3.2.3直線與平面的夾角人教B版高中數(shù)學(xué)選修2-1Bqr6401@126.comBqr6401@126.com問(wèn)題1:異面直線所成角的定義是什么?問(wèn)題2:當(dāng)直線與平面相交時(shí),它們可能垂直,也可能不垂直。如果一條直線和一個(gè)平面相交但不垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線,斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足.那么過(guò)一點(diǎn)作一個(gè)平面的斜線有多少條?OABqr6401@126.com問(wèn)題3:過(guò)斜線上斜足外一點(diǎn)向平面引垂線,連結(jié)垂足和斜足的直線叫做這條斜線在這個(gè)平面上的射影,那么一條斜線在一個(gè)平面內(nèi)的射影有幾條?BOABqr6401@126.com問(wèn)題4:平面的一條斜線與這個(gè)平面總存在一個(gè)相對(duì)傾斜度,我們?cè)O(shè)想用一個(gè)平面角來(lái)反映這個(gè)傾斜度,并且這個(gè)角的大小由斜線與平面的相對(duì)位置關(guān)系所確定,那么角的頂點(diǎn)宜選在何處?OAB一、復(fù)習(xí)引入OABCDE二、新課探究AlBOM探究一已知OA是平面的斜線段，O為斜足，線段AB⊥于B，則直線OB是斜線OA在平面內(nèi)的正射影，設(shè)OM是內(nèi)通過(guò)O點(diǎn)的任意一條直線，OA與OB所成角為θ1(θ1是銳角）,OB與OM所成角為θ2，OA與OM所成角為θ。那么θ，θ1，θ2

之間有怎樣的關(guān)系？m二、新課探究AlBOM最小角定理：斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角。斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是唯一的二、新課探究概念：斜線與平面所成角定義平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角(斜線與平面的夾角)。范圍（0，90）線面角的實(shí)質(zhì)：空間角——平面角；

線面角——線線角二、新課探究概念：斜線與平面所成角定義直線和平面所成角的范圍是[0，90]。特別地,如果一條直線與一個(gè)平面垂直,規(guī)定這條直線與平面的夾角為90度;如果一條直線與一個(gè)平面平行或在平面內(nèi)時(shí),規(guī)定這條直線與平面的夾角為0度。這樣,任何一條直線和一個(gè)平面的相對(duì)傾斜度都可以用一個(gè)角來(lái)反映,那么直線與平面所成的角的取值范圍是什么?二、新課探究探究二.求直線與平面所成角的基本方法(1)幾何（定義）法：例題：正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）求A1B與平面ABCD所成的角（2）求A1B與平面A1B1CD所成的角思路：找出A1B在平面內(nèi)的射影ABCDA1B1C1D1M所以A1M是A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，解：連接BC1，交B1C于M，連接A1M。在正方體ABCD-A1B1C1D1中，各面均為正方形，設(shè)其棱長(zhǎng)為所以A1B與平面A1B1CD所成的角為30°∠BA1M為A1B與平面A1B1CD所成的角在Rt△BA1M中，二、新課探究探究二.求直線與平面所成角的基本方法變式：正方體ABCD-A1B1C1D1中，若Ｍ，Ｎ分別是Ｂ1Ｃ1,Ｃ1Ｄ1的中點(diǎn)，求A1B與平面BDＮＭ所成的角？ABCDA1B1C1D1MＮA1B在平面BDＮＭ內(nèi)的射影不好找，怎么辦？二、新課探究(2)直線的方向量與平面的法向量所成角的關(guān)系：設(shè)斜線的方向向量為，平面的法向量為，向量與的夾角二、新課探究(2)向量求法：變式：正方體ABCD-A1B1C1D1中，若Ｍ，Ｎ分別是Ｂ1Ｃ1,Ｃ1Ｄ1的中點(diǎn)，求A1B與平面BDＮＭ所成的角？思路：利用法向量與直線方向量所成角。ABCD1xyB1DA1C1MＮＺx解：建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則令則A1(1,0,1),B(1,1,0),M(1/2,1,1),N(0,1/2,1),D(0,0,0)設(shè)平面A1B1CD的法向量為設(shè)A1B與平面A1B1CD所成的角為θ。故A1B與平面A1B1CD所成的角為45°。思考B1DA1C1MＮD1ABC三、新知應(yīng)用例2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，求EB與底面ABCD所成的角正切值。PABCDE解：取DC中點(diǎn)H，連結(jié)EH，HB，易知EH//PD∴HB為斜線EB在平面ABCD上的射影，∴∠EBH為斜線EB與底面ABCD所稱(chēng)的角。∴EH⊥平面ABCD，設(shè)PD=DC=2，Rt△EHB中，EH=1，EB與底面ABCD所成的角正切值為PABCDEH幾何法解：D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1)底面ABCD的法向量為EB與底面ABCD所成的角正切值為PABCDEXYZ向量法三、新知應(yīng)用例2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，求EB與底面ABCD所成的角正切值。EACDPBEACDPBOFBqr6401@126.com四、當(dāng)堂小測(cè)1.已知平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線的夾角為60o，這條直線與斜線在平面內(nèi)的射影的夾角為45o，則斜線與平面所成角的大小為

。2.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.求BD與平面PAB所成的角．五、課堂小結(jié)直線與平面的夾角線在面內(nèi)、線面平行大小：0度線面垂直大?。?0度線面斜交范圍：（0，90）度方