彈簧振子振動周期的公式討論陳思平□□□□□□□□□□□□□□□ □□教□:□□全 四川?南充 637002摘要：本論文主要研究彈簧振子在振動過程中，如果改變彈簧振子的放置方式、不忽略彈簧質(zhì)量與摩擦力、 復(fù)雜的振子系統(tǒng)振動時以及在幾種特殊情況下振子的振動周期公式。關(guān)鍵詞：彈簧振子；周期公式ThediscussionofSpringVibrationcycleformulaChenSipingDepartmentofphysicsandelectronicinformation,ChinaWestNormalUniversityInstructor:LuoZhiquanSichuanDNanchong637002Abstract:Inthethesis,theyareresearchedmainlythatthespringoscillatorinthevibrationprocess,ifchangesinspringplacementofoscillator,notignorethespringmassandfriction,thecomplexoscillatorvibrationandinsomespecialcases,thevibrationcycleoscillatorformula.Keywords:springoscillator;cycleformula目錄摘要???????????????????????????????????1ABSTRACT????????????????????????????????11.引言?????????????????????????????????22.理想狀態(tài)下彈簧振子的相關(guān)結(jié)論???????????????????????????23.放置方式對振子振動周期的影響???????????????????????????34.摩擦力對振子振動周期的影響????????????????????????????45.彈簧質(zhì)量對振子振動周期的影響???????????????????????????7

6.復(fù)雜彈簧振子系統(tǒng)的振動周期????????????????????????????87.幾種特殊情況下彈簧振子系統(tǒng)的周期計算?????????????????????10結(jié)論????????????12參考文獻(xiàn)??????13謝????????????13引言振動現(xiàn)象在自然界中是廣泛存在的，簡諧運(yùn)動又是最簡單、 最基本的振動形式。在物理學(xué)研究中，人們在觀察和實驗的基礎(chǔ)上，為了便于對比較復(fù)雜問題的研究，就要充分運(yùn)用抽象思維能力， 重點(diǎn)考慮現(xiàn)象中起決定性作用的主要因素和過程，把研究對象形式化、純粹化，這就是科學(xué)研究中的理想化方法。建立理想模型就是理想化方法表現(xiàn)的一種形式。而理想模型是以客觀實體為原型所進(jìn)行的科學(xué)抽象的產(chǎn)物， 是對原型客體主要特征的反映； 由理想模型建立起來的相應(yīng)理論都要一定的適用范圍。因而在研究簡諧運(yùn)動時，簧振子如圖理想化即指：忽略不計；受到的摩擦力，圖1.1彈簧振子理想模型就借助了理想化物理模型彈簧振子系統(tǒng)來研究，（1.1）所示，其中的小球常稱為振子，一，系統(tǒng)中的彈簧為“輕”彈簧，二，系統(tǒng)中的振子都是在“光滑”面上運(yùn)動，并且不考慮空氣阻力。因而在研究簡諧運(yùn)動時，簧振子如圖理想化即指：忽略不計；受到的摩擦力，圖1.1彈簧振子理想模型就借助了理想化物理模型彈簧振子系統(tǒng)來研究，（1.1）所示，其中的小球常稱為振子，一，系統(tǒng)中的彈簧為“輕”彈簧，二，系統(tǒng)中的振子都是在“光滑”面上運(yùn)動，并且不考慮空氣阻力。這樣，可將其看作質(zhì)量為其質(zhì)量比振子的質(zhì)量小得多，忽略振子在運(yùn)動過程中在忽略這些外在因素后，彈m的質(zhì)點(diǎn)。我們就得到了理想化狀態(tài)下彈簧振子振動周期。即不忽略彈簧質(zhì)量、 外界阻力時，但是，到了理想化狀態(tài)下彈簧振子振動周期。即不忽略彈簧質(zhì)量、 外界阻力時，但是，彈簧振子的振動周期又會是怎樣的？如果改變?nèi)绻覀儗⑦@些外部因素考慮進(jìn)來，了彈簧振子的放置方式以及復(fù)雜的振子系統(tǒng)振動，振動周期又會怎樣？為了得到了彈簧振子的放置方式以及復(fù)雜的振子系統(tǒng)振動，振動周期又會怎樣？為了得到上述物理問題的結(jié)論，本論文就將對上述問題進(jìn)行研究。理想狀態(tài)下彈簧振子的相關(guān)結(jié)論如圖（ 1.1）所示，在水平面放置一理想化物理模型彈簧振子，在振子運(yùn)動過程中，由于受到線性回復(fù)力作用，振子做簡諧運(yùn)動。由牛頓第二定律 F=ma可知，其運(yùn)動方程為：即 為彈簧勁度系數(shù)令，則有為彈簧振子的振動頻率上式為一個二階線性常微分方程，根據(jù)微分方程理論，彈簧振子運(yùn)動

為彈簧振子的振幅，為彈簧振子的初相位，、為積分常數(shù)，可由初始條件確定。根據(jù)彈簧振子運(yùn)動方程的解的性質(zhì)，可知振子振動的位移是時間t的周期函數(shù)，其固有周期大小即為放置方式對振子振動周期的影響3.1如圖（3.1）所示，豎直放置的理想化物理模型彈簧振子在運(yùn)動過程中，振子除了要受到彈簧線性回復(fù)力的作用之外，還要受到一個恒力 --重力的作用。 為彈簧的勁度系數(shù)，設(shè)為彈簧振子的自然長度，為彈簧振子靜止時彈簧的伸長量，□: ?！酢酢酢酢?X軸的正方向， □□□□□□□□□□□□□□□□, □□牛頓定律，振子的運(yùn)動方程為即圖3.1豎直放置的彈簧振子則其振動周期公式同為可知豎直放置的彈簧振子與水平放置時的運(yùn)動方程相同，則其振動周期公式同為由此可見，豎直放置即在恒力作用下的彈簧振子的振動周期不變，變。3.2如圖（3.2）所示，將理想化物理模型彈簧振子放在一個傾角為的斜面上。振子與斜面有摩擦力，且在振動過程中，由于振子的體積較大，阻力。但在討論過程中，忽略這些外力的作用。設(shè)為彈簧振子的自然長度，靜止時彈簧的伸長量沿斜面向下為，如圖受力分析，在彈簧振子系統(tǒng)處于平衡位置時，有。X軸的正方向，當(dāng)振子運(yùn)動到位移處于坐標(biāo)位置處時，運(yùn)動表達(dá)式不還會受到空氣的為彈簧振子根據(jù)牛頓第二定律，振子的運(yùn)動方程為圖3.2傾斜放置的彈簧振子即同理，由，有則其振動周期公式同為可知豎直放置的彈簧振子與水平放置時的運(yùn)動方程相同，由此可見，沿傾角為的斜面放置的彈簧振子的振動周期不變，運(yùn)動表達(dá)式不變。則其振動周期公式同為摩擦力對振子振動周期的影響對于理想彈簧振子，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為 ,振子質(zhì)量為， 振子與水平面滑動□□□□□,□□□□□□□ X軸方向水平向右，彈簧振子的平衡位置為 X軸原點(diǎn)0。在彈簧振子的運(yùn)動過程中，振子受到摩擦力大小為 ,□□□□□□□子運(yùn)動的方向相反。若用符號來表示任意值 的正負(fù)號,則子運(yùn)動的方向相反。若用符號來表示任意值 的正負(fù)號,則這樣,當(dāng)時,；當(dāng) 時,。當(dāng)時,彈簧振子的運(yùn)動方程為令，則有令，則有（1）設(shè)時，，（此時摩擦力不應(yīng)超過最大靜摩擦力，因為）。為了使振子開始運(yùn)動，必須使拉振子回到平衡位置的彈簧的反作用力的大小超過最大靜摩擦力,即，這個不等式的成立表明,，振子已偏離平衡位置一段足夠遠(yuǎn)的距離。令，振子就□□向OX□□□□□□□ ,即,則（1）式變?yōu)椋?）（2）式滿足起始條件的積分是由此得到在，即時，仍為負(fù)值，在 瞬時，的值變?yōu)榱?,并改變正負(fù)號 ,的值為注意到，如果，則振動不會停止。在這種情況下，這樣,在瞬時,振子開始朝向 X軸的正方向運(yùn)動。這就是說，時,在某一時間間隔內(nèi),則（1）式變?yōu)椋?）注意到起始條件是時,，。同前面的討論一樣 ,可得出,在瞬時有如果,則振子的運(yùn)動也不會停止。同樣可以證明。這樣,就可以得出彈簧振子離開平衡位置的連續(xù)最大偏位移的大小是由此可知,振子的每一偏位移其絕對值比前一個偏位移減少了與此相對應(yīng) ,彈簧振子運(yùn)動中止的瞬時為在平衡位置同一側(cè)的兩個中止瞬時之間的時間間隔等于,其振因為,所以。 此式說明,當(dāng)考慮彈簧振子運(yùn)動中受到摩擦力作用時,其振動周期與無摩擦 （或忽略摩擦力 ）時彈簧振子的振動周期相同。上面的討論說明 ,由于摩擦力的存在,使得實際的彈簧振子的運(yùn)動并不嚴(yán)格上面的討論說明 ,由于摩擦力的存在,使得實際的彈簧振子的運(yùn)動并不嚴(yán)格地做簡諧振動； 但在其正向或負(fù)向的運(yùn)動過程中仍分別為簡諧振動,振子的振動地做簡諧振動； 但在其正向或負(fù)向的運(yùn)動過程中仍分別為簡諧振動,振子的振動周期也并不發(fā)生改變；在振動過程中 ,由于摩擦力的影響,彈簧振子偏離平衡位置的位移的大小,則每半周期按算術(shù)級數(shù)遞減周期也并不發(fā)生改變；在振動過程中 ,由于摩擦力的影響,彈簧振子偏離平衡位置的位移的大小,則每半周期按算術(shù)級數(shù)遞減彈簧質(zhì)量對振子振動周期的影響在討論關(guān)于彈簧振子問題時 ,我們對彈簧振子系統(tǒng)做了理想化的假設(shè) ,認(rèn)為彈簧振子為一理想化模型， 即認(rèn)為彈簧本身的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于振子質(zhì)量， 可忽略。 現(xiàn)在就討論不忽略彈簧振子質(zhì)量時系統(tǒng)的固有周期。圖5.振1子振動時彈簧質(zhì)量的表示如圖（ 5.1）所示 ,設(shè)彈簧的質(zhì)量為遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于懸掛的振子質(zhì)量。取懸掛時靜□□□□□□ 0,豎直向下為 X軸正方向，□□□□□□ ，在距O□□□□□□□

彈簧元段 ,設(shè)其質(zhì)量為。振子振動時 ,彈簧中各元段隨著振子作上下振動，但同一時刻，各元段的運(yùn)動速度不同,且與振子運(yùn)動速度也不同。 設(shè)彈簧是均勻的,則其元段的質(zhì)量為 :(1)為彈簧在該時刻的長度，因為遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于,實際可認(rèn)為彈簧沿它的長度成正比地伸長,故應(yīng)有即:(2)為處彈簧元段的運(yùn)動速度,為彈簧下端懸掛的振子在相同時刻的運(yùn)動速度，彈簧振動時具有的動能應(yīng)為該時刻各元段的動能之和,即(3)將(1)、(2)式及代入 (3)式得該時刻振子具有的動能為因此,振動系統(tǒng)在該時刻具有的總動能為為該系統(tǒng)的折合質(zhì)量，其固有振動周期為可見,考慮彈簧的質(zhì)量存在時其振動周期是變長的。復(fù)雜彈簧振子系統(tǒng)的振動周期6.1多彈簧振子系統(tǒng)的振動周期如圖(6.1)所示，彈簧振子系統(tǒng)可以是多樣化的。三條長度、勁度系數(shù)均相同的輕彈簧,共同系在質(zhì)量為的振子而處于平衡時,上面的兩條彈簧伸長了同樣的長度，下□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 0,堅直向下為 X軸正方向。振子的位置處于坐標(biāo)為處時 ,根據(jù)牛頓第二定律可得整理得令,得圖6.1多彈簧振子系統(tǒng)其方程的解為可知,其固有振動周期為,但是振子固有周期比單個彈簧的振動系統(tǒng)的周期(H,C0,Hcl等,但是振子固有周期比單個彈簧的振動系統(tǒng)的周期(H,C0,Hcl等),□□□□□□□□□□ ，這些分子和2 ,我們可想象這些原子是用很小的無質(zhì)量變小了。(2)彈簧多振子系統(tǒng)的振動周期圖6.2彈簧多振子系統(tǒng)對于自然界中的雙原子分子原子之間的耦合是電磁的。為研究方便,抽象為如圖 (6.2),抽象為如圖 (6.2)所示,用一期。設(shè)彈簧的自由長度為,用和表示彈簧的兩個端點(diǎn)的位置,則在任一時刻彈簧的長度為。彈簧的長度變化為:以,即彈簧被拉長作具體討論,在這種情況下,受力向左,受力向右，坐標(biāo)軸取向如圖（6.2）所示,根據(jù)牛頓第二定律,對和分別有如下方程:以乘上面方程然后相減得:令為系統(tǒng)的折合質(zhì)量 ,考慮到且為常數(shù) ,即得:其中為常數(shù),可見這關(guān)系式與一端固定的彈簧振子所得的關(guān)系式類似 ,此處是振子離開它們的平衡位量的相對位移 ,質(zhì)量是二體振動系統(tǒng)折合質(zhì)量。與上述同樣方法可求得此二體振動系統(tǒng)的固有振動周期為 :可是,其振動周期比用相同倔強(qiáng)系數(shù)的彈簧 ,使其一端固定、 一端用二振子中的任一振子作為彈簧振子的振動周期要小。 可以這么看 ,彈簧一端固定,就相當(dāng)于二體中的任一振子的質(zhì)量為無限大。如上式中,則即相當(dāng)于質(zhì)量為的彈簧振子的振動 。幾種特殊情況下彈簧振子系統(tǒng)的周期計算彈簧振子系統(tǒng)固有周期公式 中的“”是彈簧的勁度系數(shù) ,故在稍復(fù)雜一些的問題中 ,求解周期的問題往往歸結(jié)為如何分析回復(fù)力 ,從而確定“”。 下面通過三個例題說明在勻變速系統(tǒng)、 連接體及振子純滾動情況下彈簧振動系統(tǒng)周期的確定。（彈簧質(zhì)量不計）例1將一彈簧振子豎直懸掛在以加速度勻加速上升的電梯中 ,如圖所示,設(shè)彈簧回復(fù)系數(shù)為 ,振子質(zhì)童為 ,求振動系統(tǒng)的周期。解:取升降機(jī)為非慣性系 ,振子受豎直向上的彈力、豎直向下的重力和慣性力。設(shè)彈簧伸長時 ,振子處于平衡狀態(tài) ,則可得□□□□□□□□□□□□□ ,□□□□□ X軸正方向,□□□□□□□□ :則引起振動的回復(fù)力為可見振動系統(tǒng)的周期仍為例2在光滑水平面上,有兩個質(zhì)量分別為和的物體的輕彈簧 ,彈簧被壓縮后用細(xì)繩固定。燒斷細(xì)繩后例2在光滑水平面上,有兩個質(zhì)量分別為和的物體的輕彈簧 ,彈簧被壓縮后用細(xì)繩固定。燒斷細(xì)繩后,中間聯(lián)著一回復(fù)系數(shù)為,求系統(tǒng)的振動周期。解：由動量守恒定律分析,系統(tǒng)的動量為零,兩個物體在內(nèi)力作用下,必然運(yùn)動方向總是相反,即同時向外,又同時向內(nèi),彈簧回復(fù)原長時,二者分別到達(dá)自己的平衡位置,也就是說兩物體的振動是同頻率反位相的。為應(yīng)用周期公式,以系統(tǒng)的質(zhì)心為界把彈簧分成兩段。由于質(zhì)心位置不變,這兩段分別引起和的振動,如同質(zhì)心處固定一樣,只是“”不同了。設(shè)彈簧恢復(fù)原長時,質(zhì)心距、的距離分別為、,由質(zhì)心位置不變可知又因彈簧的回復(fù)系數(shù)與其長度成反比,故有所以物體的振動周期為同理可求得、,且可得。從極限情況考慮,當(dāng)時,有，這正是我們預(yù)期的結(jié)果。例3如圖所示,□□□□□ k的輕彈簧一端固定,另一端連接在質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體的軸上 ,圓柱體繞其軸在水平面上作純滾動。令圖柱體偏離平衡位置使系統(tǒng)作簡諧振動,求系統(tǒng)的振動周期。解：以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)量為圓柱體的平動動能圓柱體的轉(zhuǎn)動動能振動系統(tǒng)的彈性勢能