1

第7章波動

(Wave)7.1行波7.2簡諧波7.3物體的彈性形變7.4彈性介質(zhì)中的波速7.5波的能量7.6惠更斯原理與波的反射和折射1第7章波動7.1行波7.8聲波7.9地震波7.10水波7.11多普勒效應7.12行波的疊加和群速度7.13孤子7.7波的疊加駐波7.8聲波7.9地震波7.10水波7.11多普一定的擾動的傳播稱為波動，簡稱波。機械波：機械擾動在介質(zhì)中的傳播。電磁波：變化電場和變化磁場在空間的傳播。

具有一定的傳播速度、都具有能量，伴隨著能量的傳播產(chǎn)生反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象。兩類波共有的特征和規(guī)律一定的擾動的傳播稱為波動，簡稱波。機械波：機械擾動在介質(zhì)4

7.1

行波

(TravelingWave

)

擾動的傳播叫行波。抖動一次的擾動叫脈沖，脈沖的傳播叫脈沖波圖7.2脈沖縱橫波的傳播圖7.1脈沖波橫波的傳播47.1行波5

7.2

簡諧波

(SimpleHarmonicWave

)所傳播的擾動形式是簡諧運動的波，叫簡諧波圖7.3

橫波圖7.3

縱波12345678910111213141516171812345678910111213141516171857.2簡諧波所傳播的擾動形6

各質(zhì)元的位移y隨其平衡位置x和時間t變化的數(shù)學表達式叫做簡諧波的波函數(shù)。

如圖7.3和圖7.4，沿棒各質(zhì)元的位移y隨其平衡位置x和時間t變化的數(shù)學表達式叫做簡諧波的波函數(shù)。原點質(zhì)元的振動表達式：xxp波沿x軸正向傳播(7.1)u圖7.4簡諧波的波形曲線6各質(zhì)元的位移y隨其平衡位置x和時間t變化的7t時刻位于x處的質(zhì)元的位移為簡諧波的振幅簡諧波的角頻率上式就是簡諧波的波函數(shù):為在x處的質(zhì)點在t時刻的相(或位相)。對于某一個給定的相有(7.2)7t時刻位于x處的質(zhì)元的位移為簡諧波的振幅簡諧波的角頻率8它的移動速度為

波速u就是振動的相的傳播速度，這一速度又叫相速度。簡諧波具有時間上的周期性。簡諧運動的周期為簡諧波的頻率為(7.3)(7.4)8它的移動速度為波速u就是振動的相的傳播速度，這9

簡諧波還具有空間上的周期性。兩個相鄰的同相質(zhì)元之間的距離為簡諧波的波長

波長等于一個周期內(nèi)任一給定的相所傳播的距離。簡諧波的相速度等于其波長與頻率的乘積。(7.5)(7.6)9簡諧波還具有空間上的周期性。兩個相鄰的同相質(zhì)元10當t=t0時，式(7.2)給出(7.7)(7.7)式表明各質(zhì)元的位移隨它們平衡位置的坐標做正弦變化，它給出t0時刻波形的“照相”。與之對應的y-x曲線叫做波形曲線。

橫波的波形直接反映了橫波中各質(zhì)元的位移。

縱波的波形曲線是把位移轉到y(tǒng)軸方向標出，就連成了與橫波波形相似的曲線。10當t=t0時，式(7.2)給出(7.7)11

用來表示簡諧波特征的又一物理量——波數(shù)k。它等于在2的長度內(nèi)含有的“完整波”的數(shù)目。(7.8)(7.9)沿x軸正向傳播的簡諧波還寫成以下兩種形式

(7.10)

沿x軸負向傳播的簡諧波要將7.2、7.9、7.10

式中的負號改為正號。便是相應的波函數(shù)。11用來表示簡諧波特征的又一物理量——波數(shù)k。它12右圖為平面波與球面波的示意圖圖7.6球面波圖7.5平面波波線

波面

波線：波的傳播方向的直線。同相面（波面）：同相振動的點組成的面。同相面是平面的波叫平面簡諧波。12右圖為平面波與球面波的示意圖圖7.6球面波圖7.5平面13

例7.1

一列平面簡諧波以波速u沿x軸正向傳播，波長為。已知在x0=

/4處的質(zhì)元的振動表達式為y0=Acost。試寫出波函數(shù)，并在同一張坐標圖中畫出t=T和t=5T/4時的波形圖解P點的振動表達式為（就是所求的波函數(shù)）或13例7.1解P點的振動表達式為（就是所求的波函數(shù)14t=0時的波形圖為下式

t=T時的波形圖向右平移一個波長，t=5T/4時的波形曲線向x正向平移/4。yx0u14t=0時的波形圖為下式t=T時的波形圖向右平移一個波長15

例7.2

一條長線用水平力張緊，其上產(chǎn)生一列簡諧橫波向左傳播，波速為20m/s。在t=0時的波形曲線如圖所示

（1）求波的振幅、波長和波的周期y/10-2mx/m0.10.3024u

（2）按圖設x軸方向?qū)懗霾ê瘮?shù)

（3）寫出質(zhì)點振動速度表達式解（1）由圖得A=4.010-2m，=0.4m15例7.2（1）求波的振幅、波長和波的周期y/116y/10-2mx/m0.10.3024u

（2）原點O處質(zhì)元的振動為表達式波函數(shù)為16y/10-2mx/m0.10.3024u（2）原17代入A，T和的值代入，可得

（3）位于x處的介質(zhì)質(zhì)元的振動速度為

注意：區(qū)別振動速度和波速17代入A，T和的值代入，可得（3）位于x處的介質(zhì)18

7.3

物體的彈性形變

(Elesticdeformationofmatter)

固體、液體和氣體，在受到外力作用時，形狀和體積會發(fā)生或大或小的變化。這種變化稱為形變。當外力不太大因而引起的形變也不太大時，去掉外力，形狀或體積仍能復原。這個外力的限度叫彈性限度。在彈性限度內(nèi)地形變叫彈性形變，它和外力具有簡單的關系。187.3物體的彈性形變

1.線變

一段固體棒，當在其兩端沿軸的方向相反大小相等的外力時，其長度會發(fā)生改變，稱為線變。F/S叫應力l/l叫線應變應力和線應變成正比——胡克定律(7.11)E叫楊氏模量FFllS圖7.7線變1.線變一段固體棒，當在其兩端沿軸的方向相反大20(7.12)將(7.11)式改寫成k稱為勁度系數(shù)，簡稱勁度。類比彈簧的彈性勢能公式，可得彈性勢能為20(7.12)將(7.11)式改寫成k稱為勁度系數(shù)，簡稱勁21則單位體積內(nèi)的彈性勢能為(7.13)

2.剪切形變一塊矩形材料，當它的兩個側面受到與側面平行的大小相等方向相反的力作用時，形狀將發(fā)生改變，如圖所示，這種形變稱為剪切形變，也簡稱剪切。圖7.8剪切形變21則單位體積內(nèi)的彈性勢能為(7.13)2.剪切形變F/S叫剪應力=d/D叫剪應變(7.14)在彈性限度內(nèi)剪應力和剪應變成正比，即G：剪切模量。是由材料性質(zhì)決定的常量。式(7.14)即用于剪切形變的胡克定律公式。(7.15)F/S叫剪應力=d/D叫剪應變(7.14)在彈性限度內(nèi)剪23

3.體變一塊物質(zhì)周圍受到壓強改變時，其體積也會發(fā)生改變，如圖所示。p表示壓強度改變，V/V表示相應的體積的相對變化即體應變，則胡克定律表示為(7.16)K：彈性模量。其大小隨物質(zhì)種類的不同而不同。式中負號表示壓強的增大總導致體積的縮小。圖7.9體變233.體變一塊物質(zhì)周圍受到壓強改變24

體彈性模量的倒數(shù)叫壓縮率。以表示壓縮率，則有(7.17)

體彈性勢能有24體彈性模量的倒數(shù)叫壓縮率。以表示壓縮率25

7.4

彈性介質(zhì)中的波速

(WavevelocityofElasticmedium)彈性介質(zhì)中的波是靠介質(zhì)各質(zhì)元間彈性力作用而形成的。因此彈性越強大介質(zhì)，在其中形成的波動傳播速度就會越大；或者說，彈性模量越大的介質(zhì)中，波動傳播速度就越大。257.4彈性介質(zhì)中的波速

m=

Sx，其中為棒材的質(zhì)量密度。

d=dy，D=dx圖7.10推導波的速度用圖m=Sx，其中為棒材的質(zhì)量密度。d=dy27

這一質(zhì)元受到合力為(7.18)27這一質(zhì)元受到合力為(7.18)28(7.19)等式兩邊消去Sx，得(7.20)將式(7.2)代入式(7.20)中的y，即可得28(7.19)等式兩邊消去Sx，得(7.20)將29于是彈性棒中橫波的波速為(7.21)用類似的方法可以導出棒中縱波的波速為(7.22)

同種材料的G總小于其E，因此在同一種介質(zhì)中，橫波的波速比縱波的波速要小一些。29于是彈性棒中橫波的波速為(7.21)用類似的方法可以30同種固體中，既可以傳播橫波，也可以傳播縱波。在液體和氣體中只能傳播縱波，其波速公式為(7.23)

K:介質(zhì)的體彈模量；：密度繩子中的橫波波速公式為(7.24)

F:繩中的張力；l：質(zhì)量線密度30同種固體中，既可以傳播橫波，也可以傳播31氣體中的縱波波速公式為(7.25)31氣體中的縱波波速公式為(7.25)32

7.5

波動能量

(Energyofwave)在彈性介質(zhì)中有波傳播時，介質(zhì)的各質(zhì)元由于運動而具有動能。同時又由于產(chǎn)生了形變，所以還具有彈性勢能。平面簡諧波設一質(zhì)元密度為，體積為V，其中心的平衡位置坐標為x。327.5波動能量在33質(zhì)元的振動速度為它在此時刻振動動能為(7.26)33質(zhì)元的振動速度為它在此時34此質(zhì)元的應變?yōu)楦鶕?jù)式（7.15），它的彈性勢能為34此質(zhì)元的應變?yōu)楦鶕?jù)式（735由式（7.21）可知u2=G/，它的彈性勢能又可以寫為(7.27)和式(7.26)比較，在平面簡諧波中，每一質(zhì)元的動能和彈性勢能相同。35由式（7.21）可知u2=G/，它的彈性勢能又可以寫36質(zhì)元的總機械能為(7.28)波在傳播時，介質(zhì)單位體內(nèi)的能量叫波的能量密度，為(7.29)36質(zhì)元的總機械能為(7.28)37在一個周期內(nèi)的能量密度的平均值叫平均能量密度(7.30)

----對于各種彈性波均使用圖7.11波的強度的計算37在一個周期內(nèi)的能量密度的平均值叫平均能量密度(7.30)38

通過垂直于波的傳播方向的單位面積的能流的時間平均值，稱為波的強度，用I表示(7.32)對于波來說，更重要的是它的傳播本領。單位時間內(nèi)通過垂直于波的傳播方向的面積S的能量叫能流用P表示(7.31)38通過垂直于波的傳播方向的單位面積的能流的對于平面波有(7.33)S1

=

S2因而有A1

=

A2圖7.12平面波中能量的計算對于平面波有(7.33)S1=S2因而有A1=A2圖40對于球面波有或(7.34)所以球面波函數(shù)為(7.35)其中A1為離波源單位長度處的振幅圖7.13球面波中能量的傳播40對于球面波有或(7.34)所以球面波函數(shù)為(7.35)其4141液體中聲振動的振幅其實極小，但比水分子間距（10-10m）大得多。[解]

所以例7.2用聚焦超聲波的方法，可以在水中產(chǎn)生強達I=120kW/cm2

的超聲波，設波源作簡諧振動，頻率為=500kHz，液體的密度為=103kg/m3

聲速為u=1500m/s，求這時液體質(zhì)元振動的振幅。4141液體中聲振動的振幅其實極小，但比水分42

7.6

惠更斯原理與波的反射與折射

(HuygensPrinciple)42球面波平面波

介質(zhì)中任一波陣面上的各點，都可以看作是發(fā)射子波的波源，其后任一時刻，這些子波的包跡就是新的波陣面-----惠更斯原理。O圖7.14用惠更斯作圖法球新波振面（左）平面波；(右)球面波427.6惠更斯原理與波的反射與折射42球面43平面波傳播時遇到有縫的障礙物，波能繞過縫的邊界向障礙物的幾何陰影內(nèi)傳播，這就是波的衍射現(xiàn)象。圖7.15波的衍射圖7.16波的反射平面波入射到兩種介質(zhì)的分界面上，入射角等于反射角即波的反射定律。43平面波傳播時遇到有縫的障礙物，波能繞過縫44圖7.17波的折射波的折射定律：平面波入射到兩種介質(zhì)的分界面上，如果波能進入第二種介質(zhì)，且波在兩種介質(zhì)中的傳播速度不同。在分界面上要發(fā)生折射現(xiàn)象。入射角的正弦與折射角的正弦之比等于常數(shù)。(7.36)44圖7.17波的折射波的折射定律：平面45

7.7波的疊加駐波

(SuperpositionPrincipleofWaveStandingWaves)在幾列波相遇或疊加區(qū)域內(nèi)，任一點點位移，為各個波單獨在該點產(chǎn)生的唯一的合成——波的獨立性或疊加原理。在同一介質(zhì)中兩列頻率、振動方向相同，而且振幅也相同的簡諧波，在同一直線上沿相反方向傳播時所形成的疊加即為駐波。457.7波的疊加駐波在幾列設有兩列簡諧波，分別沿x軸正方向和負方向傳播，它們的表達式為其合成波為(7.38)——各質(zhì)點仍作簡諧振動，但各質(zhì)點的振幅是x的函數(shù)。設有兩列簡諧波，分別沿x軸正方向和負方向傳播47：表示簡諧運動，

:是簡諧運動的振幅。47：表示簡諧運動，:是簡諧運動的振幅。48481)當x

滿足的各點，振幅最大;波腹

(k=0,

1,2,…)2)當x

滿足的各點，振幅為零.波節(jié)

(k=0,1,2,…)3)相鄰波節(jié)或相鄰波腹之間的距離均為。48481)當x滿足49駐波的特點1).各處振幅不同，出現(xiàn)了波腹和波節(jié)2).波節(jié)之間質(zhì)點振動相位相同；波節(jié)兩邊質(zhì)點振動相位始終相反；3).無振動狀態(tài)的逐點傳播，也無能量的單向傳播。49駐波的特點1).各處振幅不同，出現(xiàn)了波腹和波節(jié)50圖7.18駐波的形成50圖7.18駐波的形成5151反射點處的半波損失

反射點為一固定點時，駐波在此形成波節(jié)，說明反射波與入射波在該處是反相的(

的相位突變)，又稱半波損失。圖7.19入射波在反射時的相躍變5151反射點處的半波損失反射點為一固定點時5252

在彈性波垂直入射到兩種介質(zhì)的分界面而反射時：若1u1

2u2(波疏介質(zhì)波密介質(zhì))反射波有半波損失。若1u1

2u2(波密介質(zhì)波疏介質(zhì))反射波無半波損失。圖7.20繩上的駐波5252在彈性波垂直入射到兩種介質(zhì)的分界面而5353駐波的應用弦(管)樂器的振動都遵從駐波規(guī)律。

兩端固定的弦線上(7.39)

相應的頻率為(7.40)5353駐波的應用弦(管)樂器的振動都遵從駐波規(guī)律。兩端固54

為基頻，稱為二次、三次諧頻(聲駐波則稱基音、泛音)，每一允許頻率(簡正頻率）所對應的駐波稱為一種簡正模式。圖7.21兩端固定弦的幾種簡正模式54為基頻，圖7.22二維駐波（a）鼓皮以某一模式振動時，才能在其上的碎屑聚集在不振動的地方，顯示出二維駐波的“節(jié)線”的形狀（R.Resnick）（b）鐘以某一模式振動時“節(jié)線”的分布（左圖）和該模式的全息照相（右圖），其中白線對應于“節(jié)線”（T.D.Rossing

）圖7.22二維駐波56例7.4一只二胡的“千斤”（弦上方固定點）和“碼子”（弦下方固定點）之間的距離是L=0.3m。其上一根弦的質(zhì)量線密度為l=3.8×10-4kg/m，拉緊它的張力F=9.4N。求此弦所發(fā)的聲音的基頻是多少？此弦的三次諧頻振動的節(jié)點在何處？圖7.23二胡解：此弦中所產(chǎn)生的駐波的基頻為56例7.4一只二胡的“千斤”（弦上方固定點）和“碼子三次諧頻振動時，整個弦長為的3倍。位置從“千斤”算起0，10，20，30cm處。

圖7.23二胡三次諧頻振動時，整個弦長為的3倍。位置從58

7.8聲波

(SoundWave)聲振動在介質(zhì)中形成的縱波——聲波。

超聲波：

為次聲波：

為聲波：為可引起聽覺；

介質(zhì)中有聲波傳播時，某點附近的壓力與無聲時的靜壓力差——聲壓以P表示，聲壓的振幅為：(7.41)587.8聲波聲振動在介質(zhì)中形成的縱波——聲波。59聲強，即聲波的能流密度

()(7.42)炮聲的聲強約為用聚焦的方法獲得的超聲波最大聲強可達能引起聽覺的聲強范圍，一般正常人為：（痛覺閾）（聽覺閾）59聲強，即聲波的能流密度(6060單位為bel(貝爾)，而1B=10dB，這樣

以最低的聲強作為測定聲強的標準，并用常用對數(shù)標度作為聲級L的量度，聲級為：保護環(huán)境減少污染物理污染：噪聲、電磁輻射(7.43)(7.44)6060單位為bel(貝爾)，而1B=10dB，這樣61例7.5

《三國演義》中有大將張飛喝斷當陽橋的故事。設張飛大喝一聲聲級為140dB，頻率為400Hz。問：

（1）張飛喝聲的聲壓和振幅各是多少？

（2）如果一個士兵的喝聲聲級為90dB，張飛喝相當于多少士兵同時大喝一聲？解（1）由（7.44）得61例7.5《三國演義》中有大將張飛喝斷當陽橋的故事。設張由（7.42）式張飛喝聲的聲壓幅為由（7.32）式空氣質(zhì)元的振幅為（2）由（7.44）式，每一個士兵喝聲的聲強為由（7.42）式張飛喝聲的聲壓幅為由（7.32）式空氣質(zhì)元的63而即張飛一喝相當于10萬士兵同時齊聲大喝！63而即張飛一喝相當于10萬士兵同時齊聲大喝！64

7.9地震波

(EarthquakeWave)7.24地震波的記錄地震是一種嚴重的自然災害。震源一般在地表下幾千米到幾百米的地方，震源正上方的那一點叫震中。647.9地震波7.24地震波的記錄657.25候風地動儀縱切面圖7.26地震波與地球內(nèi)部結構657.25候風地動儀縱切面圖7.26地震波與地球內(nèi)66一次釋放的能量E通常用里氏地震級M表示，它們之間的關系是(7.45)一次用里氏7地震級釋放的能量約為1015J，相當于百萬噸級氫彈爆炸所釋放出的能量。66一次釋放的能量E通常用里氏地震級M表示，67

7.10水波

(WaterWave)水面形成的細波主要是表面張力作用的結果。這種波叫表面張力波。其波速為(7.46)：水的表面張力系數(shù)：水的密度巨浪振蕩所形成的波叫重力波。潛水面上水波波速u只有深度決定，其波速為(7.47)677.10水波水面形成的細波主68對于深水，h>>的情況，其波速為(7.48)7.27水波中水的質(zhì)元的運動68對于深水，h>>的情況，其波速為(7.697.28海面波的波形(a)浪高較小(b)浪高較大697.28海面波的波形70

7.11多普勒效應

(DopplerEffect)接收器接收到的頻率有賴于波源或觀察者運動的現(xiàn)象，表多普勒效應。設

vS：波源相對于介質(zhì)運動的速度

vR：接收器相對于介質(zhì)運動的速度

u：波速

S：波源的頻率

R：接收器接收到的頻率

：波的頻率707.11多普勒效應接收器接收711.vs=0，接收器以速度vR運動

在單位時間內(nèi)，接收器收到的完整的波數(shù)等于分布在u+

R距離內(nèi)完整波的數(shù)目（即，所接收到的波的頻率）7.29波源靜止時的多普勒效應711.vs=0，接收器以速度vR運動72當接收器向著靜止波源運動時(7.50)當接收器離開波源運動時(7.51)72當接收器向著靜止波源運動時(7.50)當接收器離開波源運2.vR=0，波源以速度vs運動7.30波源運動時的多普勒效應波長變短2.vR=0，波源以速度vs運動7.30波源運動時的74當波源遠離接收器運動時(7.52)頻率為當波源向著接收器運動時(7.53)74當波源遠離接收器運動時(7.52)頻率為當波源向著接收器753.vs0

，vR0當波源和接收器相向運動時，接收器接收到的頻率為當波源和接收器彼此離開時，接收器接收到的頻率為(7.55)(7.54)753.vs0，vR0當波源和接收器相向運動76電磁波（如光）也有多普勒現(xiàn)象

電磁波的傳播不依賴于彈性介質(zhì)，從任一慣性系來看，光在真空中的傳播速度都相同。

因此，波源與觀察者之間的相對運動速度v

決定了所接收到的頻率。76電磁波（如光）也有多普勒現(xiàn)象電磁波的傳播7777當光源和接收器在同一直線上運動，且二者相互接近，則頻率為(7.56)若二者相互遠離，則頻率為(7.57)光源遠離接收器運動時，接收到的頻率變小，因而波長變長，這種現(xiàn)象叫“紅移”。7777當光源和接收器在同一直線上運動，且二78當波源的速度超過波的傳播速度時，波源發(fā)出的波到達的前沿形成了一個圓錐面叫馬赫錐。其半頂角為(7.58)7.31沖擊波的產(chǎn)生78當波源的速度超過波的傳播速度時，波源發(fā)出79例7.6一警笛發(fā)出頻率為1500Hz的聲波，并以22m/s