人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第12章全等三角形經(jīng)典例題整理

一、全等在特殊圖形中的應(yīng)用1.在等邊三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)D、E分別位于AB、AC上，滿足AD=CE，求角度∠DFB的度數(shù)。2.在等邊三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)D、E、F分別位于AB、BC、CA上，滿足AD=BE=CF，判斷三角形DEF的形狀。3.在等邊三角形ABC和ADE中，線段BE、CD相交于點(diǎn)H，線段BE、AC相交于點(diǎn)G。解決以下問題：(1)證明BE=CD的理由；(2)求線段BE和CD的夾角∠FHE的度數(shù)。Ex1.在等邊三角形ABC和ADE中，點(diǎn)B、A、D位于同一直線上，AC、BE相交于點(diǎn)G，AE、CD相交于點(diǎn)F。證明AG=AF的理由。Ex2.在正方形ABCD和BEFG中，AG、CE相交于點(diǎn)O，AG、BC相交于點(diǎn)M，BG、CE相交于點(diǎn)N。猜測AG與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由。4.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°，D是底邊BC的中點(diǎn)，DE⊥DF。用兩種不同的方法證明，以BE、CF、EF為邊長的三角形是直角三角形。二、證明全等常用方法（截長發(fā)或補(bǔ)短法）5.在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D。證明AB+BD=AC的理由。Ex1.在△ABC中，邊BC在直線m上，ACDE和ABFG均為正方形，DN⊥m于N，F(xiàn)M⊥m于M。用截長法和補(bǔ)短法分別證明BC=FM+DN，并說明△ABC?△AGE。三、全等在探究題中的運(yùn)用7.在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行線CF于點(diǎn)F。求BA。證明：根據(jù)題意，AE=EF，且AED=180°，連接AC和AD，我們需要證明BC+DE=CD。首先，根據(jù)△ABC和△ECF的共同點(diǎn)EC和共邊AC，可以得出它們是全等三角形。因此，BC=EF，而EF=AE，所以BC=AE。接著，根據(jù)五邊形ABCDE的條件，有∠BAC+∠DAE=∠CAD，而∠BAC和∠CAD是直角，所以∠DAE也是直角，即DE⊥AE。因此，根據(jù)直角三角形AEF和DEA，可以得出DE=AD×tan∠DAE，而AD=AC-CD，所以DE=(AC-CD)×tan∠DAE。又因?yàn)锳E=EF，所以AC=2AE，CD=AC-AD=2AE-3DE。將DE帶入可得CD=2AE-3(AC-CD)×tan∠DAE，整理得CD=2AE/(1+3tan∠DAE)。因此，BC+DE=AE+DE=AE+AD×tan∠DAE=AC×tan∠DAE=3CD-2AE×tan∠DAE=3CD-2AE/(1+3tan∠DAE)×tan∠DAE。注意到tan∠DAE=1/2，代入可得BC+DE=CD，證畢?；顒?dòng)一：如圖1，我們可以先求出△ABD和△ACD的面積，再用△ABD的面積減去四邊形DECF的面積，最后再用△ACD的面積減去四邊形DECF的面積，再將兩個(gè)結(jié)果相加即可得到陰影部分的面積。設(shè)AC=x，BC=y，則BD=√(x^2-y^2)，DE=CF=BD/√2=√[(x^2-y^2)/2]。根據(jù)△ABD和△ACD的面積公式，可得它們的面積分別為y(x-2)/2和x(y-1)/2。因此，陰影部分的面積為y(x-2)/2-2(x^2-y^2)/4+x(y-1)/2-2(x^2-y^2)/4=(x-y)^2/2。小明利用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將△DBF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DGE（如圖2所示）。通過觀察圖形，我們可以得出陰影部分的面積為XX。在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E。我們需要求出AE的長度。小明再次運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADG（如圖4所示）。由此，我們可以得出：①四邊形AECG是一個(gè)正方形；②AE的長度為AB-AD=XX。在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，將BC按逆時(shí)針方向繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連接AE。已知AB=2，DC=4，求△ABE的面積。給定△ABC，其中AB=AC=20厘米，BC=16厘米，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)?，F(xiàn)有兩個(gè)點(diǎn)P和Q，分別在線段BC和CA上運(yùn)動(dòng)。(1)如果點(diǎn)P在線段BC上以6厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上以相同的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過1秒后，我們無法確定△BPD與△CQP是否全等。(2)如果點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，那么當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為8厘米/秒時(shí)，可以使△BPD與△CQP全等。如果點(diǎn)Q以8厘米/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以