第九章常微分方程一、選擇題下列函數(shù)中，可作為某二階微分方程通解的是（）（A),(B),(C),(D).[答案]選(D)解：（A)中有三個任意常數(shù)，(B)，(C)中只有一個任意常數(shù)。方程的特解形式（）(A),(B),(C),(D).[答案]選(A)解：特征方程，不是特征方程的特征根，故可設(shè)。設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解，是任意常數(shù)，則該非齊次線性方程的通解是（）(A),(B),(C),(D).[答案]選(C)解：因為都是二階非齊次線性方程的解，則是對應(yīng)齊次線性方程的解，且線性無關(guān)，故原方程通解為，故選(C)。具有特解的三階常系數(shù)齊次線性方程是（）。(A),(B),(C),(D).[答案]選(B)解：由題設(shè)知為所求常系數(shù)齊次線性微分方程對應(yīng)的特征方程的3個特征根，從而特征方程為，即，故選(B)。二．填空題1.過點且滿足關(guān)系式的曲線方程為 。[答案]填解：方程為一階線性微分方程，通解由條件，得，故得曲線方程。2.已知函數(shù)在任意點處的增量，且當(dāng)時，是的高級無窮小，，則[答案]填解：由條件兩邊同除并取極限得，即為可分離變量微分方程，通解，由條件知所以，。3.若連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系，則 。[答案]填解：方程兩邊對求導(dǎo)得，且滿足通解為，由條件知，所以。4.微分方程的通解 。[答案]填解:原方程化為即以為自變量的一階線性微分方程，則其通解。微分方程（）滿足初始條件的特解為 。[答案]填解：原方程的特征方程為，特征根，通解為，由條件，得，解得，所以特解為。6.設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，并且已知是一個全微分方程，則[答案]填解：由全微分方程得充要條件知即解得由條件，求得，故。三．計算題和應(yīng)用題1.求微分方程滿足初始條件的特解。解：，令，有，，分離變量得，兩邊積分得，，即由，得，即得所求特解為，即。設(shè)是微分方程的一個解，求此微分方程滿足條件得特解。解：以代入原方程，得，解得代入原方程得，即，方程的通解為，由，得，即，故所求特解為。求微分方程的通解，其中為實數(shù)。解：特征方程，特征根為，對應(yīng)的齊次方程通解為，當(dāng)時，設(shè)非齊次方程特解為，代入原方程，得，，當(dāng)時，設(shè)非齊次方程特解為，代入原方程，得，，故通解為設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且滿足方程，求函數(shù)。解：由于，所以，方程兩邊對求導(dǎo)，得，這是關(guān)于的一階線性微分方程，其通解為，又由題設(shè)得，代入上式得，因此。設(shè)函數(shù)滿足微分方程，且其圖形在點處的切線與曲線在該點的切線重合，求函數(shù)。解：特征方程特征根為，對應(yīng)的齊次方程通解為設(shè)原方程特解為，代入原方程解得，故原方程通解是，又已知有公切線，得，即解得，所以。設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程的一個特解為，試確定常數(shù)，并求該方程的通解。解：由題設(shè)特解知原方程的特征根為和，所以特征方程為，即，于是。為確定，只需將代入方程，得，，從而原方程的通解為設(shè)是的解，求函數(shù)。解：設(shè)，，，，，，代入原方程，得，解方程，便得，所以，其中為任意常數(shù)。設(shè)一凸的光滑曲線連接了，，而為曲線上任意一點，已知曲線與線段所圍區(qū)域的面積為，求該曲線方程。解：設(shè)該曲線方程為，則依題意知，方程兩邊對求導(dǎo)，得，整理為，為一階非齊次線性微分方程，通解為又，得，故。設(shè)（1）函數(shù)（）滿足條件和；（2）平行于軸的直線與曲線和分別交于點和點；（3）曲線，直線與軸所圍圖形的面積恒等于線段的長度，求的表達式。解：由題設(shè)可得示意圖如圖，由圖可知，兩端求導(dǎo)，得，即，由一階線性方程求解公式，得，又，得，因此，所求函數(shù)為。從船上向海中沉放某種探測器，設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉，在下沉的過程中還受到阻力和浮力的作用，設(shè)儀器的質(zhì)量為，體積為，海水比重為，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為（）,試求儀器下沉的深度與下沉速度的函數(shù)關(guān)系式.解：取沉放點為原點，軸正向鉛直向下，則有牛頓第二定律得