獨立性檢驗(1)問題情境情境：某醫(yī)療機構(gòu)為了解呼吸道疾病與吸煙是否有關(guān)，進

行了一次抽樣調(diào)查，共調(diào)查了515個成年人，其中

吸煙者220人，不吸煙者295人，調(diào)查結(jié)果是：吸煙220人中，有37人患呼吸道疾病(以下簡稱患病)，183人未患呼吸道疾病(以下簡稱未患病)，不吸煙的295人中，有21人患病，274人未患病?！窀鶕?jù)這些數(shù)據(jù)能否斷定：患呼吸道疾病與吸煙有

關(guān)？數(shù)學(xué)探究患病未患病合計吸

煙37183220不吸煙21274295合

計58457515問題1：根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否斷定：患呼吸道疾病與吸煙有關(guān)？為了研究這個問題，我們將上述數(shù)據(jù)用下表表示。數(shù)學(xué)建構(gòu)1、分類變量的定義變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量(其“值”非數(shù)量，如性別變量)。2、列聯(lián)表(1)定義：(2)2×2列聯(lián)表列聯(lián)表是一個描述兩個分類變量分布的頻數(shù)表。一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(也稱為2×2列聯(lián)表)如下：y1y2合計x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d數(shù)學(xué)探究問題2：上述結(jié)論給我們的印象是患病與吸煙有關(guān)，事實果

真如此嗎？究竟能有多大的把握認為“患病與吸煙

有關(guān)”呢？若將事件“某成年人吸煙”記為A，事件“某成年人患病”記為B，則事件“某成年人不吸煙”記為，事件“某成年人不患病”記為，這樣，回答“患病與吸煙是否有關(guān)？”其實就是需要回答“事件A與事件B是否獨立？”為了回答這個問題，我們先做出判斷“患病與吸煙沒有關(guān)系”，即提出如下假設(shè)H0：患病與吸煙沒有關(guān)系。由兩個事件相互獨立的充要條件，又可將上述假設(shè)記為H0：P(AB)＝P(A)P(B)數(shù)學(xué)探究問題2：上述結(jié)論給我們的印象是患病與吸煙有關(guān)，事實果

真如此嗎？究竟能有多大的把握認為“患病與吸煙

有關(guān)”呢？H0：P(AB)＝P(A)P(B)這里的P(A)，P(B)和P(AB)的值都不知道，我們可以用頻率來代替概率，估計出P(A)，P(B)和P(AB)的值。為了便于研究一般情況，我們將原表中的數(shù)據(jù)用字母代替，得到字母表示的2×2列聯(lián)表，患病未患病合計吸煙aba＋b不吸煙cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d數(shù)學(xué)探究問題2：上述結(jié)論給我們的印象是患病與吸煙有關(guān)，事實果

真如此嗎？究竟能有多大的把握認為“患病與吸煙

有關(guān)”呢？患病未患病合計吸煙aba＋b不吸煙cdc＋d合

計a＋cb＋da＋b＋c＋d若設(shè)n＝a＋b＋c＋d，則有故數(shù)學(xué)探究問題2：上述結(jié)論給我們的印象是患病與吸煙有關(guān)，事實果

真如此嗎？究竟能有多大的把握認為“患病與吸煙

有關(guān)”呢？因此在H0成立的條件下，吸煙且患病的人數(shù)為同理可得：吸煙但未患病的人數(shù)為不吸煙但患病的人數(shù)為不吸煙且未患病的人數(shù)為數(shù)學(xué)探究問題2：上述結(jié)論給我們的印象是患病與吸煙有關(guān)，事實果

真如此嗎？究竟能有多大的把握認為“患病與吸煙

有關(guān)”呢？如果實際觀測值與在事件A，B獨立的假設(shè)下的估計值相差不“大”，那么我們就可以認為這些差異是由隨機誤差造成的，假設(shè)H0不能被所給數(shù)據(jù)否定，否則應(yīng)認為假設(shè)H0不能接受。數(shù)學(xué)探究問題3：怎樣描述實際觀測值與估計值的差異呢？為此，考慮實際觀測值與在事件A，B獨立的假設(shè)下的估計值的差(如下表)：患病未患病吸煙不吸煙為了避免正負相消及消除樣本容量對差異大小的影響，可以將它們分別平方并處以對應(yīng)的估計頻數(shù)(即估計值)，最后相加，得到數(shù)學(xué)探究問題3：怎樣描述實際觀測值與估計值的差異呢？化簡得(其中n＝a＋b＋c＋d)統(tǒng)計學(xué)中通常采用統(tǒng)計量χ2本(讀作“卡方”)來刻畫這個差異。數(shù)學(xué)探究問題3：怎樣描述實際觀測值與估計值的差異呢？(其中n＝a＋b＋c＋d)統(tǒng)計學(xué)中已有明確的結(jié)論：在H0成立的情況下，隨機事件“χ2≥

”發(fā)生的概率約為，即P(χ2≥

6.635)≈也就是說，在H0成立的情況下，對統(tǒng)計量χ2進行多次觀測，觀測值超過的概率約為。數(shù)學(xué)探究問題4：問題情境中能有多大的把握認為“患病與吸煙有關(guān)”

呢？通過計算，本例中χ2

＝＞”，由P(χ2≥

6.635)≈可知，出現(xiàn)這樣的觀測值χ2的概率不超過，因此，我們有99%的把握認為H0不成立，即有99%的把握認為“患呼吸道疾病與吸煙有關(guān)系”。患病未患病合計吸

煙37183220不吸煙21274295合

計58457515數(shù)學(xué)建構(gòu)4、獨立性檢驗的定義利用統(tǒng)計量χ2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗。3、統(tǒng)計量χ2的計算公式(其中n＝a＋b＋c＋d)數(shù)學(xué)建構(gòu)一般地，對于兩個分類變量Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B，Ⅱ也有兩類取值，即即類1和類2，我們得到如下列聯(lián)表所示的樣本數(shù)據(jù)：Ⅱ合計類1類2Ⅰ類Aaba＋b類Bcdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d5、推斷兩個分類變量“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”的步驟要推斷“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，可按下面的步驟進行：(1)提出假設(shè)H0：Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系；(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表與公式計算χ2的值；(3)根據(jù)臨界值表，做出判斷。數(shù)學(xué)建構(gòu)6、獨立性檢驗臨界值表P(χ2≥x0)0.500.400.250.150.10x00.4550.7081.3232.0722.706P(χ2≥x0)0.050.0250.0100.0050.001x03.8415.0246.6357.87910.828(1)若χ2＞，則有99.9%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”；(2)若χ2＞，則有99%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”；(3)若χ2＞，則有90%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”；(4)若χ2≤，則認為沒有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，

但也不能得出結(jié)論“H0成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系。數(shù)學(xué)應(yīng)用例1、在500人身上試驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把他們1年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒

記錄作比較，結(jié)果如下表所示．問：該種血清對預(yù)

防感冒是否有作用？類型利用統(tǒng)計量χ2進行獨立性檢驗的問題求解未感冒感冒合計使用血清258242500未使用血清216284500合計4745261000題后反思獨立性檢驗的注意點：在2×2列聯(lián)表中，如果兩個分類變量沒有關(guān)系，那么應(yīng)滿足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，關(guān)系越強。數(shù)學(xué)練習(xí)為了解學(xué)生選報文科、理科與是否對外語有興趣有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對外語有興趣的有138人，無興趣的有98人；文科對外語有興趣的有73人，無興趣的有52人，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“學(xué)生選報文科、理科與對外語的興趣有關(guān)”？解：根據(jù)題意得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科合計有興趣13873211無興趣9852150合計236125361為了解學(xué)生選報文科、理科與是否對外語有興趣有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對外語有興趣的有138人，無興趣的有98人；文科對外語有興趣的有73人，無興趣的有52人，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“學(xué)生選報文科、理科與對外語的興趣有關(guān)”？數(shù)學(xué)練習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)用例2、為研究不同的給藥方式(口服與注射)和藥的效果(有效

與無效)是否有關(guān)，進行了相應(yīng)的抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)

果如下表所示，根據(jù)所選擇的193個病人的數(shù)據(jù)，能

否做出藥的效果與給藥方式有關(guān)的結(jié)論？有效無效合計口服584098注射643195合計12271193數(shù)學(xué)應(yīng)用例3、氣管炎是一種常見的呼吸道疾病，醫(yī)藥研究人員對兩

種中草藥治療慢性氣管炎的療效進行了對比，所得數(shù)

據(jù)如下表所示．問：它們的療效有無差異？有效無效合計復(fù)方江剪刀草18461245膽黃片919100合計27570345數(shù)學(xué)練習(xí)1、某市政府調(diào)查市民收入增減與旅游愿望的關(guān)系時，采

用獨立性檢驗法抽查了3000人，計算發(fā)現(xiàn)χ2的觀測值

k＝，則市政府?dāng)嘌允忻袷杖朐鰷p與旅游愿望有

關(guān)系的可信程度是(

)(A)97.5%(B)99%

(C)99.5%

(D)99.9%A數(shù)學(xué)練習(xí)2、考察棉花種子經(jīng)過處理跟生病之間的關(guān)系得到下表數(shù)據(jù)：種子處理種子未處理合計得病32101133不得病61213274合計93314407則下列結(jié)論中正確的是(

)(A)種子是否經(jīng)過處理跟是否生病有關(guān)(B)種子是否經(jīng)過處理跟是否生病無關(guān)(C)種子是否經(jīng)過處理決定是否生病(D)以上都是錯誤的B課堂檢測課本第164頁練習(xí)第1、2題。1、分類變量的定義變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量(其“值”非數(shù)量，如性別變量)。2、列聯(lián)表(1)定義：(2)2×2列聯(lián)表列聯(lián)表是一個描述兩個分類變量分布的頻數(shù)表。一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(也稱為2×2列聯(lián)表)如下：y1y2合計x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d課堂小結(jié)4、獨立性檢驗的定義利用統(tǒng)計量χ2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗。3、統(tǒng)計量χ2的計算公式(其中n＝a＋b＋c＋d)課堂小結(jié)一般地，對于兩個分類變量Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B，Ⅱ也有兩類取值，即即類1和類2，我們得到如下列聯(lián)表所示的樣本數(shù)據(jù)：Ⅱ合計類1類2Ⅰ類Aaba＋b類Bcdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d5、推斷兩個分類變量“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”的步驟要推斷“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，可按下面的步驟進行：(1)提出假設(shè)H0：Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系；(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表與公式計算χ2的值；(3)根據(jù)臨界值表，做出判斷。課堂小結(jié)6、獨立性檢驗臨界值表P(χ2≥x0)0.500.400.250.150.10x00.4550.7081.3232.07