專題1.1解三角形

Qg考向解讀

本考點(diǎn)一直是高考的熱點(diǎn)，尤其是已知邊角求其他邊角，判斷三角形的形狀，求三角形

的面積考查比較頻繁，既有直接考查兩個(gè)定理應(yīng)用的選擇題或填空題，也有考查兩個(gè)定理與

和差公式、倍角公式及三角形面積公式綜合應(yīng)用的解答題，解題時(shí)要掌握正、余弦定理及靈

活運(yùn)用，注意函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用.

(1)解三角形一般需要三個(gè)條件，如果條件不齊，則只能求角或者求范圍.

(2)解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”,二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角

化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)

系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想

求最值.

(3)在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題

中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.應(yīng)用正、

余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用.解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍.

(4)針對(duì)查利用正余弦定理解三角形，及利用基本不等式求三角形周長(zhǎng)的最值，利用

條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然

后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造

和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與運(yùn)算解能力，

屬于中檔題.

最新模擬題賞析

1.“BC的內(nèi)角Z,B,C的對(duì)邊分別為。，b,C,已知

6cosA=2sin—|cos2--sin2—|.

2(44j

(1)求Z；

⑵若b+c=5,且△力8C的面積為邁，求。的值.

2

1

2.已知△/3C的內(nèi)角，48,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且JJasinB+bcos/=26.

(1)求角4的大??；

(2)若b+c=6,且AZ8c的面積S=2JJ，求a.

3.在中,角45,c的對(duì)邊分別為a,b,c,N=8+3C.

(1)求sinC的取值范圍；

(2)若c=6b,求sinC的值.

4.在AZ8C中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，且bcos?A=c—.

2

(1)求角3：

(2)若AZBC的面積為20，8c邊上的高/”=1,求b,c.

71

5.如圖，在△43C中,AB=2,/6=一，點(diǎn)。在線段8c上.

3

7T

(1)若/BAD=—,求的長(zhǎng)；

4

⑵若BD=3DC,且S“BC=26,求任芻2的值.

sinZ.CAD

6.Zi/BC的內(nèi)角片,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)Jlbsin4=a(2+cosB).

(1)求角B；

(2)若6=3,且△ZBC的面積等于且，求的值.

2ac

8+C

7.在△ZBC中，角力,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,且JJasinB=Zbcos?----

2

(1)求角N的大??；

(2)若8c邊上的中線/。=2,求△力8c面積的最大值.

8.在"BC中，角4、8、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知ccosZ+(a+2b)cosC=0.

(1)求。的大?。?/p>

(2)AZBC的面積等于4百，。為8c邊的中點(diǎn)，當(dāng)中線長(zhǎng)最短時(shí)，求邊長(zhǎng).

9.在銳角三角形AZ6c中，角Z,B,C所對(duì)的邊分別為。,b,c,向量加=(cosC,cos/)

與〃=(2b-c,a)平行.

(1)求角Z的大??；

(2)求2的取值范圍.

C

10.△ZBC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C,已知a=ccos8+1b

2

(1)若c=l,求A4BC面積的最大值；

(2)若。為3c邊上一點(diǎn)，08=4,力8=5,且茄.麗=一12,求NC.

3

11.已知△NBC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,已知2acosC+c=26.

(1)求角A的大??；

(2)若AZBC的面積為Ji，若的周長(zhǎng)為6,求三角形的邊長(zhǎng)a.

12.已知中，AB=—BC=y/3r且4。2+228=5.

2

(1)求4BC的值；

57r34

(2)若尸是AZBC內(nèi)一點(diǎn)，且N4PB=——，NCPB=—,求tanN尸84.

64

13.在“BC中，a，b,。分別為角A,B,。的對(duì)邊，

sin2J+sin2C=sin25+sin/sinC.

(1)求角B的大小；

(2)若AZBC為銳角三角形，b=百，求2a—c的取值范圍.

2萬

14.在AZBC中，它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C,且3=b=網(wǎng).

2

(1)若cos力cosC=-,求△ZBC的面積；

3

(2)試問1+1=1能否成立？若能成立，求此時(shí)AZBC的周長(zhǎng)；若不能成立，請(qǐng)說明理

ac

由.

15.在△Z8C中，cosB(y/3a-bsinC)=bsinBcosC.

(1)求8；

(2)若c=2a,△ZBC的面積為述，求△ZBC的周長(zhǎng).

3

16.的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,已知向量加=(c-a,sin5),

〃=(6-a,sin/+sinC),滿足加〃〃?

(1)求C；

(2)若&c+36=3a，求sin4.

17.△力8C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為Q,b,c.已知(百一COS4)C=QCOSC.

(i)求￡；

h

(2)若cosZ=￡，且△力8c的面積為2；叵，求a.

2b4

cos74cosCI

18.在△ZBC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為〃，b,c,已知---+------=一

ac2

且6=2.

(1)證明：。+。24；

(2)若△ZBC的周長(zhǎng)為2+3加，求其面積S.

19.已知a/,c是的內(nèi)角48,C的對(duì)邊，且

5cosBcosC+2=5sin5sinC+cos2A.

(1)求角A的大??；

(2)若△/8C的面積S=—G,c=JJ,求sinBsinC的值

2

5

20.如圖，在四邊形Z8C￡>中，CD=3拒,BC=y[j，cosZCBD=--?

14

(1)求NBDC；

77

(2)若N4=—,求△48。周長(zhǎng)的最大值.

3

專題1.2數(shù)列

Qg考向解讀

等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前〃項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變

形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題.

等比數(shù)列基本量的計(jì)算是解等比數(shù)列題型時(shí)的基礎(chǔ)方法，在高考中常有所體現(xiàn)，多以選

擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在解答題的第（1）問中，屬基礎(chǔ)題.

（1）數(shù)列求和的常用方法：

①對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；

②對(duì)于｛a也｝結(jié)構(gòu)，其中｛%｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；

③對(duì)于｛an+4｝結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；

④對(duì)于，」一1結(jié)構(gòu)，其中｛4｝是等差數(shù)列，公差為“，則」一=41——-,

a,仆“

利用裂項(xiàng)相消法求和.

（2）數(shù)列求和的常用方法：（設(shè)數(shù)列｛6,｝是等差數(shù)列，｛〃｝是等比數(shù)列）

①公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；

②錯(cuò)位相減法：數(shù)列缶/“｝的前n項(xiàng)和應(yīng)用錯(cuò)位相減法；

,1、

③裂項(xiàng)相消法；數(shù)列｛-----｝（左為常數(shù)，*0）的前〃項(xiàng)和用裂項(xiàng)相消法;

—

④分組（并項(xiàng)）求和法：數(shù)列｛pq,+4〃｝用分組求和法，如果數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)正負(fù)相

間等特征時(shí)可能用并項(xiàng)求和法；

⑤倒序相加法：滿足%=N（A為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和.

（3）裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突

破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：

?,/1----；②j——；—7==；

n\n+k）k\nn+k）y/n+kk'）

]_J_<_1_______]_y

（2/7-l）（2/?+l）~2（2n-l~2/7+1J；④

7

2“（2"+|-1）-（2"-1）1

（2"-1）（2"+1-1）=（2（1-1）（2）,+'-1）—T—；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過

程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.

(4)數(shù)列求和的方法技巧

①倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和.

②錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和.

③分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和.

最新模擬題賞析

1.已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S,,,4=6,S?=；4出+1.

(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出S“.

(2)求數(shù)列的前幾項(xiàng)和看.

a..

2.已知｛4｝,｛〃,｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，q=4=1,出=4>0,且qHa2，〃eN*.

(1)若。2也，的成等差數(shù)列，求｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)”>2時(shí)，證明：an<bn.

3.設(shè)S,,為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知q=2,對(duì)任意〃eN*，都有2S,,=(〃+1)%.

(1)求數(shù)列｛q,｝的通項(xiàng)公式;

4

(2)若數(shù)列"的前〃項(xiàng)和為北.

%（4+2）

①求

②若不等式；41對(duì)任意的〃eN*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

4.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足a”=3a“_i+2（〃22）,且％=2,bn=log3（a?+1）.

（1）證明：數(shù)列｛a,+1｝為等比數(shù)列；

（2）設(shè)％=,求數(shù)歹ij｛qj的前〃項(xiàng)和5?.

5.已知S”為數(shù)列｛4”｝的前〃項(xiàng)和，＜21=1,Sal.

（1）求｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛兒｝滿足2b“+i+S,+i=2小+2a〃，證明數(shù)歹U｛a〃+b“｝為等差數(shù)列，并求其公差.

6.已知公差d〉0的等差數(shù)列｛%｝,S“是｛%｝的前〃項(xiàng)和，出=8,$2+1是q和S4+6

的等比中項(xiàng).

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列也｝滿足〃,=―1—,且也｝的前〃項(xiàng)和為7,,求證

aa

n-n+l15

7.已知等差數(shù)列｛%｝的前三項(xiàng)依次為a,8,4a+1,前〃項(xiàng)的和為S,，&=366.

（1）求。及左的值；

（2）設(shè)數(shù)列也｝滿足〃,=―—,且也｝的前〃項(xiàng)和為《，求北.

%,%+1

8.已知等差數(shù)列｛%｝和等比數(shù)列也｝滿足q=4,4=2,a2=2b2-\,a3=b3+2.

（1）求｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列｛%｝和｛"｝中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A,B,將4U8的所有元素按從小到大

9

依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛q,｝，求數(shù)歹(I｛?！埃那?0項(xiàng)和560.

9.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛斯｝滿足所1,a^=^+2(an+l+an).

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式;

1

(2)記b=~r=/---，求數(shù)列｛6,J的前"項(xiàng)和S?.

Ja”+，4+i

10.已知數(shù)列｛a“｝的前”項(xiàng)和為S”，a—\,—H—---三^4—-=n(?...2),〃eN*.

y12n-1n

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

111

(2)若q,a,S?2成等比數(shù)列，左eN*，求三+不+....+三一的值.

kI3)o,2

11.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為s“，Ss=25，且%—1，%+1，%+3成等比數(shù)歹I」.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若〃=—!—,求數(shù)列出,｝的前〃項(xiàng)和7；.

an，an+\

12.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S",已知￡=35,且%是q與《3的等比中項(xiàng).

(1)求｛?！保耐?xiàng)公式；

1113

(2)若《<4.求證：—+—+其中〃EN*.

3“4

13.已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,，且%/=2,+〃+1,%=2.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式%；

(2)若b“=aj2",數(shù)列也｝前〃項(xiàng)和為7；,,求使7；>2021的最小的正整數(shù)〃的值.

14.已知S,為數(shù)列｛6,｝的前〃項(xiàng)和，數(shù)列｛S,,｝是等差數(shù)列，且s=9,59=17.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛4?2"-S,,｝的前〃項(xiàng)和T?.

15.S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知q=l,nan+l=25,,.

（1）求｛%｝通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)—，數(shù)列｛“｝的前〃項(xiàng)和北，若7；+㈠嚴(yán)，>0,求整數(shù)九值.

乙anan+\

16.已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,且an+i=2Sn+2,數(shù)列｛4｝滿足

4=2,（〃+2）"其中〃eN*.

（1）分別求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）在。，與％+1之間插入〃個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為c〃的等差數(shù)列，求數(shù)列

｛“￡,｝的前〃項(xiàng)和北.

17

17.已知公比小于1的等比數(shù)列｛4｝中，其前“項(xiàng)和為5“4=一,S3=—.

48

（1）求口；

（2）求證：—S<1.

2，

18.設(shè)｛4｝是各項(xiàng)都為正的單調(diào)遞增數(shù)列，已知4=4,且％滿足關(guān)系式：

%+%=4+2”-4,〃eN*.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

11

（2）若仇=，求數(shù)歹｝的前n項(xiàng)和Sn.

19.已知首項(xiàng)為4的數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S“，且?=S，［2=+2"M.

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若bn=an+l,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和Tn.

20.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足q=1,a,l+i-a?=2-3"-'.

（1）求數(shù)列｛勺｝的通項(xiàng)公式；

（2）令”=（2〃+1”“，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)利S“.

專題1.3回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)

Qg考向解讀

（I）頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數(shù)、方差，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望仍然

是考查的熱點(diǎn)，同時(shí)應(yīng)注意和概率、平均數(shù)、分布列，期望，二項(xiàng)分布，正態(tài)分布等知識(shí)的

結(jié)合，同時(shí)應(yīng)注意獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

（2）求回歸直線方程的一般步驟

①作出散點(diǎn)圖，依據(jù)問題所給的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，觀察點(diǎn)的分布是否呈

條狀分布，即是否在一條直線附近，從而判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系.

②當(dāng)兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，求回歸系數(shù)扇b，寫出回歸直線方程.

③根據(jù)方程進(jìn)行估計(jì).

（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟

①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2x2列聯(lián)表；

②計(jì)算隨機(jī)變量K1的觀測(cè)值k,查下表確定臨界值ko：

W)0.250.150.1000.0500.0250.0100.0050.001

1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

③如果左2勺，就推斷“X與丫有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過?（長(zhǎng)22匈）；

否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過P（K2n勺）的前提下不能推斷“X與y有關(guān)系”.

注意：①通常認(rèn)為左《2.706時(shí)，樣本數(shù)據(jù)就沒有充分的證據(jù)顯示“x與y有關(guān)系”.

②獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能

完全肯定一個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時(shí)一定要注意這點(diǎn)，不可對(duì)

某個(gè)問題下確定性結(jié)論，否則就可能對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出錯(cuò)誤的解釋.

③獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對(duì)其是否有關(guān)系的判斷.

最新模擬題賞析

1.隨著互聯(lián)網(wǎng)的飛速發(fā)展，我國(guó)智能手機(jī)用戶不斷增加，手機(jī)在人們?nèi)粘Ｉ钪幸舱紦?jù)著

越來越重要的地位.某機(jī)構(gòu)做了一項(xiàng)調(diào)查，對(duì)某市使用智能手機(jī)人群的年齡、日使用時(shí)長(zhǎng)情

況做了統(tǒng)計(jì)，將18?40歲的人群稱為“青年人”（引用青年聯(lián)合會(huì)對(duì)青年人的界定），其余人

群稱為“非青年人”.根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)“青年人”使用智能手機(jī)占比為60%,“非青年人”使用智

13

能手機(jī)占比為40%；日均使用時(shí)長(zhǎng)情況如下表:

時(shí)長(zhǎng)2小時(shí)以內(nèi)2?3小時(shí)3小時(shí)以上

頻率0.40.30.3

將日均使用時(shí)長(zhǎng)在2小時(shí)以上稱為“頻繁使用人群“，使用時(shí)長(zhǎng)在2小時(shí)以內(nèi)稱為“非頻繁使

3

用人群已知”頻繁使用人群''中有一是“青年人

4

現(xiàn)對(duì)該市“日均使用智能手機(jī)時(shí)長(zhǎng)與年齡的關(guān)系''進(jìn)行調(diào)查，采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)

容量為200的樣本，請(qǐng)你根據(jù)上面提供的數(shù)據(jù).

（1）補(bǔ)全下列2x2列聯(lián)表；

青年人非青年人合計(jì)

頻繁使用人群

非頻繁使用人群

合計(jì)

（2）根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷有多大把握認(rèn)為“日均使用智能手機(jī)時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)”?

附：K'————，其中〃=a+b+c+d.

（以+b）（c+d）（a+c）（h+d）

以參考數(shù)據(jù)：獨(dú)立性檢驗(yàn)界值表

尸（K"。）0.150.100.0500.025().010

K。2.0722.7063.8415.0246.635

2.某線上學(xué)習(xí)平臺(tái)為保證老學(xué)員在此平臺(tái)持續(xù)報(bào)名學(xué)習(xí)，以便吸引更多學(xué)員報(bào)名，從用戶

系統(tǒng)中隨機(jī)選出200名學(xué)員，對(duì)該學(xué)習(xí)平臺(tái)的教學(xué)成效評(píng)價(jià)和課后跟蹤輔導(dǎo)評(píng)價(jià)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),

并用以估計(jì)所有學(xué)員對(duì)該學(xué)習(xí)平臺(tái)的滿意度.其中對(duì)教學(xué)成效滿意率為0.9,課后跟蹤輔導(dǎo)

的滿意率為0.8,對(duì)教學(xué)成效和課后跟蹤輔導(dǎo)都不滿意的有10人.

（1）完成下面2x2列聯(lián)表，并分析是否有99.9%把握認(rèn)為教學(xué)成效滿意度與跟蹤輔導(dǎo)滿意

度有關(guān).

對(duì)教學(xué)成效滿意對(duì)教學(xué)成效不滿意合計(jì)

對(duì)課后跟蹤輔導(dǎo)滿意

對(duì)課后跟蹤輔導(dǎo)不滿意

合計(jì)

（2）若用頻率代替概率，假設(shè)在學(xué)習(xí)服務(wù)協(xié)議終止時(shí)對(duì)教學(xué)成效和課后跟蹤輔導(dǎo)都滿意學(xué)

員的續(xù)簽率為90%,只對(duì)其中一項(xiàng)不滿意的學(xué)員續(xù)簽率為60%,對(duì)兩項(xiàng)都不滿意的續(xù)簽率

為10%.從該學(xué)習(xí)平臺(tái)中任選10名學(xué)員，估計(jì)在學(xué)習(xí)服務(wù)終止時(shí)續(xù)簽學(xué)員人數(shù).

n(ad-be#

附：2x2列聯(lián)表參考公式：k2=n=a+b+c+d.臨界值:

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(KL.k。)0.1000.0500.0250.0100.001

扁2.7063.8415.0246.63510.828

3.從集市上買回來的蔬菜仍存有殘留農(nóng)藥，食用時(shí)需要清洗數(shù)次，統(tǒng)計(jì)表中的x表示清洗

的次數(shù)，N表示清洗x次后1千克該蔬菜殘留的農(nóng)藥量（單位：微克）.

（1）在如圖的坐標(biāo)系中，描出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，/=宸+&與夕=/^-'+方哪

一個(gè)適宜作為清洗x次后1千克該蔬菜殘留的農(nóng)藥量的回歸方程類型：（給出判斷即可不必

說明理由）

15

(2)根據(jù)判斷及下面表格中的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程:

X12345

y4.52.21.41.30.6

之(玉―可25

同2￡(玉-可5-刃

Xy(0￡(田一⑹(乂一刃

ii1=]

320.12100.09-8.70.9

[5

表中＜y7=eF,5=—工電

5,=1

S'L,(x—y.—V)

附：①線性回歸方程為=良+1中系數(shù)計(jì)算公式分別為6=，八二2

二,=|(3-可

a=y-bx；

4.垃圾是人類日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物，由于排出量大，成分復(fù)雜多樣，且具有污

染性，所以需要無害化、減量化處理.某市為調(diào)查產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方

法抽取20個(gè)縣城進(jìn)行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)(x,,y)(i=l,2/、20),其中為和乂分別表示

20

第i個(gè)縣城的人口(單位：萬人)和該縣年垃圾產(chǎn)生總量(單位：噸)，并計(jì)算得工七=80,

i=1

2020一220_220

=4000,￡(x,.-x)=80,=8000,￡(X,-X)(^,.-J)=700.

/=1/=1i=li=l

(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中N與X之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合；

(2)求歹關(guān)于x的線性回歸方程，用所求回歸方程預(yù)測(cè)該市10萬人口的縣城年垃圾產(chǎn)生總

量約為多少噸？

/_

Z仔-磯乂-，

參考公式：相關(guān)系數(shù):=/,對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)

砂-通一式

（x,/）（i=l,2,3」、〃），其回歸直線5=般+%的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

b=~0-，g=y-￡x.

2(x，T

?=1

5.針對(duì)偏遠(yuǎn)地區(qū)因交通不便、消息閉塞導(dǎo)致優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品藏在山中無人識(shí)的現(xiàn)象，各地區(qū)開始

嘗試將電商扶貧作為精準(zhǔn)扶貧的重要措施.為了解電商扶貧的效果，某部門隨機(jī)就100個(gè)貧

困地區(qū)進(jìn)行了調(diào)查，其當(dāng)年的電商扶貧年度總投入（單位：萬元）及當(dāng)年人均可支配年收入（單

位：元）的貧困地區(qū)數(shù)目的數(shù)據(jù)如下表：

人均可支配年收入（元）

(5000,10000](10000,15000](15000,20000]

電商扶貧年度總投入（萬元）

(0,500]532

(500,1000]3216

(1000,3000)23424

（1）估計(jì)該年度內(nèi)貧困地區(qū)人均可支配年收入過萬的概率，并求本年度這100個(gè)貧困地區(qū)

的人均可支配年收入的平均值的估計(jì)值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中間值代表）；

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為當(dāng)?shù)氐娜司芍淠?/p>

收入是否過萬與當(dāng)?shù)仉娚谭鲐毮甓瓤偼度胧欠癯^千萬有關(guān).

人均可支配年收入010000元人均可支配年收入＞10000元

電商扶貧年度總投入不超過1000萬

電商扶貧年度總投入超過1000萬

附：K2=------J""忖f------其中〃=a+6+c+d?

(a+6)(c+d)(Q+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.010.005

k3.8416.6357.879

17

6.2020年，全球爆發(fā)了新冠肺炎疫情，為了預(yù)防疫情蔓延，某校推遲2020年的春季線下

開學(xué)，并采取了“停課不停學(xué)”的線上授課措施.為了解學(xué)生對(duì)線上課程的滿意程度，隨機(jī)抽

取了該校的100名學(xué)生（男生與女生的人數(shù)之比為1:1）對(duì)線上課程進(jìn)行評(píng)價(jià)打分，若評(píng)分不

低于80分視為滿意.其得分情況的頻率分布直方圖如圖所示，若根據(jù)頻率分布直方圖得到

的評(píng)分不低于70分的頻率為0.85.

（1）求b的值，并估計(jì)100名學(xué)生對(duì)線上課程評(píng)分的平均值；（每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)

值為代表）

（2）結(jié)合頻率分布直方圖，請(qǐng)完成以下2x2列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線

上教學(xué)是否滿意與性別有關(guān)

性別

滿意不滿意合計(jì)

態(tài)度

男生

女生15

合計(jì)100

附：隨機(jī)變量片=,/叱㈣I―v

2

P（K>k0）0.250.150.100.050.0250.010.0050.001

1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

7.在關(guān)研究表明，正確佩戴安全頭盔，規(guī)范使用安全帶能夠?qū)⒔煌ㄊ鹿仕劳鲲L(fēng)險(xiǎn)大幅降低,

對(duì)保護(hù)群眾生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)在全國(guó)各地開

展.行動(dòng)期間，公安交管部門將加強(qiáng)執(zhí)法管理，依法查糾摩托車和電動(dòng)自行車騎乘人員不佩

戴安全頭盔，汽車駕乘人員不使用安全帶的行為，助推養(yǎng)成安全習(xí)慣.該行動(dòng)開展一段時(shí)間

后，某市針對(duì)電動(dòng)自行車騎乘人員是否佩戴安全頭盔問題進(jìn)行調(diào)查，在隨機(jī)調(diào)查的1000名

騎行人員中，記錄其年齡和是否佩戴頭盔情況，得到如下的統(tǒng)計(jì)圖表:

（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表:

是否佩戴頭盔

是否

年齡

[20,40)

[40,70]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%把握認(rèn)為遵守佩戴安全頭盔與年齡有關(guān)？

n(ad-be?

(a+b)(c++c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19

8.在一次模擬考試中，某校共有100名學(xué)生參加考試，其中語文考試成績(jī)低于130的占95%,

如果成績(jī)不低于130的為特別優(yōu)秀，數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖.

頻率

（1）求數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的人數(shù)及數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分；

（2）如果語文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有3人.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2x2列聯(lián)表，并分

析是否有99%的把握認(rèn)為語文特別優(yōu)秀的同學(xué)，

數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀.

語文特別優(yōu)秀語文不特別優(yōu)秀合計(jì)

數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀

數(shù)學(xué)不特別優(yōu)秀

合計(jì)

參考數(shù)據(jù)：①K?=------〃(曲-歸)--------；②

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

pg..k。)0.500.400.0100.0050.001

0.4550.7086.6357.87910.828

9.隨著互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)、傳統(tǒng)行業(yè)和實(shí)體經(jīng)濟(jì)的融合不斷加深，互聯(lián)網(wǎng)對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的推動(dòng)

效果日益顯著，某大型超市計(jì)劃在不同的線上銷售平臺(tái)開設(shè)網(wǎng)店，為確定開設(shè)網(wǎng)店的數(shù)量，

該超市在對(duì)網(wǎng)絡(luò)上相關(guān)店鋪?zhàn)隽顺浞值恼{(diào)查后，得到下列信息，如圖所示（其中x表示開設(shè)

55

網(wǎng)店數(shù)量，N表示這X個(gè)分店的年銷售額總和），現(xiàn)已知=8850,￡匕=2000,

/=1/=1

求解下列問題；

|年銷售籟y彷元）

:分店鼠量'

（1）經(jīng)判斷，可利用線性回歸模型擬合歹與X的關(guān)系，求解歹關(guān)于X的回歸方程；

（2）按照經(jīng)驗(yàn)，超市每年在網(wǎng)上銷售獲得的總利潤(rùn)狡（單位：萬元）滿足卬=y-5x2-140,

請(qǐng)根據(jù)（1）中的線性回歸方程，估算該超市在網(wǎng)上開設(shè)多少分店時(shí)，才能使得總利潤(rùn)最大.

5___

八__Z外毛-〃町

參考公式；線性回歸方程5=院+許，其中展=y一標(biāo)石=丹----------

V*2-2

/jxi-nx

i=\

21

10.我國(guó)為全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃某企

業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金.現(xiàn)該企業(yè)為了了解

年研發(fā)資金投入額M單位：億元）對(duì)年盈利額M單位：億元）的影響，研究了“十二五”和“十三

五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入額X,和年盈利額乂的數(shù)據(jù)通過對(duì)比分析，建立了

兩個(gè)函數(shù)模型：①y=a+^^,②y=，其中a,/均為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).令

匕=ln%（i=l,2,…,10）,經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：

io.io。

￡(x,-可Z(z-y)-

XyuV

i=\/'=1

262156526805.36

10.1010r￡1(0x..-x)(v,.-v)

-萬)5-刃

i=\i=\/=!/1=1

112501302.612

（1）請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好？

（2）①根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（系數(shù)精確到0.01）

②若希望2021年盈利額F為200億元,請(qǐng)預(yù)測(cè)2021年的研發(fā)資金投入額x為多少億元？（結(jié)

果精確到0.01）

￡（苞--引（％-刃

附：①相關(guān)系數(shù)廠=/“，回歸直線夕=3+Ax中：

\廠?。?￡（匕一刃2

V/'=1j=l

豆（七一可（其一力

5=上」點(diǎn)------------，a^y-bx；②參考數(shù)據(jù)：In2ko.693,ln5?1.609.

￡（x,一亍丫

/=1

II.某機(jī)構(gòu)為了解某大學(xué)中男生的體重單位：kg)與身高x(單位：cm)是否存在較好的線性

關(guān)系，該機(jī)構(gòu)搜集了7位該校男生的數(shù)據(jù)，得到如下表格：

序號(hào)1234567

身高(cm)161175169178173168180

體重(kg)52625470665773

根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到y(tǒng)關(guān)于x的線性同歸方程為j>=i」5x+&

(1)求a；

\(yi-%)2

(2)己知火2=1—q!---------且當(dāng)代...09時(shí)，回歸方程的擬合效果非常好；當(dāng)

Z(x-7)2

1=1

0.8<火2<0.9時(shí)，回歸方程的擬合效果良好.試問該線性回歸方程的擬合效果是非常好還

6

是良好？說明你的理由.參考數(shù)據(jù)：工5一%)’=49.12

23

12.機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫道時(shí)，應(yīng)當(dāng)減速慢行：遇行人正在通過人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車讓行，俗

稱“禮讓行人下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員不“禮讓行人”行為

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

月份12345

違章駕駛員人數(shù)1201051009580

（1）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)歹與月份x之間的回歸直線方程y^bx+a；

（2）預(yù)測(cè)該路口9月份的不“禮讓行人”違章駕駛員人數(shù)：

（3）交警從這5個(gè)月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機(jī)抽查70人，調(diào)查駕駛員不“禮讓行人”

行為與駕齡的關(guān)系，得到下表：

不禮讓行人禮讓行人

駕齡不超過1年2416

駕齡1年以上1614

能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為“禮讓行人行為與駕齡有關(guān)?

Y^-nxyJ2(x,.-r)(x.-y)

參考公式：右=弓---------=J-----------------,a=y-bx.

支x；_加￡(若_可2

/=1/=1

n(ad—be)?

(其中〃=〃+/?+c+d)

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（片叫0.150.100.050.0250.010

k2.0722.7063.8415.0246.635

13.寧夏西海固地區(qū)，在1972年被聯(lián)合國(guó)糧食開發(fā)署確定為最不適宜人類生存的地區(qū)之

一.為改善這一地區(qū)人民生活的貧困狀態(tài)，上世紀(jì)90年代，黨中央和自治區(qū)政府決定開始

吊莊移民，將西海固地區(qū)的人口成批地遷移到更加適合生活的地區(qū).為了幫助移民人口盡快

脫貧，黨中央作出推進(jìn)東西部對(duì)口協(xié)作的戰(zhàn)略部署，其中確定福建對(duì)口幫扶寧夏，在福建人

民的幫助下，原西海固人民實(shí)現(xiàn)了快速脫貧，下表是對(duì)2016年以來近5年某移民村莊10（）

位移民的年人均收入的統(tǒng)計(jì)：

年份20162017201820192020

年份代碼X12345

人均年收入y（千元）1.32.85.78.913.8

現(xiàn)要建立N關(guān)于X的回歸方程，有兩個(gè)不同回歸模型可以選擇，模型一$"）=&+&；模型

二"2）=82+2,即使畫出y關(guān)于x的散點(diǎn)圖，也無法確定哪個(gè)模型擬合效果更好，現(xiàn)用

最小二乘法原理，已經(jīng)求得模型一的方程為9=3.1x-2.8.

（1）請(qǐng)你用最小二乘法原理，結(jié)合下面的參考數(shù)據(jù)及參考公式求出模型二的方程（計(jì)算結(jié)

果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）；

（2）用計(jì)算殘差平方和的方法比較哪個(gè)模型擬合效果更好，已經(jīng)計(jì)算出模型一的殘差平方

5

和為?匕一獷=37

/=!

5—

￡立一5萬

附：參考數(shù)據(jù)：福---------*0.52,其中z=l,2,3,4,5.

“5尸

1=1

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（片,匕），（W2,v2）....其回歸直線￡=』+/”的斜率

__

￡%匕-nuv

和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為6=得------,a=v-^u.

—nu

/=1

25

14.某電器企業(yè)統(tǒng)計(jì)了近io年的年利潤(rùn)額y（千萬元）與投入的年廣告費(fèi)用》（十萬元）

的相關(guān)數(shù)據(jù)，散點(diǎn)圖如圖，對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理：令%=lnx,,v,=lnZ.,得到相關(guān)數(shù)據(jù)

如表所示：

1010io10

EC

/=1/=1/=1