廣東省茂名市信宜鎮(zhèn)隆第一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)且,則“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的

(）ks5uA．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A2.若曲線f(x，y)＝0上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線f(x，y)＝0的“自公切線”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sinx＋4cosx；④|x|＋1＝對(duì)應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有

(

)A．①②

B．②③

C．①④

D．③④參考答案：B3.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：C4.已知已知f（x）是奇函數(shù)，且f（2﹣x）=f（x），當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=log2（x﹣1），則f（）=（）A．log27﹣log23 B．log23﹣log27 C．log23﹣2 D．2﹣log23參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的圖象．【分析】由f（x）是奇函數(shù)，且f（2﹣x）=f（x），可知f（4+x）=f（x），于是f（）=f（4）=﹣f（2）=log23﹣2，從而可得答案．【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，且f（2﹣x）=f（x），∴f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（4+x）=f（x），即f（x）是以4為周期的函數(shù)；∴f（）=f（4）；又f（2﹣x）=f（x），∴f（﹣2）=f（4）=f（）；又當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=log2（x﹣1），f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣2）=﹣f（2）=log23﹣2，∴f（）=log23﹣2．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性，求得f（）=﹣f（2）是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查綜合分析與轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．5.若的內(nèi)角滿足，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.下列選項(xiàng)中，說法正確的是（）A．命題“?x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定為“?x∈R，x2﹣x＞0”B．若非零向量、滿足|+|=||+||，則與共線C．命題“在△ABC中，A＞30°，則sinA＞”的逆否命題為真命題D．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q＞1”是“{an}為遞增數(shù)列”的充分必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】由特稱命題的否定為全稱命題，即可判斷A；由向量共線的條件，即可判斷B；由A=150°，可得sinA=，再結(jié)合原命題與逆否命題等價(jià)，即可判斷C；由a1＜0，0＜q＜1，即可判斷D．【解答】解：對(duì)于A，由特稱命題的否定為全稱命題，可得命題“?x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定為“?x∈R，x2﹣x＞0”，故A錯(cuò)；對(duì)于B，若非零向量、滿足|+|=||+||，則，同向，則與共線，故B正確對(duì)于C，命題“在△ABC中，A＞30°，則sinA＞”為假命題，比如A=150°，則sinA=．再由原命題與其逆否命題等價(jià)，則其逆否命題為假命題，故C錯(cuò)；對(duì)于D，設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q＞1”推不出“{an}為遞增數(shù)列”，比如a1＜0，不為增函數(shù)；反之，可得0＜q＜1．故不為充分必要條件，故D錯(cuò)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷，主要是命題的否定、四種命題的真假、充分必要條件的判斷和向量共線的條件，考查判斷和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．7.是內(nèi)的一點(diǎn)，，則的面積與的面積之比為A．

B．

C．

D．參考答案：A8.在中，，，則A．

B．9

C．

D．16參考答案：B，或．選B．9.函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的值域是實(shí)數(shù)集R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．[-2,1]

B．[-1,2]

C．[-2，2]

D．(-2，3]參考答案：C欲使值域?yàn)镽，則只需使t＝ex－x＋a2－5能取遍所有正數(shù)即可，即t的最小值小于等于0即可．t′＝ex－1，t′＞0解得x＞0，t′＜0解得x＜0，所以函數(shù)t＝ex－x＋a2－5在(－∞，0)上為減函數(shù)，在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以當(dāng)x＝0時(shí)，t有最小值a2－4.由題意得a2－4≤0，解得a∈[－2，2]．10.數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=，并且an（an﹣1+an+1）=2an+1an﹣1（n≥2），則該數(shù)列的第2015項(xiàng)為(

) A． B． C． D．參考答案：C考點(diǎn)：數(shù)列遞推式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用遞推關(guān)系式推出{}為等差數(shù)列，然后求出結(jié)果即可．解答： 解：∵an（an﹣1+an+1）=2an+1an﹣1（n≥2），∴anan﹣1+anan+1=2an+1an﹣1（n≥2），兩邊同除以an﹣1anan+1得：=+，即﹣=﹣，即數(shù)列{}為等差數(shù)列，∵a1=1，a2=，∴數(shù)列{}的公差d=﹣=1，∴=n，∴an=，即a2015=，故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，判斷數(shù)列是等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若P是拋物線y2=8x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在以點(diǎn)C（2，0）為圓心，半徑長(zhǎng)等于1的圓上運(yùn)動(dòng)．則|PQ|+|PC|的最小值為

．參考答案：3【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義可知P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小值，根據(jù)圖象可知當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小，為圓心到焦點(diǎn)F的距離減去圓的半徑．【解答】解：由于點(diǎn)C為拋物線的焦點(diǎn)，則|PC|等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線x=﹣2的距離d．又圓心C到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，則|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥3．當(dāng)點(diǎn)P為原點(diǎn)，Q為（1，0）時(shí)取等號(hào)．故|PQ|+|PC|得最小值為3．故答案為：3．12.(5分）（2010?泉山區(qū)校級(jí)模擬）已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為8，Sn是其前n項(xiàng)的和，某同學(xué)經(jīng)計(jì)算得S1=8，S2=20，S3=36，S4=65，后來該同學(xué)發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)數(shù)算錯(cuò)了，則該數(shù)為．參考答案：S3考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題：計(jì)算題．分析：假設(shè)后三個(gè)數(shù)均未算錯(cuò)，根據(jù)題意可得a22≠a1a3，所以S2、S3中必有一個(gè)數(shù)算錯(cuò)了．再假設(shè)S2算錯(cuò)了，根據(jù)題意得到S3=36≠8（1+q+q2），矛盾．進(jìn)而得到答案解答：解：根據(jù)題意可得顯然S1是正確的．假設(shè)后三個(gè)數(shù)均未算錯(cuò)，則a1=8，a2=12，a3=16，a4=29，可知a22≠a1a3，所以S2、S3中必有一個(gè)數(shù)算錯(cuò)了．若S2算錯(cuò)了，則a4=29=a1q3，，顯然S3=36≠8（1+q+q2），矛盾．所以只可能是S3算錯(cuò)了，此時(shí)由a2=12得，a3=18，a4=27，S4=S2+18+27=65，滿足題設(shè)．答案為S3點(diǎn)評(píng)：本題考查利用反證的方法來解決從正面不好解決的問題和學(xué)生推理的能力．13.由直線，曲線及軸所圍圖形的面積為

。參考答案：2ln214.如圖，的外接圓的切線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，的平分線與相交于點(diǎn)，若，，則______．參考答案：4略15.若命題“存在實(shí)數(shù)x，使x2+ax+1<0”的否定是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：a<－2或a>2略16.

.

參考答案：17.(05年全國(guó)卷Ⅱ)圓心為(1,2)且與直線相切的圓的方程為_____________．

參考答案：答案：(x-1)2+(y-2)2=4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，有一塊邊長(zhǎng)為1（百米）的正方形區(qū)域ABCD．在點(diǎn)A處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角∠PAQ始終為45°（其中點(diǎn)P，Q分別在邊BC，CD上），設(shè)BP=t．（I）用t表示出PQ的長(zhǎng)度，并探求△CPQ的周長(zhǎng)l是否為定值；（Ⅱ）設(shè)探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S（平方百米），求S的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【專題】綜合題；函數(shù)思想；綜合法；不等式．【分析】（Ⅰ）由BP=t，得CP=1﹣t，0≤t≤1，設(shè)∠PAB=θ，則∠DAQ=45°﹣θ，分別求出CP，CQ，PQ即可得到求出周長(zhǎng)l=2，問題得以解決；（Ⅱ）根據(jù)S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ得到S=2﹣（+），根據(jù)基本不等式的性質(zhì)即可求出S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由BP=t，得CP=1﹣t，0≤t≤1，設(shè)∠PAB=θ，則∠DAQ=45°﹣θ，DQ=tan（45°﹣θ）=，CQ=1﹣=，∴PQ===，∴l(xiāng)=CP+CQ+PQ=1﹣t++=1﹣t+1+t=2，是定值（Ⅱ）S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ=1×1﹣×1×t﹣×1×，=1﹣t﹣?=1﹣t﹣（﹣1+），=1+﹣﹣，=2﹣（+），由于1+t＞0，則S=2﹣（+）≤2﹣2=2﹣，當(dāng)且僅當(dāng)=，即t=﹣1時(shí)等號(hào)成立，故探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S最多為2﹣平方百米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查和角公式的運(yùn)用，考查面積的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．19.如圖，直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，AB是⊙O的弦，的平分線AC

交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)CB，并延長(zhǎng)與直線PQ相交于Q點(diǎn)，

(1)求證:;

（2）若AQ=6，AC=5.求弦AB的長(zhǎng).參考答案：（1）∵PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，∴

∵

∴

∴AC=BC=5

由切割線定理得：

∴

------------5分

（2）由AC=BC=5，AQ=6及（1），知

QC=9

由

知∽

∴

∴

.

----------10分20.已知數(shù)列為遞增的等比數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在等差數(shù)列，使對(duì)一切都成立？若存在，求出的通項(xiàng)公式，若不存在，說明理由．參考答案：（1）由已知條件可得：

設(shè)數(shù)列的公比為，則

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為：；

（2）假設(shè)存在等差數(shù)列，使對(duì)一切都成立，

則

將以上兩式相減得：

∴解得

又且∴滿足∴

∴存在等差數(shù)列滿足題意且數(shù)列的通項(xiàng)公式為．略21.已知曲線上任意一點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-，0)和F2(，0)的距離之和為4．(Ⅰ)求曲線的方程．(Ⅱ)設(shè)過(0，-2)的直線與曲線交于C、D兩點(diǎn)，若以CD為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程．參考答案：解：(Ⅰ)根據(jù)橢圓的定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為橢圓，

其中，，則．所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為．(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿足題意．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由方程組得。設(shè)，，則且，，…………①

∵以CD為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴，∴．

∵，，∴．∴．…………②

將①代入②，得．即，解得，或，滿足．

所以，直線的方程是．

略22.已知，，α，β均為銳角．（1）求sin2α