分式的規(guī)律性問題1．若（不取0和），，，…，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先通過題目給的x2與x1，x3與x2，x4與x3，……等關系分別用含有a的代數(shù)式表示x2，x3，x4，……從而找到規(guī)律，進而得到結果．【詳解】解：，，，由此可知，，2020÷3=673……1．∴．故選：A．【點睛】本題考查了分式的化簡，通過分式的化簡找到周期規(guī)律是解決本題的關鍵．2．觀察下列等式，，，…根據(jù)其中的規(guī)律，猜想_______（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】根據(jù)題意分別用含x的式子表示出a1、a2、a3、a4，從而得出數(shù)列的循環(huán)周期為3，據(jù)此即可得解答．【詳解】解：∵，∴，，，……∴每3個數(shù)為一周期循環(huán)，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)已知數(shù)列的計算公式得出其循環(huán)周期是解題的關鍵．3．觀察下列各式：，根據(jù)其中的規(guī)律可得________（用含n的式子表示）．【答案】【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，每一項都是一個分數(shù)，分母依次為3、5、7，…，那么第n項的分母是2n+1；分子依次為2，3，10，15，26，…，變化規(guī)律為：奇數(shù)項的分子是n2+1，偶數(shù)項的分子是n2-1，即第n項的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．【詳解】解：由分析得，故答案為：【點睛】本題考查學生通過觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力，要求學生首先分析題意，找到規(guī)律，并進行推導得出答案．4．一組按規(guī)律排列的式子：，，，，…（）,則第個式子是______（為正整數(shù)）.【答案】.【詳解】試題分析：觀察給出的一列數(shù)，發(fā)現(xiàn)這一列數(shù)的分母a的指數(shù)分別是1、2、3、4…，與這列數(shù)的項數(shù)相同，故第n個式子的分母是an；這一列數(shù)的分子b的指數(shù)分別是2、5、8、11，…即第一個數(shù)是3×1-1=2，第二個數(shù)是3×2-1=5，第三個數(shù)是3×3-1=8，第四個數(shù)是3×4-1=11，…每個數(shù)都比項數(shù)的3倍少1，故第n個式子的分子是b3n-1；特別要注意的是這列數(shù)字每一項的符號，它們的規(guī)律是奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故第n個式子的符號為（-1）n．試題解析：第n個式子是.考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．5．觀察下列等式：第1個等式：x1=；第2個等式：x2=；第3個等式：x3=；第4個等式：x4=；則xl+x2+x3+…+x10=_______________．【答案】【詳解】因為x1=；x2=；x3=；x4=；…所以xl+x2+x3+…+x10=+++…+=（）==．故答案為：【點睛】考點：分式的計算．6．觀察下列等式：第個等式：；第個等式：；第個等式：；第個等式：；根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第個等式：______；（2）計算結果等于______．【答案】

【分析】（1）觀察等式，分母為連續(xù)兩個偶數(shù)的乘積，分子為2，等式的右邊等于這兩個連續(xù)偶數(shù)的倒數(shù)的差；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律即可求解．【詳解】（1）由題意得：，故答案為：；（2）觀察下列等式：第個等式：；第個等式：；第個等式：；第個等式：；第個等式為：，．故答案為：．【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關鍵．三、解答題7．觀察下列各式：，，，．(1)請再寫出一個符合上述各式規(guī)律的式子：___________；(2)依照以上各式呈現(xiàn)的規(guī)律，寫出它們的一般形式，并給出證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）不難看出，兩個分數(shù)的分子的和等于8，分母是相應的分子減去4，結果都等于2，從而可求解；（2）根據(jù)（1）的分析，寫出一般形式，再對式子的左邊進行運算，從而可求證．（1）解：由題意得：兩個分數(shù)的分子的和等于8，分母是相應的分子減去4，結果都等于2，則符合規(guī)律的式子有：，故答案為：（答案不唯一）；（2）解：設第一個分數(shù)的分子為x，其一般形式為：，證明：左邊==2=右邊．故原式成立．【點睛】本題主要考查分式的規(guī)律性問題，解答的關鍵是由所給的等式分析清楚各數(shù)之間的關系．8．觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；．．．．．．根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：(1)寫出第5個等式：；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示，n是正整數(shù)），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)前個等式的規(guī)律寫出第個等式；（2）根據(jù)前個等式的規(guī)律寫出第個等式，只需證明等式左邊等于右邊即可．（1）解：；（2）解：猜想：證明如下：左邊右邊．【點睛】本題考查了等式中的找規(guī)律問題，解決本題的關鍵是找出第項與項數(shù)之間的關系．9．觀察下列等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第4個等式：_________；(2)寫出你猜想的第n個等式：_________，并給出證明．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意得：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，即可求解；（2）由（1）發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n個等式：，再根據(jù)分式的減法運算把左邊化簡，即可求解．(1)解：（1）根據(jù)題意得：第1個等式：，即，第2個等式：，即，第3個等式：，即，第4個等式：，即，故答案為：；(2)解：由（1）發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n個等式：，理由如下：左邊=右邊【點睛】本題主要考查了規(guī)律類題探究，分式加減運算，明確題意，準確得到規(guī)律是解題的關鍵．10．觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；……按上述規(guī)律，回答以下問題：(1)寫出第6個等式：_______________________________________________；(2)寫出你猜想的第個等式：_____________________________________（用含的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)；證明見解析【分析】（1）依次觀察每個等式，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，按照此規(guī)律即可求解；（2）把上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母n表示出來，并運用分式的混合運算法則計算等號的右邊的值，進而得到左右相等便可．(1)解：第6個等式：；故答案為：．(2)解：第個等式：；證明：右邊左邊，∴等式成立．故答案為：．【點睛】此題考查了數(shù)字的規(guī)律變化，解題的關鍵是通過觀察數(shù)字，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用規(guī)律解決問題．11．觀察下列各式：第1個等式：．第2個等式：．第3個等式：．……根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：(1)第4個等式為：______．(2)寫出你猜想的第n個等式：______（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)【分析】（1）觀察前幾個等式中數(shù)字的變化，即可寫出第4個等式；（2）結合（1）即可寫出第個等式，然后計算證明即可．(1)解：第4個等式為：，故答案為：．(2)解：．證明：右邊左邊，所以等式成立，故答案為：．【點睛】本題考查了分式的規(guī)律探究，有理數(shù)的加減運算，解決本題的關鍵在于推導一般性規(guī)律．12．觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：______________________；(2)寫出你猜想的第n個等式：____________（用含n的等式表示），并證明.【答案】(1)；(2)，證明見解析；【分析】（1）根據(jù)前4個等式得出第五個等式即可；（2）通過觀察減號后面的數(shù)字規(guī)律，再結合每個式子找到分母之間的關系，最后通過化簡即可證明．（1）解：通過觀察可得：；（2）．證明：左邊===右邊，∴．【點睛】本題主要考查數(shù)字類變化規(guī)律，仔細觀察每個式子中對應位置的數(shù)字，并找到相關系數(shù)關系是解題的關鍵．13．觀察下列等式：1﹣＝1×，2﹣＝2×，3﹣＝3×，…（1）試寫出第5個等式；（2）寫出第n個等式，并證明其正確性．【答案】（1）；（2）n﹣＝，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)已知的等式即可寫出第5個等式；（2）根據(jù)已知的等式即可寫出第n個等式，再根據(jù)分式的運算法則即可驗證．【詳解】解：（1）∵1﹣＝1×，2﹣＝2×，3﹣＝3×，…，∴第5個等式是：；（2）1﹣＝1×，2﹣＝2×，3﹣＝3×，…，∴第n個等式是n﹣＝，證明：左邊＝＝＝＝＝右邊，即n﹣＝成立．【點睛】此題主要考查分式的運算，解題的關鍵是根據(jù)已知的式子寫出第n個等式．14．觀察下列等式：，①，②，③，④，⑤……（1）請按上述規(guī)律寫出第2021個算式，然后把一共2021個算式兩邊分別相加并計算出等式右邊；（2）根據(jù)第（1）小題計算，總結規(guī)律并填空：________；（3）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，在小于60的正整數(shù)中，求出8個數(shù)，使得它們的倒數(shù)和等于1【答案】（1），；（2）；（3）2，6，12，20，30，42，56，8【分析】（1）規(guī)律為分母為兩個自然數(shù)的乘積，分子是分母乘式中乘數(shù)與被乘數(shù)的差，其結果為連續(xù)的兩個自然數(shù)的倒數(shù)的差，根據(jù)規(guī)律寫出算式即可；（2）根據(jù)（1）中的結論計算即可；（3）根據(jù)題意設計倒數(shù)和為1的8個數(shù)即可．【詳解】解：（1）．（2）．（3）∵∴∴∴這8個數(shù)為2，6，12，20，30，42，56，8．【點睛】本題考查了規(guī)律探索問題，有理數(shù)的加減混合運算，分式的計算，找到規(guī)律是解題的關鍵．15．觀察下列方程，回答問題①的解為x=0②的解為x=1③的解為x=2④的解為x=3（1）請直接寫出第⑤個方程及它的解；（2）請你寫出第n（n為正整數(shù)）個方程，并求出它的解．（寫出解答過程）【答案】（1），x=4；（2）；x=n-1【分析】（1）根據(jù)題意，找到規(guī)律即可；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律寫出第n（n為正整數(shù)）個方程，并解方程即可．【詳解】（1）觀察前4個方程及方程的解，規(guī)律為：方程左邊的分式是分母不變，分子分別為1,2,3,4故第5個方程左邊分式的分子為5分母不變；方程的右邊分母不變，分子為左邊的2倍，故第5個方程的右邊分式的分子為10；所以方程為：方程的解為：x=4；（2）根據(jù)（1）中的結論得到第n（n為正整數(shù)）個方程為:即：去分母得：化系數(shù)為1得：x=n-1當時，是原方程的解．【點睛】本題考查了找規(guī)律問題，分式方程的解法，根據(jù)題意找到規(guī)律是解題的關鍵．16．觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；…根據(jù)你觀察到的規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式；（2）寫出第n個等式，并證明；（3）計算：．【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)已知4個等式的數(shù)字規(guī)律解題；（2）列式計算，找到等式的規(guī)律，寫出第n個等式，再結合平方差公式即可解題；（3）根據(jù)（2）的結論即可計算解題．【詳解】解：（1）根據(jù)已知等式可知：第1個等式，即，第2個等式，即，第3個等式，即，第4個等式，即第5個等式：，即；（2）根據(jù)已知等式可知：第1個等式，即，第2個等式，即，第3個等式，即，第4個等式，即第5個等式：，即；……第n個等式：；證明：左邊＝＝右邊,故等式成立；（3）．【點睛】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，有理數(shù)的混合運算等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．17．請先閱讀下列內(nèi)容，然后解答問題：因為：，，，…，所以：++…+＝+++…+＝＝（1）猜想并寫出：＝；（為正整數(shù)）（2）直接寫出下面式子計算結果：++…+＝；（3）探究并計算：++…+【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)給出的具體例子，歸納式子特征為：分子為1，分母是兩個連續(xù)自然數(shù)的乘積，等于這兩個連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)差，因此猜想第n項可轉化為；（2）按照（1）得出的規(guī)律，進行計算即可；（3）觀察式子的每一項，歸納出：分子為1，分母是兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積，第n項可轉化為，依次抵消即可求解【詳解】解：（1），故答案為：（2）++…+===，故答案為：（3）原式＝++…+＝…+＝＝＝【點睛】考查了與分式混合運算有關的規(guī)律性問題，解決這類題目要找出變化規(guī)律，消去中間項，只剩首末兩項，使運算變得簡單18．探究規(guī)律：(1)填空：①_________②_________③_________(2)根據(jù)（1）中的填空猜想_________（為整數(shù)），并說明理由；(3)受上述規(guī)律的啟發(fā)，計算：【答案】(1)

(2)，理由見解析(3)【分析】（1）用分式減法法則計算即可；（2）根據(jù)（1）進行猜想即可得到答案，然后用分式減法法則計算即可說明理由；（3）運用（2）得到的規(guī)律解答即可．（1）解：①②③．（2）解：，理由如下：．（3）解：．【點睛】本題主要考查了分式的減法運算、歸納規(guī)律以及運用規(guī)律，根據(jù)分式的加減過程、歸納出規(guī)律是解答本題的關鍵．19．觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：…按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)請寫出第5個等式________；(2)請寫出第個等式，并證明．【答案】(1)(2)第個等式為，證明見解析【分析】（1）根據(jù)提供的算式寫出第5個算式即可；（2）根據(jù)規(guī)律寫出代數(shù)式然后證明即可．（1）解：根據(jù)已知規(guī)律，第5個等式為，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，第個等式為，證明：右邊=左邊，∴等式成立．【點睛】本題考查規(guī)律探索問題，從特殊的、簡單的問題推理到普通的、復雜的問題，從中歸納問題的規(guī)律，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．20．觀察以下等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……；按照以上規(guī)律，解答下列問題：(1)寫出第5個等式：；(2)寫出你猜想的第n個等式：（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明過程見詳解【分析】（1）根據(jù)題目中前4個等式，可以發(fā)現(xiàn)式子的變化特點，從而可以寫出第5個等式；（2）把上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母n表示出來，并運用分式的混合運算法則計算等號的右邊的值，進而得到左右相等便可．(1)第五個等式為：，故答案為：；(2)根據(jù)（1）所得到的規(guī)律，猜想：；證明：，即：右邊=左邊，故猜想成立，故答案為：【點睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點，寫出相應的等式，并證明猜想的正確性．21．觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：___________；(2)寫出你猜想的第n個等式_________（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，見解析【分析】（1）根據(jù)題目中的等式，可以寫出第6個等式；（2）根據(jù)題目中的等式，可以寫出第n個等式，然后根據(jù)分式的乘除法，以及平方差公式因式分解，可以將等號左邊的式子化簡，從而可以證明結論成立．【詳解】（1）解：由題意可得，第6個等式：，故答案為：；（2）解：猜想：第n個等式是：，證明：，∴成立．【點睛】本題考查數(shù)字的變化類規(guī)律探究，分式乘除法，掌握發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，寫出相應的式子．分式乘除法法則，平方差公式，規(guī)律探究的方法是解題關鍵．22．觀察以下等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第7個等式：；(2)寫出你猜想的第n