一種改進(jìn)的模糊圖像去噪方法

1正則化參數(shù)的選取及相關(guān)問題由于各種錯誤和物理限制的存在，圖像系統(tǒng)獲得的真實(shí)圖像是理想圖像的退化形式。如目標(biāo)和相機(jī)之間的相對運(yùn)動、相機(jī)的散焦以及大氣的擾動均會造成圖像的模糊,而測量誤差、量化和傳輸媒介的缺陷又會引入噪聲。故通常假定圖像觀測數(shù)據(jù)的模型為:其中η表示高斯白噪聲,H為線性算子,X為觀測到的模糊圖像,Y為理想圖像。在圖像恢復(fù)中,H為分塊Toeplitz的并且在物理上表達(dá)為成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)(PSF)。圖像去模糊的目標(biāo)就是按照一定的準(zhǔn)則從X求出最接近理想圖像的估計(jì)圖像。最簡單的算法就是對(1)式進(jìn)行反卷積,但由于H算子具有低通特性,使噪聲被放大并導(dǎo)致結(jié)果不穩(wěn)定。為克服這一問題,有很多利用圖像先驗(yàn)知識添加約束的正則化方法。約束通常表達(dá)為正則函數(shù),可建立能量函數(shù)J(Y):其中J1(Y)=‖X-HY‖2為圖像估計(jì)的逼近項(xiàng),J2(Y)=F(Y)為正則化算子項(xiàng),而λ為非負(fù)的正則化參數(shù),它調(diào)整上述兩項(xiàng)對能量函數(shù)的貢獻(xiàn)。令上式取得最小值的Y即為所求的最優(yōu)估計(jì)。在利用圖像的先驗(yàn)知識時,需要在圖像的先驗(yàn)約束和圖像的保真度之間取得平衡,因此正則化參數(shù)十分重要。針對這一問題,有很多關(guān)于如何選取正則化參數(shù)的研究成果。文獻(xiàn)提出了添加邊緣保持的細(xì)節(jié)罰函數(shù)項(xiàng)來保證圖像不會被過度平滑。文獻(xiàn)提出在小波域內(nèi),將多尺度的平滑先驗(yàn)信息作統(tǒng)計(jì)正則化。文獻(xiàn)則進(jìn)一步假定小波系數(shù)遵從歸一化高斯分布模型,直接將邊緣保持內(nèi)嵌于正則化方案中,自適應(yīng)地確定正則化參數(shù)。但以上的求解過程均是迭代算法,計(jì)算的復(fù)雜性相當(dāng)高,而恢復(fù)的效果也不理想。在空域的圖像恢復(fù)也可以轉(zhuǎn)化為頻域系數(shù)的收縮,這大大地簡化了運(yùn)算。但由于它不能很好的表達(dá)邊界等信號的奇異信息,在恢復(fù)受噪聲污染的模糊圖像時,會引起邊界的振鈴效應(yīng),這種效應(yīng)嚴(yán)重的程度取決于圖像模糊函數(shù)的寬度。小波變換具有局部時頻特性,因此應(yīng)用小波變換于圖像去噪取得了很好的效果,它可以在去掉加性噪聲的同時,保持圖像的邊緣等細(xì)節(jié)信息只受較小損失。通常這種去噪方法都是通過小波系數(shù)的收縮來完成的,系數(shù)收縮時通常使用軟門限和硬門限方法。已經(jīng)證明,基于小波的圖像去噪在MSE意義上優(yōu)于其他方法的結(jié)果。由于僅在頻域上進(jìn)行恢復(fù)的結(jié)果很難令人滿意,因此本文提出首先對觀測圖像作小波域的收縮,去掉圖像的噪聲,減小噪聲對反卷積的影響,然后再利用反卷積在頻域進(jìn)行系數(shù)收縮以對圖像去模糊。同時,這兩個步驟只對單個系數(shù)操作,因此盡管需作小波變換和傅立葉變換,與空域的迭代算法相比計(jì)算復(fù)雜性仍比較低。本文的研究是在假定點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)已知的前提下進(jìn)行的。2小波系數(shù)的收縮在對圖像去噪的傳統(tǒng)方法對高斯白噪聲有很好的抑制作用,但同時也使圖像的特征結(jié)構(gòu)變模糊。無論是時域還是頻域,單個尺度下將噪聲從信號中完全分離出來都是很困難的。對于本研究情況,如果已經(jīng)模糊的結(jié)構(gòu)信息在去噪時被進(jìn)一步地?fù)p害,將使得圖像在后續(xù)反卷積過程無法獲得好的質(zhì)量。那么,怎么才能很好地控制去噪的程度呢?即既要其在一定程度上去掉噪聲,又使其邊緣和紋理等結(jié)構(gòu)信息較好地保持,不致因?yàn)檫^度強(qiáng)調(diào)去噪而使圖像平滑。本節(jié)分析保持圖像邊緣的去噪方法。基于小波變換的圖像去噪算法取得了很大的成功,目前大多數(shù)研究集中在小波收縮的門限估計(jì)。Donoho提出的小波域收縮算法已經(jīng)被證明是對帶高斯白噪聲光滑信號的最優(yōu)逼近。對模型(1),去噪的目標(biāo)是恢復(fù)模糊圖像HY,可用K代替,模型(1)變?yōu)?小波變換為正交的線性變換,在每個子帶上式(4)變?yōu)?其中k=0,1,…,2J+j-1,-1<j<-J為分解級數(shù),i=1,2,3指的是三個空間方向?；谛〔ㄊ湛s的去噪方法需求小波系數(shù)的變化函數(shù),即尋找一個函數(shù)D(·)保留大幅值小波系數(shù),而抑制小幅值小波系數(shù)。其中C(·)為收縮因子。Oracle投影子為對信號最優(yōu)的非線性估計(jì),但它依賴于原信號的信息,因此實(shí)際上不可用。我們從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)確定小波系數(shù)的收縮因子。首先假設(shè)式(5)的分別為隨機(jī)信號的實(shí)現(xiàn),然后按照Bayesian框架,在保持圖像邊緣的前提下,確定小波系數(shù)的收縮因子。由于自然圖像通常是分片平滑的,在精細(xì)的高頻尺度下,小波系數(shù)呈現(xiàn)出以零為中心的尖峰。但模糊后的圖像是否仍然符合這一規(guī)律呢?圖1中被高斯模糊后的lena高頻子帶系數(shù)分布直方圖表明,此時系數(shù)仍近似于正態(tài)分布。圖2則是模糊的lena圖像在添加40db噪聲前后兩個子帶的系數(shù)對比情況,從中可清楚地發(fā)現(xiàn),添加噪聲前系數(shù)主要出現(xiàn)在邊緣處,而添加噪聲后,除了邊緣系數(shù)外還保留下來很多的噪聲系數(shù)。噪聲一般出現(xiàn)在高頻子帶,因此不妨假設(shè)此時小波系數(shù)的分布僅與噪聲和邊緣有關(guān),并假定各子帶小波系數(shù)的邊緣分布為高斯分布:又假定邊緣與噪聲是相互獨(dú)立的,故小波系數(shù)的分布為:其中0<ω<1為噪聲的先驗(yàn)概率。(9)式中的三個未知參數(shù)通過極大似然方法進(jìn)行估計(jì),其值滿足下式的要求:按照Bayesian公式,令收縮因子取系數(shù)為邊緣的條件概率:但另一方面,邊緣點(diǎn)并不是孤立的,總是在各子帶中表現(xiàn)出一定的連貫性。因此,在估計(jì)時附加一個邊緣的幾何約束會提高對邊緣系數(shù)和噪聲系數(shù)的區(qū)分。由(11)式,邊緣的收縮因子的值應(yīng)該較大,為此我們希望某個邊緣系數(shù)能通過相鄰的邊緣系數(shù)的先驗(yàn)知識來加強(qiáng)其為邊緣的概率。在實(shí)際圖像中,如果某個系數(shù)位于邊緣線上,則其為邊緣點(diǎn)的概率大大增加。通過對邊緣線上的鄰域點(diǎn)作加權(quán)平均可施加這種幾何的約束關(guān)系:其中αm為權(quán)因子,N(j)為當(dāng)前小波系數(shù)的邊緣鄰域。邊緣鄰域可根據(jù)多尺度邊緣的梯度方向確定,即沿著垂直邊緣的梯度方向搜索若干個系數(shù)構(gòu)成邊緣鄰域。多尺度邊緣的梯度方向?yàn)橥怀叨壬洗怪弊訋Ш退阶訋鄳?yīng)位置系數(shù)的反正切:3拉普拉斯算子若令正則化算子為G,(3)式可表達(dá)為:按照受約束的最小均方準(zhǔn)則,上式的解為X=QY,其中:以頻域來表達(dá)上式,則其中α(u,v)為反卷積求得的頻域收縮因子該解的缺點(diǎn)是需要確定正則化算子G,常使用的線性算子為高斯或拉普拉斯算子。高斯算子給圖象附加平滑的先驗(yàn)信息,而拉普拉斯算子表明圖像的邊緣細(xì)節(jié)比較豐富。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,以高斯算子或拉普拉斯算子作正則化算子,無論是在視覺上還是客觀的MSE度量上均無明顯的區(qū)別。如果選擇高斯算子,在二維情況時,其頻域表達(dá)式為:通過調(diào)整高斯算子的方差σ值,可進(jìn)一步提高對正則化參數(shù)λ控制的機(jī)動性。不管選擇何種算子,我們希望在不同的噪聲水平下,圖像的最優(yōu)恢復(fù)結(jié)果對應(yīng)的參數(shù)λ保持在同一動態(tài)范圍內(nèi),以方便正則化參數(shù)的選取。如果為了穩(wěn)定地估計(jì)最優(yōu)圖像,選擇拉普拉斯算子可能是一個更好的選擇,一方面是它具有保邊緣的特性,另一方面也是因?yàn)樗诒ＷC恢復(fù)質(zhì)量的前提下,選擇最優(yōu)正則化參數(shù)時具有穩(wěn)定性,第4節(jié)給出了實(shí)驗(yàn)分析。有時為了避免估計(jì)正則化算子,當(dāng)理想信號和噪聲的功率譜均未知時,采用Tikhonov正則化反卷積結(jié)果,它與線性時不變的維納反卷積類似,只是假定信號譜比較平坦,其收縮因子表達(dá)為當(dāng)噪聲比較大時,通常需要選擇較大的λ來抑制噪聲,但這時帶來的負(fù)面效應(yīng)就是圖像會被過度平滑,損失圖像的細(xì)節(jié)信息。而如果選擇的λ過小,又會使噪聲得到放大,恢復(fù)的圖像布滿噪聲,降低圖像的恢復(fù)質(zhì)量。此外圖像的頻域表達(dá)無法描述圖像的奇異性,如邊緣特征和紋理等,無法很好地處理噪聲和奇異點(diǎn)的關(guān)系。因此,單純在頻域?qū)κ茉肼曃廴镜哪：龍D像進(jìn)行恢復(fù),特別是在噪聲較大的情況下,結(jié)果不理想。4圖像進(jìn)行反卷積恢復(fù)通過第三節(jié)的分析,如果圖像存在噪聲,必然使得正則化參數(shù)的選擇陷于兩難的境地,只能是在二者之間平衡。因此,我們引入這樣一個想法,先對圖像去噪,再對圖像進(jìn)行反卷積恢復(fù),以在反卷積時選擇較小的正則化參數(shù),降低圖像因邊緣模糊引起的振鈴效應(yīng)。為此要求去噪具有較好的邊緣保持特性,本文的小波去噪算法比較適合于該應(yīng)用。4.1小波變換及正則化算子解釋由于噪聲通常為高頻信息,在最低頻子帶的信噪比較高,而高頻子帶信噪比較低。因此最低頻子帶主要的效應(yīng)是模糊,在小波收縮去噪時可不對此子帶處理。算法的實(shí)現(xiàn)包括以下步驟:1)對圖像作小波變換,對各子帶根據(jù)極大似然估計(jì)方法估計(jì)出公式(10)的三個參數(shù)。然后由公式(11)求出系數(shù)的收縮因子。2)按公式(13)求出各尺度不同位置處邊緣的方向,沿邊緣方向以公式(12)調(diào)整收縮因子,然后對除最低頻子帶外的系數(shù)作收縮,最后進(jìn)行小波逆變換。3)對去噪后的圖像,模糊算子H和正則化算子G作傅立葉變換,確定正則化系數(shù)λ,按公式(17)或(19)收縮傅立葉系數(shù),然后對其進(jìn)行傅立葉反變換,求得最后的結(jié)果圖像。在最優(yōu)解的求解上,該算法與迭代算法相比的優(yōu)點(diǎn)是,它不存在不收斂或解不存在的問題。4.2卷積模板實(shí)驗(yàn)分析為驗(yàn)證本文算法的有效性,選擇兩幅大小為256×256的256等級灰度圖像Lena和Bridge。這兩幅圖像都有一定的典型代表性,Lena圖像通常被認(rèn)為是一幅”好”的圖像,它包含少量的邊緣和紋理細(xì)節(jié),絕大部分區(qū)域?yàn)槠交膹?qiáng)度分布均勻的圖像塊;而Bridge則細(xì)節(jié)比較豐富,存在大量的邊緣和紋理特征,在很大程度上影響著主觀的視覺質(zhì)量。當(dāng)對Lena圖像模糊時,圖像的大部分區(qū)域幾乎無失真,因此相對容易恢復(fù)。由于邊緣及紋理的模糊,Bridge模糊后則可以明顯地感覺到變模糊,這也意味著圖像更難恢復(fù)。此處假定圖像被帶限的高斯函數(shù)濾波后模糊,高斯函數(shù)的離散化卷積模板可表示如下:其中hi,j為卷積模板的(i,j)系數(shù),c為歸一化的常數(shù),從上式可看出卷積模板為對稱矩陣。實(shí)驗(yàn)中的高斯模糊濾波器的方差σ=4,N取為5,添加的高斯白噪聲信噪比BSNR分別為40和20db。為了比較各種正則化方法和本文算法的性能,分別選取Tikhnov正則化、Gaussian算子正則化和laplacian算子正則化算法完成頻域上的恢復(fù),以及該三種算法與去噪算法聯(lián)合分別實(shí)現(xiàn)本文的聯(lián)合小波域和頻域圖像去模糊過程。其中高斯算子的σ=0.5。實(shí)驗(yàn)結(jié)果示于圖3?？傮w上而言,對SNR準(zhǔn)則,本文算法優(yōu)于對應(yīng)的單個頻域正則化恢復(fù)算法。相對單頻域算法,本文算法維持較好恢復(fù)效果的正則化參數(shù)相當(dāng)小,這在一定程度上避免了恢復(fù)圖像的過度平滑;此外,圖像恢復(fù)質(zhì)量相當(dāng)時,正則化參數(shù)的選值范圍相對更寬,減少了參數(shù)的變動而引起恢復(fù)質(zhì)量的劇烈變化,這有利于結(jié)果的穩(wěn)定。比較本文算法選擇的三種算子,顯然laplacian算子得到的最優(yōu)結(jié)果要優(yōu)于另兩個算子。選擇laplacian算子時,與最優(yōu)結(jié)果接近時的正則化參數(shù)λ值范圍較廣,而且對相同噪聲水平的不同圖像,其最優(yōu)λ也十分接近。為驗(yàn)證本文算法中選擇laplacian算子時的該特點(diǎn),在表1列出了各圖像作恢復(fù)時的最優(yōu)λ值,以及與最優(yōu)結(jié)果比較接近的λ參數(shù)范圍(如恢復(fù)的SNR相差不超過0。5db,則認(rèn)為接近)。表1十分清楚地表明了此一特征。如在BSNR為20時,選擇λ=0。0025,BSNR為40時,選擇λ=0.00004各圖像恢復(fù)的結(jié)果均十分接近最優(yōu)。為比較視覺效果,圖4和圖5分別給出了原始bridge和lena圖像以及模糊后的圖像與恢復(fù)結(jié)果?；謴?fù)算法分別為本文laplacian算子的聯(lián)合小波和頻域算法與維納濾波。從圖中可以看出,本文算法的SNR結(jié)果優(yōu)于維納濾波結(jié)果,在視覺質(zhì)量上則明顯地好于維納濾波。圖4(d)產(chǎn)生了大量的橫紋,圖4(f)存在可見的噪聲。圖5(d)和(f)則更是布滿了未去掉的噪聲。而本文算法結(jié)果,則表現(xiàn)出很好的視覺效果,圖4(c)和(f)表現(xiàn)出輕微的模糊,對lena圖像則幾乎看不出失真,僅僅是圖像整體變暗了。5正則化算子的選擇單一頻域正則化算法,由于既要實(shí)現(xiàn)去噪,又要去模糊,而這之間是矛盾的,因此很難同時滿足二者的要求。如果要完全實(shí)現(xiàn)去噪,就需要選擇較大的正則化參