2022年江蘇省無錫市江陰第二高級中學高二數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.展開式中項的系數(shù)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C由于，

故，則其展開式通項公式為：，令可得：r=4，則展開式中x2項的系數(shù)為：.本題選擇C選項.

2.已知雙曲線的焦點，點M在雙曲線上且⊥x軸，則到直線的距離為（）A.

B.

C.

D.參考答案：A3.在同一坐標系中，方程與的曲線大致是（

）參考答案：C4.直線與圓的位置關(guān)系是（

）．A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定參考答案：A直線，即，即直線過點，∵把點代入圓的方程有，∴點在圓的內(nèi)部，∴過點的直線一定和圓相交．故選．5.不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略6.復數(shù)的共軛復數(shù)是（）A.+1

B.-1

C.-1-

D.1-參考答案：B7.在一次數(shù)學測驗中，統(tǒng)計7名學生的成績分布莖葉圖如圖所示，若這7名學生的平均成績?yōu)?7分，則的值為（

）A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：C試題分析：7名學生的平均成績?yōu)?7分，因此，解得x=78.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，則△ABC的面積是（）A．

B．

C． D．3參考答案：C略9.已知，，～。若，則的值為

A.

B.

C.

D.參考答案：B10.在中，若，則是

（

）（A）銳角三角形

（B）直角三角形

（C）鈍角三角形

（D）無法確定參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.氣象意義上從春季進入夏季的標志為：“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃”．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：

①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；

②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24；③丙地：5個數(shù)據(jù)的總體均值為24，且極差小于或等于4；

④丁地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8．

則肯定進入夏季的地區(qū)有

(寫出所有正確編號)參考答案：①④12.圓心在原點上與直線相切的圓的方程為

。參考答案：13.如圖所示，AB是⊙O的直徑，⊙O，C為圓周上一點，若，，則B點到平面PAC的距離為

。參考答案：14.已知球O是正三棱錐（底面為正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）A-BCD的外接球，BC=3，，點E在線段BD上，且BD=3BE，過點E作圓O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是__.參考答案：【分析】設(shè)△BDC的中心為O1，球O的半徑為R，連接oO1D，OD，O1E，OE，可得R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，過點E作圓O的截面，當截面與OE垂直時，截面的面積最小，當截面過球心時，截面面積最大，即可求解．【詳解】如圖，設(shè)△BDC的中心為O1，球O的半徑為R，連接oO1D，OD，O1E，OE，則，AO1在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝3BE，∴DE＝2在△DEO1中，O1E∴過點E作圓O的截面，當截面與OE垂直時，截面的面積最小，此時截面圓的半徑為，最小面積為2π．當截面過球心時，截面面積最大，最大面積為4π．故答案為：[2π，4π]【點睛】本題考查了球與三棱錐的組合體，考查了空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想，解題關(guān)鍵是要確定何時取最值，屬于中檔題．15.方程（x﹣1）ex=1的解的個數(shù)為

．參考答案：1【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】由（x﹣1）ex=1得x﹣1=e﹣x，作函數(shù)y=x﹣1與y=e﹣x的圖象，從而利用數(shù)形結(jié)合求解即可．【解答】解：∵（x﹣1）ex=1，∴x﹣1=e﹣x，作函數(shù)y=x﹣1與y=e﹣x的圖象如下，，∵函數(shù)的圖象的交點有一個，∴方程（x﹣1）ex=1的解的個數(shù)為1，故答案為：1．16.若函數(shù)，，若都，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.參考答案：【分析】先分別求得函數(shù)與的值域，利用轉(zhuǎn)化為集合間關(guān)系求解即可【詳解】由題，故的值域為又單調(diào)遞增，故其值域為，所以，解得故答案為【點睛】本題考查二次函數(shù)值域，指數(shù)函數(shù)的值域，考查集合的包含關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，是中檔題17.已知函數(shù)，若存在實數(shù)，當時，，則的取值范圍是__________．參考答案：所以，，得則，令，得，又，則的取值范圍為。點睛：分段函數(shù)及根的個數(shù)問題采用圖象輔助解題是常用手段，通過畫出函數(shù)圖象，得到，，則所求式子即關(guān)于的函數(shù)求值域問題，根據(jù)復合函數(shù)求值域的方法求出值域即可。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.若方程表示圓，求實數(shù)a的取值范圍，并求出半徑最小的圓的方程。參考答案：19.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有2個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）當時在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）【分析】（1）分兩種情況討論導數(shù)的符號后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)（1）可知且，后者可得實數(shù)的取值范圍為，再根據(jù)，結(jié)合零點存在定理可知當時函數(shù)確有兩個不同的零點.【詳解】（1）解：因為，①當時，總有，所以在上單調(diào)遞減.②當時，令，解得.故時，，所以在上單調(diào)遞增.同理時，有，所以在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知當時，單調(diào)遞減，所以函數(shù)至多有一個零點，不符合已知條件，由（1）知當時，，所以當時，解得，從而.又時，有，因為，，令，則，所以在為增函數(shù)，故，所以，根據(jù)零點存在定理可知：在內(nèi)有一個零點，在內(nèi)有一個零點，故當函數(shù)有個零點時，的取值范圍為.【點睛】導數(shù)背景下的函數(shù)零點個數(shù)問題，應(yīng)該根據(jù)單調(diào)性和零點存在定理來說明．取點時要依據(jù)函數(shù)值容易計算、與極值點有明確的大小關(guān)系這兩個原則，討論所取點的函數(shù)值的正負時，可構(gòu)建新函數(shù)，通過導數(shù)討論函數(shù)的最值的正負來判斷.20.已知長方體A1B1C1D1﹣ABCD的高為，兩個底面均為邊長為1的正方形．（1）求證：BD∥平面A1B1C1D1；（2）求異面直線A1C與AD所成角的大?。畢⒖即鸢福骸究键c】直線與平面平行的判定；異面直線及其所成的角．【分析】（1）連結(jié)B1D1，推導郵四邊形B1BDD1為平行四邊形，從而BD∥B1D1，由此能證明BD∥平面A1B1C1D1．（2）由：AD∥A1D1，知∠CA1D1或其補角是A1C與AD所成角，由此能求出異面直線A1C與AD所成角．【解答】（本小題滿分12分）證明：（1）連結(jié)B1D1，∵A1B1C1D1﹣ABCD是長方體，∴B1B∥D1D且B1B=D1D，∴四邊形B1BDD1為平行四邊形，∴BD∥B1D1，∵B1D1?平面A1B1C1D1，BD?平面A1B1C1D1，∴BD∥平面A1B1C1D1．…解：（2）由長方體的性質(zhì)得：AD∥A1D1，∴∠CA1D1或其補角是A1C與AD所成角．連結(jié)D1C，∵A1D1⊥平面D1DCC1，∴A1D1⊥D1C，在Rt△A1D1C中，A1D1=1，，∴，∴，即異面直線A1C與AD所成角為600．…21.（本小題滿分12分）設(shè)a、b、c均為實數(shù)，求證：++≥++.參考答案：證明：

∵a、b、c均為實數(shù)，∴（＋）≥≥，當a=b時等號成立；……4分（＋）≥≥，當b=c時等號成立；……6分（＋）≥≥．……8分三個不等式相加即得++≥++，當且僅當a=b=c時等號成立.……12分略22.（13分）如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M為PB的中點．（Ⅰ）求證：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推導出PA⊥BC，BC⊥AB，從而AM⊥BC，再求出AM⊥PB，由此能證明AM⊥平面PBC．（Ⅱ）在平面ABC內(nèi)，作Az∥BC，則AP，AB，Az兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz．利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（本小題滿分13分）證明：（Ⅰ）因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．因為BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．…（2分）所以AM⊥BC．…（3分）因為PA=AB，M為PB的中點，所以AM⊥PB．…（4分）所以AM⊥平面PBC．…解：（Ⅱ）如圖，在平面ABC內(nèi)，作Az∥BC，則AP，AB，Az兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz．則A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，