河南省焦作市孟州第一高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=ex（sinx+cosx）在區(qū)間[0，]上的值域?yàn)椋ǎ〢．[，e] B．（，e） C．[1，e] D．（1，e）參考答案：A【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則．【分析】計(jì)算f′（x）=excosx，當(dāng)0≤x≤時(shí)，f′（x）≥0，f（x）是[0，]上的增函數(shù)．分別計(jì)算f（0），f（）．【解答】解：f′（x）=ex（sinx+cosx）+ex（cosx﹣sinx）=excosx，當(dāng)0≤x≤時(shí)，f′（x）≥0，∴f（x）是[0，]上的增函數(shù)．∴f（x）的最大值在x=處取得，f（）=e，f（x）的最小值在x=0處取得，f（0）=．∴函數(shù)值域?yàn)閇]故選A．2.雙曲線的焦距為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則等于（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C4.甲、乙兩殲擊機(jī)的飛行員向同一架敵機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別為0.4，0.5，則恰有一人擊中敵機(jī)的概率為（）A．0.9 B．0.2 C．0.7 D．0.5參考答案：D【考點(diǎn)】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】設(shè)A為“甲命中“，B為“乙命中“，則P（A）=0.4，P（B）=0.5，由此能求出兩人中恰有一人擊中敵機(jī)的概率．【解答】解：設(shè)A為“甲命中“，B為“乙命中“，則P（A）=0.4，P（B）=0.5，∴兩人中恰有一人擊中敵機(jī)的概率：P=P（A+B）=P（A）P（）+P（）P（B）=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5．故選：D．5.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為（）A．y=±2x B．y=±4x C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系；直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用是傾向于拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)相同，求出a，然后求解雙曲線的漸近線方程．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)（0，﹣），拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，可得：=，解得a=﹣1，該雙曲線的漸近線方程為：y=±2x．故選：A．6.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B略7.函數(shù)的最大值為（

） A． B． C． D．參考答案：A略8.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如右圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球的體積為A．

B．

C．

D．參考答案：A9.用紅、黃、藍(lán)等6種顏色給如圖所示的五連圓涂色，，要求相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，且紅色至少要涂?jī)蓚€(gè)圓，則不同的涂色方案種數(shù)為（

）A．610

B．630

C．950

D．1280參考答案：B10.已知A（1，2，﹣1）關(guān)于面xoy的對(duì)稱點(diǎn)為B，而B(niǎo)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為C，則=（）A．（0，4，2） B．（0，﹣4，﹣2） C．（0，4，0） D．（2，0，﹣2）參考答案： B【考點(diǎn)】空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】寫(xiě)出點(diǎn)A關(guān)于面xoy的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)，橫標(biāo)和縱標(biāo)都不變化，只有豎標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，再寫(xiě)出B關(guān)于橫軸的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出向量的坐標(biāo)．【解答】解：∵A（1，2，﹣1）關(guān)于面xoy的對(duì)稱點(diǎn)為B，∴根據(jù)關(guān)于面xoy的對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)得到B（1，2，1）而B(niǎo)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為C，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，﹣2，﹣1）∴=（0，﹣4，﹣2）故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的變化特點(diǎn)，關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)平面對(duì)稱的坐標(biāo)特點(diǎn)，我們一定要掌握，這是一個(gè)基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓+=1的左右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，橢圓上有一點(diǎn)P，∠F1PF2=30°，則三角形F1PF2的面積為．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】在△F1PF2中，∠F1PF2=30°，|F1P|+|PF2|=2a=8，|F1F2|=2，利用余弦定理可求得|F1P|?|PF2|的值，從而可求得△PF1F2的面積．【解答】解：∵橢圓+=1，∴a=4，b=3，c=．又∵P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2=30°，F(xiàn)1、F2為左右焦點(diǎn)，∴|F1P|+|PF2|=2a=8，|F1F2|=2，∴|F1F2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|?|PF2|cos30°=64﹣（2+）|F1P|?|PF2|=28，∴|F1P|?|PF2|=．∴=|F1P|?|PF2|sin30°=××=18﹣9．故答案為：．12.若數(shù)列x，a1，a2，y成等差數(shù)列，x，b1，b2，y成等比數(shù)列，則的取值范圍是．參考答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；基本不等式；等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由題意可知===++2．由此可知的取值范圍．【解答】解：在等差數(shù)列中，a1+a2=x+y；在等比數(shù)列中，xy=b1?b2．∴===++2．當(dāng)x?y＞0時(shí)，+≥2，故≥4；當(dāng)x?y＜0時(shí)，+≤﹣2，故≤0．答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]13.已知是復(fù)數(shù)，且，則的最大值為_(kāi)_______.參考答案：614.一次單元測(cè)試由50個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中恰有一個(gè)是正確的答案，每題選擇正確得3分，不選或選錯(cuò)得0分，滿分150分.學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.8,則該生在這次測(cè)試中成績(jī)的期望值是_________,標(biāo)準(zhǔn)差是_____________.

參考答案：

120

15.設(shè)P是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是其左、右焦點(diǎn)，O為中心，則

___________.參考答案：2516.若的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為-160，則常數(shù)a=______，展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為_(kāi)___.參考答案：1,1

略17.若數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+m=am?an（m，n∈N+），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

．參考答案：2n【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用賦特殊值法：可令an=2n，滿足條件am+n=am?an，且a1=2，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【解答】解：由已知am+n=am?an，可知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式符合指數(shù)函數(shù)模型，即，又a1=2，∴可得an=2n，即數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an=2n．故答案為：2n．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列,滿足,().(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：(1)因?yàn)?所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.所以.因?yàn)?所以.(2)由(1)知,,所以.所以,

①則,

②①－②得,.所以.略19.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an是Sn與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列{bn}中，b1=1，點(diǎn)P（bn，bn+1）在直線上。（1）求a1和a2的值；

（2）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)an和bn；（3）設(shè)cn=an·bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：解：（1）∵an是Sn與2的等差中項(xiàng)

∴Sn=2an-2

∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2

a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4

（2）∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，又Sn—Sn-1=an，

∴an=2an-2an-1，

又an≠0，

∴，即數(shù)列{an}是等比數(shù)列

∵a1=2，∴an=2n

∵點(diǎn)P(bn，bn+1)在直線x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0，

∴bn+1-bn=2，即數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，又b1=1，∴bn=2n-1，

（3）∵cn=(2n-1)2n

∴Tn=a1b1+a2b2+····anbn=1×2+3×22+5×23+····+(2n-1)2n，

∴2Tn=1×22+3×23+····+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1

則

-Tn=1×2+(2×22+2×23+···+2×2n)-(2n-1)2n+1，

即：-Tn=1×2+(23+24+····+2n+1)-(2n-1)2n+1，

∴Tn=(2n-3)2n+1+6

20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD（Ⅰ）證明：BD⊥PC（Ⅱ）若AD=6，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P﹣ABCD的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出PA⊥BD，AC⊥BD，PA，從而B(niǎo)D⊥平面PAC，由此能證明BD⊥PC．（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接PO，則∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角，從而∠DPO=30°，推導(dǎo)出BD⊥PO，AC⊥BD，求出梯形ABCD的高，由此能求出四棱錐P﹣ABCD的體積．【解答】（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線，∴BD⊥平面PAC，而PC?平面PAC，∴BD⊥PC．…解：（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，∴∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角，∴∠DPO=30°，由BD⊥平面PAC，PO?平面PAC，知BD⊥PO．在Rt△POD中，由∠DPO=30°，得PD=2OD．∵四邊形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，∴△AOD，△BOC均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為AD+BC=×（6+2）=4，于是SABCD=×（6+2）×4=16．在等腰三角形AOD中，OD=AD=3，∴PD=2OD=6，PA===6，∴VP﹣ABCD=SABCD×PA=×16×6=32．…21.(本小題滿分12分)在平面內(nèi)，不等式確定的平面區(qū)域?yàn)椋坏仁浇M確定的平面區(qū)域?yàn)?（Ⅰ）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”.在區(qū)域任取3個(gè)整點(diǎn)，求這些整點(diǎn)中恰有2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域的概率；（Ⅱ）在區(qū)域每次任取個(gè)點(diǎn)，連續(xù)取次，得到個(gè)點(diǎn)，記這個(gè)點(diǎn)在區(qū)域的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：（Ⅰ）依題可知平面區(qū)域的整點(diǎn)為：共有13個(gè)，上述整點(diǎn)在平面區(qū)域的為：共有3個(gè)，∴.

……………（4分）（Ⅱ）依題可得，平面區(qū)域的面積為，平面區(qū)域與平面區(qū)域相交部分的面積為.（設(shè)扇形區(qū)域中心角為，則得，也可用向量的夾角公式求）.在區(qū)域任取1個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域的概率為，隨機(jī)變量的可能取值為：.，

，，

，∴的分布列為0123∴的數(shù)學(xué)期望：.………………（12分）（或者：～，故）.22.已知橢圓┍的方程為+=1（a＞b＞0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣a，b）．（1）若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M、A（0，﹣b），B（a，0）滿足=（+），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線l1：y=k1x+p交橢圓┍于C、D兩點(diǎn)，交直線l2：y=k2x于點(diǎn)E．若k1?k2=﹣，證明：E為CD的中點(diǎn)；（3）對(duì)于橢圓┍上的點(diǎn)Q（acosθ，bsinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓┍上存在不同的兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2滿足+=，寫(xiě)出求作點(diǎn)P1、P2的步驟，并求出使P1、P2存在的θ的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【專題】計(jì)算題；證明題；壓軸題．【分析】（1）設(shè)M（x，y）根據(jù)=（+）分別用三點(diǎn)的坐標(biāo)表示出三個(gè)向量，進(jìn)而解得x和y，則M點(diǎn)坐標(biāo)可得．（2）直線l1與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式求得，a2k12+b2﹣p2＞0，設(shè)C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），利用韋達(dá)定理可求得x1+x2的表達(dá)式，進(jìn)而求得x0，代入直線方程求得y0，兩直線方程聯(lián)立根據(jù)直線l2的斜率求得x=x0，y=y0進(jìn)而判斷出E為CD的中點(diǎn)；（3）先求出PQ的中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線OE的斜率，再由+=，知E為CD的中點(diǎn)，根據(jù)（2）可得CD的斜率，直線CD與橢圓Γ的方程聯(lián)立，方程組的解即為點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)．欲使P1、P2存在，必須點(diǎn)E在橢圓內(nèi)，進(jìn)而求得q的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)M（x，y）∵=（+），∴2（x+a，y﹣b）=（a，﹣2b）+（2a，﹣b）∴，解得x=y=﹣M點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）（2）由方程組，消y得方程（a2k′1+b2）x2+2a2k1px+a2（p2﹣b2）=0，因?yàn)橹本€l1：y=k1x+p交橢圓于C、D兩點(diǎn)，所以△＞0，即a2k12+b2﹣p2＞0，設(shè)C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則x0==﹣，y0=k1x0+p=，由方程組，消y得方程（k2﹣k1）x=p，又因?yàn)閗2=﹣，所以x==