2.3變量間的相關關系2.3.1變量之間的相關關系2.3.2兩個變量的線性相關【教學目標】新課程標準:1.結(jié)合具體實例,了解一元線性回歸模型的含義,了解模型參數(shù)的統(tǒng)計含義2.了解最小二乘原理,掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法,會使用相關的統(tǒng)計軟件3.針對實際問題,會用一元線性回歸模型進行預測教學目標:1.理解成對變量間的相關關系,會求回歸直線方程,能用線性回歸直線方程進行預測(重點)2.利用最小二乘估計方法求一元回歸模型的參數(shù)(難點)3.重點培養(yǎng)數(shù)學建模的核心素養(yǎng)

【思維脈圖】【自主預習】1.兩個變量的線性相關(1)散點圖:將樣本中n個數(shù)據(jù)點(xi,yi)(i=1,2,…,n)描在平面直角坐標系中得到的圖形.(2)正相關與負相關:①正相關:散點圖中的點散布在從_______到_______的區(qū)域.②負相關:散點圖中的點散布在從_______到_______的區(qū)域.左下角右上角左上角右下角2.回歸直線的方程(1)回歸直線:如果散點圖中點的分布從整體上看大致在_________附近,就稱這兩個變量之間具有_________關系,這條直線叫做回歸直線.(2)回歸方程:_________對應的方程叫做回歸直線的方程,簡稱回歸方程.一條直線線性相關回歸直線(3)最小二乘法:求回歸直線方程時,使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的_____________最小的方法叫做最小二乘法.距離的平方和其中,是回歸方程的_____,是回歸方程在y軸上的_____.斜率截距【思維辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)兩個變量要么具有確定的函數(shù)關系,要么具有線性相關關系. (

)(2)回歸直線一定至少過散點圖中的一個點.(

)(3)由回歸直線方程求出的值都是準確值.(

)【提示】(1)×.兩個變量可能具有非線性相關關系,也可能沒有相關關系.(2)×.回歸直線可能不過散點圖中的任何一個點.(3)×.由回歸直線方程求出的值是預測值.【自主總結(jié)】1.兩個變量間的分類關系.(1)函數(shù)關系,如正方形的邊長與面積的關系.(2)相關關系,不具備函數(shù)關系所要求的確定性,它們的關系是帶有隨機性的,例如,某位同學的“物理成績”與“數(shù)學成績”之間的關系,即為相關關系.(3)不相關,即兩個變量間沒有任何關系.2.相關關系與函數(shù)關系的異同點.(1)相同點:兩者均是指兩個變量的關系.(2)不同點:①函數(shù)關系是一種確定性關系,而相關關系是一種非確定性關系;②函數(shù)關系是一種因果關系,而相關關系不一定是因果關系,也可能是伴隨關系.3.對回歸直線與回歸方程的理解.(1)回歸方程被樣本數(shù)據(jù)唯一確定,各樣本點大致分布在回歸直線附近.對同一個總體,不同的樣本數(shù)據(jù)對應不同的回歸直線,所以回歸直線也具有隨機性.(2)對于任意一組樣本數(shù)據(jù),利用最小二乘法公式都可以求得“回歸方程”,如果這組數(shù)據(jù)不具有線性相關關系,即不存在回歸直線,那么所得的“回歸方程”是沒有實際意義的.因此,對一組樣本數(shù)據(jù),應先作散點圖,在具有線性相關關系的前提下再求回歸方程.提醒:回歸直線一定能過樣本點的中心().【自主檢測】1.下列變量具有相關關系的是 (

)A.人的體重與視力B.圓心角的大小與所對的圓弧長C.收入水平與購買能力D.人的年齡與體重【解析】選C.B為確定性關系;A,D不具有相關關系.2.農(nóng)民工月工資y(元)依勞動生產(chǎn)率x(千元)變化的回歸直線方程為=50+80x,下列判斷正確的是(

)A.勞動生產(chǎn)率為1000元時,工資為130元B.勞動生產(chǎn)率平均提高1000元時,工資平均提高80元C.勞動生產(chǎn)率提高1000元時,工資水平提高130元D.當月工資為210元時,勞動生產(chǎn)率為2000元【解析】選B.由回歸直線方程=50+80x知,x每增加1,y增加80,但要注意x的單位是千元,y的單位是元.3.已知變量x,y之間具有線性相關關系,其散點圖如圖所示,則其回歸方程可能為 (

)【解析】選B.設回歸方程為=x+,由散點圖可知變量x,y之間負相關,回歸直線在y軸上的截距為正數(shù),所以<0,>0,因此方程可能為=-1.5x+2.類型一相關關系的判斷【典例】1.對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散點圖1,對變量u,v有觀測數(shù)據(jù)(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散點圖2.由這兩個散點圖可以判斷(

)A.變量x與y正相關,u與v正相關B.變量x與y正相關,u與v負相關C.變量x與y負相關,u與v正相關D.變量x與y負相關,u與v負相關2.下列關系:①煉鋼時鋼水的含碳量與冶煉時間的關系.②曲線上的點與該點的坐標之間的關系.③柑橘的產(chǎn)量與氣溫之間的關系.④森林的同一種樹木,其橫斷面直徑與高度之間的關系.其中具有相關關系的是______.

【思路導引】1.如果散點圖中的點分布在一個_____區(qū)域,則具有相關性;正負相關主要觀察散點圖是從_______________,還是從_______________.2.根據(jù)函數(shù)關系、相關關系的概念判斷.帶狀左下角到右上角左上角到右下角【解析】1.選C.由題圖1知,散點圖在從左上角到右下角的帶狀區(qū)域內(nèi),則變量x與y負相關;由題圖2知,散點圖在從左下角到右上角的帶狀區(qū)域內(nèi),則變量u與v正相關.2.①煉鋼的過程就是一個降低含碳量進行氧化還原的過程,除了與冶煉時間有關外,還要受冶煉溫度等其他因素的影響,故具有相關關系;②曲線上的點與該點的坐標之間的關系是一一對應的,即是一種確定性關系;③柑橘的產(chǎn)量除了受氣溫影響以外,還要受施肥量以及水分等因素的影響,故具有相關關系;④森林的同一種樹木,其橫斷面直徑隨高度的增加而增加,但是還受樹木的疏松及光照等因素的影響,故具有相關關系.答案:①③④【方法技巧】兩個變量x與y相關關系的判斷方法散點圖判斷:判斷兩個變量x和y間是否具有線性相關關系,常用的簡便方法就是繪制散點圖,如果圖上發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近,那么這兩個變量就是線性相關的,注意不要受個別點的位置的影響.提醒:畫散點圖時應注意合理選擇單位長度,避免圖形過大或偏小,或者使點的坐標在坐標系中畫不準,使圖形失真,導致得出錯誤結(jié)論.

【變式訓練】下面的4個散點圖中,兩個變量具有相關性的是 (

)A.①②

B.①③ C.②④

D.③④【解析】選C.由題圖可知①是一次函數(shù)關系,不是相關關系;②的所有點在一條直線附近波動,是線性相關的;③的散點不具有任何關系,是不相關的;④的散點在某曲線附近波動,是非線性相關的,即兩個變量具有相關性的是②④.類型二回歸直線方程的求法【典例】1.(2018·天津高二檢測)某鋼鐵研究所經(jīng)研究得到結(jié)論,廢品率x%和每噸生鐵成本y(元)之間的回歸直線方程為=256+2x,這表明 (

)A.廢品率每噸增加1%,生鐵成本增加258元B.廢品率每噸增加1%,生鐵成本增加2元C.廢品率每噸增加1%,生鐵成本每噸增加2元D.廢品率不變,生鐵成本為256元2.在一段時間內(nèi),某種商品的價格x(元)和需求量y(件)之間的一組數(shù)據(jù)如表所示:價格x/元1416182022需求量y/件5650434137則y關于x的線性回歸方程為______.(參考數(shù)據(jù):

=3992,

=1660) 世紀金榜導學號

【思路導引】1.根據(jù)回歸直線方程判斷.2.利用已知數(shù)據(jù),代入公式求系數(shù).【解析】1.選C.回歸直線方程表示廢品率x%與每噸生鐵成本y(元)之間的相關關系,故回歸直線方程為

=256+2x時,表明廢品率每增加1%,生鐵成本每噸平均增加2元.2.從作出的散點圖(圖略)可看出,這些點在一條直線附近,可用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù).由題表中數(shù)據(jù)可得=18,=45.4,所以=所以

=45.4+2.35×18=87.7,故y關于x的線性回歸方程為=-2.35x+87.7.答案:=-2.35x+87.7【方法技巧】求回歸直線方程的一般步驟(1)收集樣本數(shù)據(jù),設為(xi,yi)(i=1,2,…,n).(2)作出散點圖,確定x,y具有線性相關關系.(3)把數(shù)據(jù)制成表格.(4)計算,

,

,

xiyi,(5)代入公式計算,,公式為(6)寫出回歸直線方程.【變式訓練】某火鍋店為了了解氣溫對營業(yè)額的影響,隨機記錄了該店1月份其中5天的日營業(yè)額y(單位:萬元)與該地當日最低氣溫x(單位:℃)的數(shù)據(jù),如表:x258911y1.210.80.80.7求y關于x的回歸方程【解析】

=

×(2+5+8+9+11)=7,

=

×(1.2+1+0.8+0.8+0.7)=0.9.

=4+25+64+81+121=295,

xiyi=2.4+5+6.4+7.2+7.7=28.7,所以所以回歸方程為

=-0.056x+1.292.類型三回歸直線方程的應用【典例】已知某產(chǎn)品連續(xù)4個月的廣告費用為xi(i=1,2,3,4)千元,銷售額為yi(i=1,2,3,4)萬元,經(jīng)過對這些數(shù)據(jù)的處理,得到如下數(shù)據(jù)信息:①x1+x2+x3+x4=18,y1+y2+y3+y4=14;②廣告費用x和銷售額y之間具有較強的線性相關關系;③回歸直線方程=x+中的=0.8(用最小二乘法求得),那么,當廣告費用為6千元時,可預測銷售額約為 (

)世紀金榜導學號A.3.5萬元 B.4.7萬元 C.4.9萬元 D.6.5萬元素養(yǎng)立意本題主要考查利用回歸直線方程進行預測,突出考查數(shù)學建模的核心素養(yǎng).思路導引先利用回歸直線過___________,求出系數(shù)

,再代入已知的廣告費進行預測.樣本中心點【解析】選B.依題意得=4.5,=3.5,因為

所以=3.5-0.8×4.5=-0.1.當x=6時,=0.8×6-0.1=4.7.【方法技巧】回歸分析的三個步驟(1)判斷兩個變量是否線性相關:可利用經(jīng)驗,也可以畫散點圖.(2)求回歸直線方程,注意運算的準確性.(3)根據(jù)回歸直線進行預測:估計值不是實際值,兩者會有一定的誤差.【素養(yǎng)專練】1.(同類練)本例中,若=0.75,試預測一下廣告費用為6千元時,銷售額約為多少?【解析】

=3.5-0.75×4.5=0.125.當x=6時,=0.75×6+0.125=4.625.2.(變式練)某學生課外活動興趣小組對兩個相關變量收集到5組數(shù)據(jù)如表:x1020304050y62■758189由最小二乘法求得回歸方程為=0.67x+54.9,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)模糊不清,請推斷該點數(shù)據(jù)的值為

(

)A.67

B.68

C.69

D.70【解析】選B.由題意可得=(10+20+30+40+50)=30,設要求的數(shù)據(jù)為t,則有=(62+t+75+81+89),因為回歸直線=0.67x+54.9,過樣本點的中心(,),所以(t+307)=0.67×30+54.9,解得t=68.3.(拓展練)某地區(qū)某農(nóng)產(chǎn)品近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計如表:世紀金榜導學號年份201320142015201620172018年份代碼t123456年產(chǎn)量y/萬噸6.66.777.17.27.4(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立y關于t的線性回歸方程(2)若近幾年該農(nóng)產(chǎn)品每千克的價格v(單位:元)與年產(chǎn)量y滿足的函數(shù)關系式為v=4.5-0.3y,且每年該農(nóng)產(chǎn)品都能售完.①根據(jù)(1)中所建立的回歸方程預測該地區(qū)2019(t=7)年該農(nóng)產(chǎn)品的產(chǎn)量.②當t(1≤t≤7)為何值時,銷售額S最大?【解析】(1)由題意可知:所以