。其次，極差是用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍。第三，方差是數(shù)據(jù)的離差平方和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的結(jié)果。最后，標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。2.頻率與概率頻率是指某個(gè)事件在一定時(shí)間內(nèi)發(fā)生的次數(shù)，可以用頻數(shù)表示。而概率則是指某個(gè)事件發(fā)生的可能性，用P表示。在具體情境中，我們可以通過列舉法計(jì)算簡(jiǎn)單事件的概率。在大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，頻率可以視為事件發(fā)生概率的估計(jì)值。3.銳角三角形在銳角三角形中，我們可以通過正弦、余弦、正切等三角函數(shù)來計(jì)算三角形各邊的長(zhǎng)度和角度。同時(shí)，正弦定理和余弦定理也是計(jì)算三角形各邊長(zhǎng)度的重要方法。在斜坡的坡度計(jì)算中，我們可以通過坡角的正切值來計(jì)算坡度。4.正（余）弦定理正弦定理和余弦定理是計(jì)算三角形各邊長(zhǎng)度的基本方法。在正弦定理中，三角形的外接圓半徑也是一個(gè)重要的概念。在余弦定理中，我們可以通過已知兩邊和夾角來計(jì)算第三邊的長(zhǎng)度。14.三角函數(shù)公式(1)兩角和公式：$\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB$$\sin(A-B)=\sinA\cosB-\sinB\cosA$$\cos(A+B)=\cosA\cosB-\sinA\sinB$$\cos(A-B)=\cosA\cosB+\sinA\sinB$$\tan(A+B)=\frac{\tanA+\tanB}{1-\tanA\tanB}$$\tan(A-B)=\frac{\tanA-\tanB}{1+\tanA\tanB}$$\cot(A+B)=\frac{\cotA\cotB-1}{\cotB+\cotA}$$\cot(A-B)=\frac{\cotA\cotB+1}{\cotB-\cotA}$(2)倍角公式：$\tan2A=\frac{2\tanA}{1-\tan^2A}$$\cot2A=\frac{\cot^2A-1}{2\cotA}$$\cos2A=\cos^2A-\sin^2A=2\cos^2A-1=1-2\sin^2A$(3)半角公式：$\sin\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cosA}{2}}$$\cos\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cosA}{2}}$$\tan\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cosA}{1+\cosA}}$$\cot\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cosA}{1-\cosA}}$(4)和差化積：$\sinA+\sinB=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$\cosA+\cosB=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$\tanA+\tanB=\frac{\sin(A+B)}{\cosA\cosB}$$\tanA-\tanB=\frac{\sin(A-B)}{\cosA\cosB}$$\cotA+\cotB=\frac{\sin(A+B)}{\sinA\sinB}$$\cotA-\cotB=\frac{\sin(A-B)}{\sinA\sinB}$(5)積化和差：$2\sinA\cosB=\sin(A+B)+\sin(A-B)$$2\cosA\sinB=\sin(A+B)-\sin(A-B)$$2\cosA\cosB=\cos(A+B)-\sin(A-B)$$-2\sinA\sinB=\cos(A+B)-\cos(A-B)$15.平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識(shí)(1)對(duì)稱性：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)$P(a,b)$，則$P$關(guān)于$x$軸對(duì)稱的點(diǎn)為$P_1(a,-b)$，$P$關(guān)于$y$軸對(duì)稱的點(diǎn)為$P_2(-a,b)$，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為$P_3(-a,-b)$。2.坐標(biāo)平移：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（a，b）向左平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a－h(huán)，b）；向右平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a＋h，b）；向上平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a，b＋h）；向下平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a，b－h(huán)）。例如，點(diǎn)A（2，－1）向上平移2個(gè)單位，再向右平移5個(gè)單位，則坐標(biāo)變?yōu)锳（7，1）。16.多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n－2）×180o（其中n≥3，n是正整數(shù)），外角和等于360o。17.平行線段成比例定理：當(dāng)三條平行線截兩條直線時(shí)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。例如，在圖中，a∥b∥c，直線l1與直線l2分別與直線a、b、c相交于點(diǎn)A、B、C和D、E、F，則有AB/DE=BC/EF=AC/DF。18.直角三角形中的射影定理：在直角三角形ABC中，∠ACB為90o，CD⊥AB于D，則有：（1）CD2=AD×BD；（2）AC2=AD×AB；（3）BC2=BD×AB。19.圓的有關(guān)性質(zhì)：（1）垂徑定理：如果一條直線具備以下五個(gè)性質(zhì)中的任意兩個(gè)性質(zhì)：①經(jīng)過圓心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的劣??；⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另外三個(gè)性質(zhì)。注：具備①，③時(shí)，弦不能是直徑。（2）兩條平行弦所夾的弧相等。（3）圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。（4）一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。（5）圓周角等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。（6）同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。（7）在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。（8）90o的圓周角所對(duì)的弦是直徑，反之，直徑所對(duì)的圓周角是90o，直徑是最長(zhǎng)的弦。（9）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。20.三角形的內(nèi)心與外心：（1）三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)。（2）三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心。三角形的外心就是三邊中垂線的交點(diǎn)。常見結(jié)論：三角形ABC的三條邊分別為a、b、c（c為斜邊），則它的內(nèi)切圓的半徑r=S/l，其中S為三角形ABC的面積。另外，對(duì)于三角形ABC的周長(zhǎng)l和面積S，其內(nèi)切圓的半徑為r，有公式a+b-c=2r。弦切角定理及其推論：弦切角是指頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切