信號與線性系統(tǒng)——第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析引言以傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點(diǎn)在于：它給出的結(jié)果有著清楚的物理意義，但也有不足之處，傅里葉變換只能處理符合狄利克雷條件的信號，而有些信號是不滿足絕對可積條件的，因而其信號的分析受到限制；另外在求時域響應(yīng)時運(yùn)用傅里葉反變換對頻率進(jìn)行的無窮積分求解困難。為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，可利用本章要討論的拉氏變換法擴(kuò)大信號變換的范圍。優(yōu)點(diǎn)：求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時，初始條件被自動計入，因此應(yīng)用更為普遍。缺點(diǎn)：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。一、拉氏變換的優(yōu)點(diǎn)把線性時不變系統(tǒng)的時域模型簡便地進(jìn)行變換，經(jīng)求解再還原為時間函數(shù)。拉氏變換是求解常系數(shù)線性微分方程的工具。應(yīng)用拉氏變換：（1）求解方程得到簡化。且初始條件自動包含在變換式里。（2）拉氏變換將“微分”變換成“乘法”，“積分”變換成“除法”。即將微分方程變成代數(shù)方程。拉氏變換將時域中卷積運(yùn)算變換成“乘法”運(yùn)算。利用系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的規(guī)律。第一節(jié)

拉普拉斯變換

1、從傅氏變換到拉氏變換有幾種情況不滿足狄里克雷條件：u(t)增長信號周期信號若乘一衰減因子為任意實(shí)數(shù)，則

收斂，滿足狄里赫利條件FT:實(shí)頻率是振蕩頻率LT:復(fù)頻率S是振蕩頻率，控制衰減速度正LT逆LT上式為雙邊拉普拉斯正變換以及反變換；Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），

f(t)稱為Fb(s)的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。2、拉氏變換的物理意義拉氏變換是將時間函數(shù)f(t)變換為復(fù)變函數(shù)F(s)，或作相反變換。時域(t)變量t是實(shí)數(shù)，復(fù)頻域F(s)變量s是復(fù)數(shù)。變量s又稱“復(fù)頻率”。拉氏變換建立了時域與復(fù)頻域(s域）之間的聯(lián)系?？闯觯簩?/p>

頻率變換為復(fù)頻率s,且

只能描述振蕩的重復(fù)頻率，而s不僅能給出重復(fù)頻率，還給出振蕩幅度的增長速率或衰減速率。例1因果信號f1(t)=e

t

(t)，求其拉普拉斯變換。

解:可見，對于因果信號，僅當(dāng)Re[s]=

>

時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。收斂域收斂邊界例2反因果信號f2(t)=et(-t)，求其拉普拉斯變換。解:可見，對于反因果信號，僅當(dāng)Re[s]=

<

時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。例3雙邊信號求其拉普拉斯變換。求其拉普拉斯變換。解其雙邊拉普拉斯變換Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)

僅當(dāng)

>

時，其收斂域?yàn)?/p>

<Re[s]<

的一個帶狀區(qū)域，如圖所示。例4求下列信號的雙邊拉氏變換。

f1(t)=e-3t

(t)+e-2t

(t)f2(t)=–e-3t

(–t)–e-2t

(–t)f3(t)=e-3t

(t)–e-2t

(–t)解Re[s]=

>–2Re[s]=

<–3–3<<–2可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其初始時刻為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，t<0時，f(t)=0。從而拉氏變換式寫為

稱為單邊拉氏變換。簡稱拉氏變換。其收斂域一定是Re[s]>

，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。三、單邊拉氏變換

簡記為F(s)=L[f(t)]f(t)=L-1[F(s)]或

f(t)←→F(s)單邊拉氏變換收斂軸收斂坐標(biāo)收斂區(qū)收斂域有始有終信號或能量有限信號。

或等幅振蕩信號（單位階躍信號）和增長信號。不收斂信號但工程技術(shù)中這類函數(shù)不會遇到，無討論必要。整個平面以為界我們通過求常用函數(shù)的象函數(shù)，掌握單邊拉氏變換的基本方法。F(s)=F(jω)|

s=jω的函數(shù)

當(dāng)拉氏變換的收斂區(qū)包括jω軸，F(xiàn)(s)可由F(jω)直接得到，僅將jω?fù)Q為s，即

F(s)=F(jω)|

s=jω

常用函數(shù)的單邊拉普拉斯變換2.t的指數(shù)函數(shù)eatu(t)（a為任意常數(shù)）

3.t的正冪函數(shù)（n為正整數(shù)）

即依此類推，常用函數(shù)單邊拉氏變換周期信號fT(t)特例：

T(t)←→1/(1–e-sT)單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系Re[s]>

0

要討論其關(guān)系，f(t)必須為因果信號。根據(jù)收斂坐標(biāo)

0的值可分為以下三種情況：（1）

0<0，即F(s)的收斂域包含j

軸，則f(t)的傅里葉變換存在，并且F(j

)=F(s)

s=j

如f(t)=e-2t(t)←→F(s)=1/(s+2),>-2；則F(j)=1/(j+2)（2）

0=0，即F(s)的收斂邊界為j軸，

如f(t)=(t)←→F(s)=1/s=()+1/j（3）

0>0，F(xiàn)(j

)不存在。例f(t)=e2t(t)←→F(s)=1/(s–2)，>2；其傅里葉變換不存在。第二節(jié)

拉普拉斯變換的性質(zhì)

一、線性性質(zhì)若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>2則a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)例f(t)=

(t)+

(t)←→1+1/s，

>0二、尺度變換若f(t)←→F(s),Re[s]>0，且有實(shí)數(shù)a>0，因?yàn)橛懻摰氖菃芜吚绽棺儞Q則f(at)←→Re[s]>a0

證

線性在實(shí)際應(yīng)用中是用得最多最靈活的性質(zhì)之一。例如證：其中a>0證

令

，代入上式得例：如圖信號f(t)的拉氏變換F(s)=求圖中信號y(t)的拉氏變換Y(s)。解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=4×2F(2s)三、時移（延時）特性若f(t)

<----->F(s),Re[s]>

0,且有實(shí)常數(shù)t0>0,則f(t-t0)

(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>

0

與尺度變換相結(jié)合f(at-t0)

(at-t0)←→例1:求如圖信號的單邊拉氏變換。解：f1(t)=

(t)–

(t-1)，f2(t)=

(t+1)–

(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)f(t-t0)u(t-t0)證：

令t-t0=x，t=x+t0，代入上式得例2:已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e-2s)證明：四、復(fù)頻移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,且有復(fù)常數(shù)sa=

a+j

a,則f(t)esat←→F(s-sa),Re[s]>

0+

a

例:已知因果信號f(t)的象函數(shù)F(s)=求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。解：e-tf(3t-2)←→五、時域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,則f’(t)←→sF(s)–f(0-)f’’(t)←→s2F(s)–sf(0-)–f’(0-)f(n)(t)←→snF(s)–若f(t)為因果信號，則f(n)(t)←→snF(s)證明：依此類推，可以得到高階導(dǎo)數(shù)的L變換六、時域積分特性（積分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,則例1:t2

(t)<---->?例2:已知因果信號f(t)如圖,求F(s)解：對f(t)求導(dǎo)得f’(t)，如圖由于f(t)為因果信號，故f(0-)=0f’(t)=ε(t)–ε(t–2)–2δ(t–2)←→F1(s)七、卷積定理時域卷積定理若因果函數(shù)f1(t)←→F1(s),Re[s]>

1,f2(t)←→F2(s),Re[s]>

2則f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)復(fù)頻域（s域）卷積定理八、s域微分和積分若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,則例1：t2e-2t

(t)←→?e-2t

(t)←→1/(s+2)t2e-2t

(t)←→例2：例3：九、初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞)，而不必求出原函數(shù)f(t)初值定理設(shè)函數(shù)f(t)不含

(t)及其各階導(dǎo)數(shù)（即F(s)為真分式，若F(s)為假分式化為真分式），則終值定理若f(t)當(dāng)t→∞時存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>

0,

0<0，則例：例：第三節(jié)

拉氏反變換拉普拉斯反（逆）變換是將象函數(shù)F(s)變換為原函數(shù)f(t)的運(yùn)算。定義為：這個公式的被積函數(shù)是一個復(fù)變函數(shù)，其積分是沿著收斂區(qū)內(nèi)的直線σ-j∞→σ+j∞進(jìn)行。這個積分可以用復(fù)變函數(shù)積分計算。但一般情況下計算函數(shù)比計算積分更容易，因此可以利用復(fù)變函數(shù)理論中的圍線積分和留數(shù)定理求反變換。但當(dāng)象函數(shù)為有理函數(shù)時，更簡便的是代數(shù)方法，這種方法稱為“部分分式法”。直接利用定義式求反變換---復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法（1）查表（2）利用性質(zhì)（3）部分分式展開-----結(jié)合若象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫為若m≥n（假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。由于L-1[1]=

(t)，L

-1[sn]=

(n)(t)，故多項(xiàng)式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。下面主要討論有理真分式的情形。部分分式展開法若F(s)是s的實(shí)系數(shù)有理真分式（m<n)，則可寫為式中A(s)稱為F(s)的特征多項(xiàng)式，方程A(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為F(s)的固有頻率（或自然頻率）。n個特征根pi稱為F(s)的極點(diǎn)。（1）F(s)為單極點(diǎn)（單根）例:例2:特例：若F(s)包含共軛復(fù)根時(p1,2=–±j)K2=K1*

f1(t)=2|K1|e-

tcos(

t+

)

(t)若寫為K1,2=A±jBf1(t)=2e-

t[Acos(

t)–Bsin(

t)]

(t)例例：求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)f(t)。解：A(s)=0有6個單根，它們分別是s1=0，s2=–1，s3,4=

j1，s5,6=–1

j1，故

K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=–1K3=(s–j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(

/2),K4=K3*=(1/2)e-j(

/2)K5=(s+1–j)F(s)|s=-1+j=K6=K5*（2）F(s)有重極點(diǎn)（重根）若A(s)=0在s=p1處有r重根，

K11=[(s–p1)rF(s)]|s=p1，K12=(d/ds)[(s–p1)rF(s)]|s=p1

舉例:第四節(jié)

復(fù)頻域分析一、微分方程的變換解描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。思路：用拉普拉斯變換微分特性若f(t)在t=0時接入系統(tǒng)，則f(j)(t)←→sjF(s)例1

描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始狀態(tài)y(0-)=1，y'(0-)=-1，激勵f(t)=5cost

(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)解：方程取拉氏變換，并整理得y(t)，yx(t)，yf(t)s域的代數(shù)方程Yx(s)Yf(s)y(t)=2e–2t

(t)

–e–3t

(t)_4e–2t

(t)

+Yx(s)Yf(s)二、系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵、初始狀態(tài)無關(guān)。yf(t)=h(t)*f(t)H(s)=L[h(t)]Yf(s)=L[h(t)]F(s)例2

已知當(dāng)輸入f(t)=e-t

(t)時，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

yf(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)

(t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。解:h(t)=(4e-2t-2e-3t)

(t)微分方程為y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+8f(t)s2Yf(s)+5sYf(s)+6Yf(s)=2sF(s)+8F(s)取逆變換yf"(t)+5yf'(t)+6yf(t)=2f'(t)+8f(t)三、系統(tǒng)的s域框圖(只關(guān)心零狀態(tài)響應(yīng)）時域框圖基本單元∫f(t)af(t)y(t)=af

(t)s域框圖基本單元s–1F(s)Y(s)=s–1F(s)aF(s)Y(s)=aF(s)∑f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)++∑F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)++X(s)s-1X(s)s-2X(s)例3

如圖框圖，列出其微分方程解畫出s域框圖,s-1s-1F(s)Y(s)設(shè)左邊加法器輸出為X(s)，如圖X(s)=F(s)–3s-1X(s)–2s-2X(s)s域的代數(shù)方程Y(s)=X(s)+4s-2X(s)微分方程為y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f"(t)+4f(t)再求h(t)?四、電路的s域模型對時域電路取拉氏變換1、電阻u(t)=R

i(t)2、電感U(s)=sLIL(s)–LiL(0-)U(s)=R

I(s)元件的s域模型3、電容I(s)=sCUC(s)–CuC(0-)4、KCL、KVL方程1.積分微分方程的拉普拉斯變換

列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。求解s域方程。，得到時域解答。+-R(t)e(t)LC2.從信號分解的角度看拉普拉斯變換事實(shí)上在s域中電感和電容的運(yùn)算阻抗與等幅正弦信號的