山東省煙臺(tái)市龍口韓莊中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，a，b，c分別為∠A、∠B、∠C、的對(duì)邊，若向量和平行，且，當(dāng)△ABC的面積為時(shí)，則b=（）A． B．2 C．4 D．2+參考答案：B【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】利用向量共線的充要條件得a，b，c的關(guān)系，利用三角形的面積公式得到a，b，c的第二個(gè)關(guān)系，利用三角形的余弦定理得到第三個(gè)關(guān)系，解方程組求出b．【解答】解：由向量和共線知a+c=2b①，由②，由c＞b＞a知角B為銳角，③，聯(lián)立①②③得b=2．故選項(xiàng)為B【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量共線的充要條件，三角形的面積公式及三角形中的余弦定理．2.已知集合，，則A∩B=（

）A．{3} B．{1,2}

C．{2,3} D．{1,2,3}參考答案：D由題意，集合，，所以，故選D.3.若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B4.設(shè)z=－3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：C，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為,故選C.

5.

如圖，在正方體中，M、N分別為棱和中點(diǎn)，則異面直線CM與所成角的正弦值為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：答案：B6.如圖是函數(shù)圖象的一部分，對(duì)不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有，則（）A．f（x）在上是增函數(shù) B．f（x）在上是減函數(shù)C．f（x）在上是增函數(shù) D．f（x）在上是減函數(shù)參考答案：A【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】利用圖象得出對(duì)稱軸為：x=整體求解x1+x2=﹣?，，代入即可得出f（x）=2sin（2x）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得出不等式+kπ≤x≤+kπ．k∈z．即可判斷答案．【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象得出；A=2，對(duì)稱軸為：x=2sin（x1+x2+?）=2，x1+x2+?=，x1+x2=﹣?，∵，∴2sin（2（﹣?）+?）=．即sin（π﹣?）=，∵|?|，∴∴f（x）=2sin（2x）∵+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈z，∴+kπ≤x≤+kπ．k∈z．故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考察了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，關(guān)鍵是利用圖象得出對(duì)稱軸，最值即可，加強(qiáng)分析能力的運(yùn)用．7.過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，它們到直線x＝－2的距離之和等于5，則這樣的直線

()A．有且僅有一條

B．有且僅有兩條C．有無窮多條

D．不存在參考答案：8.已知等比數(shù)列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，則a5+a6=（）A．3 B．15 C．48 D．63參考答案：C【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵a1+a2=3，a3+a4=12，∴（a1+a2）q2=a3+a4，即q2=4，則a5+a6=（a3+a4）q2=12×4=48，故選：C．9.拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，弦中點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為的最大值為A． B． C． D．參考答案：B10.某幾何體由上、下兩部分組成，其三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形，則該幾何體上部分與下部分的體積之比為(

)A. B. C. D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)是冪函數(shù)，且滿足，則的值等于

▲

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)B8【答案解析】

設(shè)f（x）=xa，又f（4）=3f（2），∴4a=3×2a，

解得：a=log23，∴f（）=()log23=．故答案為：．【思路點(diǎn)撥】先設(shè)f（x）=xa代入題設(shè)，求出a的值，求出函數(shù)關(guān)系式．把代入函數(shù)關(guān)系式即可．12.若2tanα=3tan，則tan（α﹣）=．參考答案：．【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值及二倍角的正切函數(shù)公式可求tan的值，利用已知及兩角差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)所求，即可計(jì)算得解．【解答】解：∵tan=1=，整理可得：tan2+2tan﹣1=0，解得：tan=，或﹣1﹣，（舍去），∵2tanα=3tan，可得：tanα=tan=（），∴tan（α﹣）===．故答案為：．13.化簡(jiǎn)

.參考答案：14.①函數(shù)y=sin在[0，]上是減函數(shù)；

②點(diǎn)A（1，1）、B（2，7）在直線3x－y=0的兩側(cè)；

③數(shù)列{an}為遞減的等差數(shù)列，a1+a5=0，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最大值； ④定義運(yùn)算，則函數(shù)f（x）=

的圖象在點(diǎn)（1，）處的切線方程是6x－3y－5=0．

其中正確命題的序號(hào)是

（把所有正確命題的序號(hào)都寫上）．參考答案：略15.已知點(diǎn)，橢圓與直線交于點(diǎn)、，則的周長(zhǎng)為__________參考答案：816.已知，若則

。.參考答案：1略17.設(shè)，函數(shù)有最大值，則不等式的解集為

參考答案：（2，3）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分分）已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知?jiǎng)又本€與橢圓相交于、兩點(diǎn)．①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；②若點(diǎn)，求證：為定值．

參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)闈M足，，…………2分。解得，則橢圓方程為

……………4分（Ⅱ）（1）將代入中得……………………6分……………7分因?yàn)橹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得…………9分（2）由（1）知，所以

……………11分………12分19.（本小題滿分12分）某市四所中學(xué)報(bào)名參加某高校今年自主招生的學(xué)生人數(shù)如下表所示：中學(xué)人數(shù)

為了了解參加考試的學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報(bào)名參加考試的四所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取50名參加問卷調(diào)查.（1）問四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生？（2）從參加問卷調(diào)查的名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生來自同一所中學(xué)的概率；（3）在參加問卷調(diào)查的名學(xué)生中，從來自兩所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，用表示抽得中學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和期望.]參考答案：（1）由題意知，四所中學(xué)報(bào)名參加該高校今年自主招生的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100名，

抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值為.

∴應(yīng)從四所中學(xué)抽取的學(xué)生人數(shù)分別為.

……………4分(3)由（1）知，在參加問卷調(diào)查的名學(xué)生中，來自兩所中學(xué)的學(xué)生人數(shù)分別為.依題意得，的可能取值為，

……………8分，，.

……………11分∴的分布列為：1

……………12分20.

已知，．（1）求的值；（2）試猜想的表達(dá)式（用一個(gè)組合數(shù)表示），并證明你的猜想．參考答案：（1）由條件，

①，在①中令，得．

………………1分在①中令，得，得．

………………2分在①中令，得，得．

………………3分（2）猜想=（或=）．

………………5分欲證猜想成立，只要證等式成立．方法一：當(dāng)時(shí)，等式顯然成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故．故只需證明．即證．而，故即證

②．由等式可得，左邊的系數(shù)為．而右邊，所以的系數(shù)為．由恒成立可得②成立.綜上，成立.

………………10分方法二：構(gòu)造一個(gè)組合模型，一個(gè)袋中裝有個(gè)小球，其中n個(gè)是編號(hào)為1，2，…，n的白球，其余n－1個(gè)是編號(hào)為1，2，…，n－1的黑球，現(xiàn)從袋中任意摸出n個(gè)小球，一方面，由分步計(jì)數(shù)原理其中含有個(gè)黑球（個(gè)白球）的n個(gè)小球的組合的個(gè)數(shù)為，，由分類計(jì)數(shù)原理有從袋中任意摸出n個(gè)小球的組合的總數(shù)為．另一方面，從袋中個(gè)小球中任意摸出n個(gè)小球的組合的個(gè)數(shù)為．故，即②成立.

余下同方法一.

………………10分方法三：由二項(xiàng)式定理，得

③．兩邊求導(dǎo)，得

④．③×④，得

⑤．左邊的系數(shù)為．右邊的系數(shù)為．由⑤恒成立，可得．故成立.

………………10分21.如右圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)圖，它與軸的交點(diǎn)是（1,0）和（3,0）（1）求函數(shù)的極小值點(diǎn)和單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）求實(shí)數(shù)的值參考答案：（1）由圖象可知：

當(dāng)x<1時(shí)，，在為增函數(shù)；

當(dāng)1<x<3時(shí)，，在為減函數(shù)；當(dāng)x>3時(shí)，，在為增函數(shù)；……3分∴是函數(shù)的極小值點(diǎn)----6分

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是-----8分（2）

，由圖知且

即有-------14分22.已知函數(shù)．（1）若f（x）存在極值點(diǎn)為1，求a的值；（2）若f（x）存在兩個(gè)不同零點(diǎn)x1，x2，求證：（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，ln2≈0.6931）．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f'（1）=0，解方程可得a的值；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）遞增，不成立；當(dāng)a＞0時(shí)，求出單調(diào)區(qū)間和極小值，由題意可得f（a）＜0，即整理得，令，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，即可得證．【解答】解：（1）函數(shù)，可得，因?yàn)閒（x）存在極值點(diǎn)為1，所以f'（1）=0，即2﹣2a=0，a=1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意