電磁場(chǎng)與電磁波第三章第1頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月1.

DifferentialEquationsforElectricPotential

Therelationshipbetweentheelectricpotential

andtheelectricfieldintensityEisTakingthedivergenceoperationforbothsidesoftheaboveequationgivesInalinear,homogeneous,andisotropicmedium,thedivergenceoftheelectricfieldintensityEis第2頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月ThedifferentialequationfortheelectricpotentialiswhichiscalledPoisson’sequation.Inasource-freeregion,andtheaboveequationbecomeswhichiscalledLaplace’sequation.

1.

DifferentialEquationsforElectricPotential

第3頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月1.電位微分方程已知電位

與電場(chǎng)強(qiáng)度E

的關(guān)系為

對(duì)上式兩邊取散度，得

對(duì)于線性各向同性的均勻介質(zhì)，電場(chǎng)強(qiáng)度E的散度為

那么，電位滿足的微分方程式為

泊松方程

第4頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月拉普拉斯方程對(duì)于無源區(qū)，，上式變?yōu)?.電位微分方程第5頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

因此，對(duì)于導(dǎo)體邊界，當(dāng)邊界上的電位，或電位的法向?qū)?shù)給定時(shí)，或?qū)w表面電荷給定時(shí)，空間的靜電場(chǎng)即被惟一地確定。這個(gè)結(jié)論稱為靜電場(chǎng)惟一性定理。Forelectrostaticfieldswithconductorsasboundaries,thefieldmaybegivenuniquelywhentheelectricpotential,itsnormalderivative,orthechargesisgivenontheconductingboundaries.Thatistheuniquenesstheoremforsolutionstoproblemsonelectrostaticfields.

Uniquenessofsolutionofdifferentialequationsforelectricpotential(靜電場(chǎng)唯一性定理)第6頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

靜電場(chǎng)的邊值問題——

根據(jù)給定的邊界條件求解靜電場(chǎng)的電位分布。

對(duì)于線性各向同性的均勻介質(zhì)，有源區(qū)中的電位滿足泊松方程方程在無源區(qū)，電位滿足拉普拉斯方程利用格林函數(shù)，可以求解泊松方程（了解）。利用分離變量法可以求解拉普拉斯方程。（了解）求解靜電場(chǎng)邊值問題的另一種簡(jiǎn)單方法是鏡像法。小結(jié)第7頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月3.MethodofImage

Essence:Theeffectoftheboundaryisreplacedbyoneorseveralequivalentcharges,andtheoriginalinhomogeneousregionwithaboundarybecomesaninfinitehomogeneousspace.

Basis：Theprincipleofuniqueness.Therefore,thesechargesshouldnotchangetheoriginalboundaryconditions.Theseequivalentchargesareattheimagepositionsoftheoriginalcharges,andarecalledimagecharges,andthismethodiscalledthemethodofimages.

Key：Todeterminethevaluesandthepositionsoftheimagecharges.

Restriction：Theseimagechargesmaybedeterminedonlyforsomespecialboundariesandchargeswithcertaindistributions.第8頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月3.鏡像法

實(shí)質(zhì):以一個(gè)或幾個(gè)等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計(jì)算過程大為簡(jiǎn)化。

這些等效電荷通常處于原電荷的鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。第9頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

依據(jù)：惟一性定理。等效電荷的引入不能改變?cè)瓉淼倪吔鐥l件。關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。

局限性：僅僅對(duì)于某些特殊的邊界以及特殊的電荷分布才有可能確定其鏡像電荷。

3.鏡像法

第10頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月（點(diǎn)電荷與無限大的導(dǎo)體平面)

介質(zhì)

導(dǎo)體

qrP

介質(zhì)qrPhh

介質(zhì)

以一個(gè)鏡像點(diǎn)電荷q'代替邊界的影響，使整個(gè)空間變成均勻的介電常數(shù)為

的空間，則空間任一點(diǎn)P的電位由q

及q'

共同產(chǎn)生，即

無限大導(dǎo)體平面的電位為零（為什么？）（1）Apointelectricchargeandaninfiniteconductingplane

導(dǎo)體是等位體，分布在有限區(qū)域的電荷在無限遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電位為0；第11頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

其產(chǎn)生的電場(chǎng)線與等位面的分布特性與電偶極子的上半部分完全相同。電場(chǎng)線等位線z

第12頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月*根據(jù)電荷守恒定律，鏡像點(diǎn)電荷的電荷量應(yīng)該等于導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷的總電荷量。*上述等效性僅對(duì)于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因?yàn)樵谏习肟臻g中，源及邊界條件未變。

介質(zhì)

導(dǎo)體

qrP

介質(zhì)qrPhh

介質(zhì)

第13頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

q

對(duì)于半無限大導(dǎo)體平面形成的劈形邊界也可應(yīng)用鏡像法。但是為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個(gè)鏡像電荷。例如，夾角為的導(dǎo)電劈需引入

5

個(gè)鏡像電荷。

/3

/3q第14頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

位于無限大的導(dǎo)體平面附近的線電荷，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。

僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角等于

的整數(shù)分之一時(shí)，才可求出其鏡像電荷。為什么？

l

l–l

第15頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月（點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球)

若導(dǎo)體球接地，導(dǎo)體球的電位為零。令鏡像點(diǎn)電荷q

位于球心與點(diǎn)電荷q的連線上，那么球面上任一點(diǎn)電位為

為了保證球面上任一點(diǎn)電位為零，必須選擇鏡像電荷為qfOPadrq

r

（2）Apointchargeandaconductingsphere第16頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

為了使鏡像電荷具有一個(gè)確定的值，必須要求比值對(duì)于球面上任一點(diǎn)均具有同一數(shù)值。

若△OPq~△

OqP

，則鏡像電荷離球心的距離d應(yīng)為

求得鏡像電荷為qfOPadrq

r

第17頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

若導(dǎo)體球不接地，則其電位不為零。q

的位置和量值應(yīng)該如何?

由q

及q

在球面邊界上形成的電位為零，因此必須再引入一個(gè)鏡像電荷q

以產(chǎn)生一定的電位。q第18頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月以保證導(dǎo)體球表面上總電荷量為零值。

為了保證球面邊界是一個(gè)等位面，鏡像電荷q

必須位于球心。

為了滿足電荷守恒定律，第二個(gè)鏡像電荷q

必須為導(dǎo)體球的電位?qq"q'第19頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

l（線電荷與帶電的導(dǎo)體圓柱）

在圓柱軸線與線電荷之間，離軸線的距離d處，平行放置一根鏡像線電荷

。因此，離線電荷r

處，以為參考點(diǎn)的電位為

Pafdr–

lO已知無限長(zhǎng)線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為，（3）Alinechargeandachargedconductingcylinder

第20頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

若令鏡像線電荷產(chǎn)生的電位也取相同的作為參考點(diǎn)，則及在圓柱面上P點(diǎn)共同產(chǎn)生的電位為已知導(dǎo)體圓柱是一個(gè)等位體，必須要求比值與前同理，可令

lPafdr–

lO第21頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

（點(diǎn)電荷與無限大的介質(zhì)平面）

E

1

1

qr0E'EtEnq'

2

2

q"E"

1

2qeten=+

對(duì)于上半空間，可用鏡像電荷q'

等效邊界上束縛電荷的作用，將整個(gè)空間變?yōu)榻殡姵?shù)為

1的均勻空間。

對(duì)于下半空間，可用位于原點(diǎn)電荷處的q"

等效原來的點(diǎn)電荷q與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個(gè)空間變?yōu)榻殡姵?shù)為

2

的均勻空間。

（4）Apointchargeandaninfinitedielectricplane.

第22頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

必須迫使所求得的場(chǎng)符合邊界條件，即電場(chǎng)切向分量和電通密度的法向分量應(yīng)該保持連續(xù)，即

已知各個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：第23頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月