第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.1誤差2.2測量誤差的來源2.3誤差的分類2.4隨機(jī)誤差分析2.5系統(tǒng)誤差分析2.6系統(tǒng)誤差的合成2.7測量數(shù)據(jù)的處理習(xí)題二2.1誤差一、誤差1．真值A(chǔ)0

一個物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實數(shù)值稱作它的真值。要想得到真值，必須利用理想的量具或測量儀器進(jìn)行無誤差的測量。由此可推斷，物理量的真值實際上是無法測得的。這首先因為，“理想”量具或測量儀器即測量過程的參考比較標(biāo)準(zhǔn)(或叫計量標(biāo)準(zhǔn))只是一個純理論值，例如電流的計量標(biāo)準(zhǔn)安培，按國際計量委員會和第九屆國際計量大會的決議，定義為“安培是一恒定電流，若保持在處于真空中相距l(xiāng)米的兩根無限長而圓截面可忽略的平行直導(dǎo)線內(nèi)，則此兩導(dǎo)線之間產(chǎn)生的力為每米長度上等于2×l0-7牛頓”，顯然這樣的電流計量標(biāo)準(zhǔn)是一個理想的而實際上無法實現(xiàn)的理論值，因而，某電流的真值我們無法實際測得，因為沒有符合定義的可供實際使用的測量參考標(biāo)準(zhǔn)，盡管隨著科技水平的提高，可供實際使用的測量參考標(biāo)準(zhǔn)可以愈來愈逼近理想的理論定義值。其次，在測量過程中由于各種土觀、客觀因素的影響，做到無誤差的測量也是不可能的。2．指定值A(chǔ)s

由于絕對真值是不可知的，所以一般由國家設(shè)立各種盡可能維持不變的實物標(biāo)準(zhǔn)(或基準(zhǔn))，以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計量單位的指定值，這在第一章中已有敘述。例如指定國家計量局保存的鉑銥合金圓柱體質(zhì)量原器的質(zhì)量為1kg，指定國家天文臺保存的銫鐘組所產(chǎn)生的特定條件下銫—l33原子基態(tài)的兩個超精細(xì)能級之間躍遷所對應(yīng)的輻射的919263l770個周期的持續(xù)時間為1s(秒)等。國際間通過互相比對保持一定程度的一致。指定值也叫約定真值，一般就用來代替真值。3．實際值A(chǔ)

實際測量中，不可能都直接與國家基準(zhǔn)相比對，所以國家通過一系列的各級實物計量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成量值傳遞網(wǎng)，把國家基準(zhǔn)所體現(xiàn)的計量單位逐級比較傳遞到日常工作儀器或量具’上去。在每一級的比較中，都以上一級標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)作準(zhǔn)確無誤的值，通常稱為實際值，也叫作相對真值，比如如果更高一級測量器具的誤差為本級測量器具誤差的1／3到l／l0，就可以認(rèn)為更高一級測量器具的測得值(示值)為真值。在本書后面的敘述中，不再對實際值和真值加以區(qū)別。4.標(biāo)稱值測量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值。如標(biāo)準(zhǔn)砝碼上標(biāo)出的lk8，標(biāo)準(zhǔn)電阻上標(biāo)出的1Ω，標(biāo)準(zhǔn)電池上標(biāo)出來的電動勢1.0186V，標(biāo)準(zhǔn)信號發(fā)生器度盤上標(biāo)出的輸出正弦波的頻率土00kHz等。由于制造和測量精度不夠以及環(huán)境等因素的影響，標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值。為此，在標(biāo)出測量器具的標(biāo)稱值時，通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級.5．示值由測量器具指示的被測量量值稱為測量器具的示值，也稱測量器具的測得值或測量值，它包括數(shù)值和單位。一般地說，示值與測量儀表的讀數(shù)有區(qū)別，讀數(shù)是儀器刻度盤上直接讀到的數(shù)字。例如以l00分度表示50mA的電流表，當(dāng)指針指在刻度盤上的50處時，讀數(shù)是50，而值是25mA.為便于核查測量結(jié)果，在記錄測量數(shù)據(jù)時，一般應(yīng)記錄儀表量程、讀數(shù)和示值(當(dāng)然還要記載測量方法，連接圖，測量環(huán)境，測量用儀器及編號及測量者姓名、測量日期等)，對于數(shù)字顯示儀表，通常示值和讀數(shù)是統(tǒng)一的。6．測量誤差在實際測量中，由于測量器具不準(zhǔn)確，測量手段不完善，環(huán)境影響，測量操作刁二熟練及工作疏忽等因素，都會導(dǎo)致測量結(jié)果與破測量真值不同。測量儀器儀表的測下導(dǎo)值與破測量真值之間的差異，稱為測量誤差。測量誤差的存在具有必然性和普遍性，人們只能根據(jù)需要和可能，將其限制在一定范圍內(nèi)而不可能完全加以消除。人們進(jìn)行測量的目的，通常是為了獲得盡可能接近真值的測量結(jié)果，如果測量誤差超出一定限度，測量工作及由測量結(jié)果所得出的結(jié)論就失去了意義。在科學(xué)研究及現(xiàn)代生產(chǎn)中，錯誤的測量結(jié)果有時還會使研究工作誤入歧途甚至帶來災(zāi)難性后果。因此，人們不得不認(rèn)真對待測量誤差，研究誤差產(chǎn)生的原因，誤差的性質(zhì)，減小誤差的方法以及對測量結(jié)果的處理等.7．單次測量和多次測量單次(一次)測量是用測量儀器對待測量進(jìn)行一次測量的過程。顯然，為了得知某一量的大小，必須至少進(jìn)行一次測量。在測量精度要求不高的場合，可以只進(jìn)行單次測量。單次測量不能反映測量結(jié)果的精密度，一般只能給出一個量的大致概念和規(guī)律。多次測量是用測量儀器對同一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量的過程。依靠多次測量可以觀察測量結(jié)果一致性的好壞即精密度。通常要求較高的精密測量都須進(jìn)行多次測量，如儀表的比對校準(zhǔn)等。8．等精度測量和非等精度測量在保持測量條件不變的情況下對同一被測量進(jìn)行的多次測量過程稱作等精度測量。這里所說的測量條件包括所有對測量結(jié)果產(chǎn)生影響的客觀和主觀因素如測量中使用的儀器、方法、測量環(huán)境，操作者的操作步驟和細(xì)心程度等。等精度測量的測量結(jié)果具有同樣的可靠性。如果在同一被測量的多次重復(fù)測量中，不是所有測量條件都維持不變(比如，改變了測量方法，或更換了測量儀器，或改變了聯(lián)接方式，或測量環(huán)境發(fā)生了變化，或前后不是一個操作者，或同一操作者按不同的過程進(jìn)行操作，或操作過程中由于疲勞等原因而影響了細(xì)心專致程度等)，這樣的測量稱為非等精度測量或不等精度測量。等精度測量和非等精度測量在測量實踐中部存在，相比較而言，等精度測量意義更為普遍，有時為了驗證某些結(jié)果或結(jié)論，研究新的測量方法、檢定不同的測量儀器時也要進(jìn)行非等精度測量。二、誤差的表示方法1．絕對誤差絕對誤差定義為(2.1-1)式中△x為絕對誤差，x為測得值，A0為被測量真值。前面已提到，真值A(chǔ)0一般無法得到，所以用實際值A(chǔ)代替A0，因而絕對誤差更有實際意義的定義是(2.1-2)對于絕對誤差，應(yīng)注意下面幾個特點：①絕對誤差是有單位的量，其單位與測得值和實際值相同.②絕對誤差是有符號的量，其符號表示出測量值與實際值的大小關(guān)系，若測得值較實際值大，則絕對誤差為正值，反之為負(fù)值.⑧測得值與被測量實際值間的偏離程度和方向通過絕對誤差來體現(xiàn)。④對于信號源、穩(wěn)壓電源等供給量儀器，絕對誤差定義為(2.1-3)式中A為實際值，x為供給量的指示值(標(biāo)稱值).如果沒有特殊說明，本書涉及的絕對誤差，按式(2.1—2)定義計算。與絕對誤差絕對值相等但符號相反的值稱為修正值，一般用符號c表示(2.1-4)測量儀器的修正值，可通過檢定，由上一級標(biāo)準(zhǔn)給出，它可以是表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等形式。利用修正值和儀器示值，可得到被測量的實際值(2.1-5)例如由某電流表測得的電流示值為0.83mA，查該電流表檢定證書，得知該‘乜流表在0.8mA及其附近的修正值部為一0.02mA，那么被測電流的實際值為智能儀器的優(yōu)點之一就是可利用內(nèi)部的微處理器，存貯和處理修正值，直接給出經(jīng)過修正的實際值。2．相對誤差相對誤差用來說明測量精度的高低，又可分為：(1)實際相對誤差實際相對誤差定義為(2.1-6)(2)示值相對誤差示值相對誤差也叫標(biāo)稱相對誤差，定義為(2.1-7)如果測量誤差不大，可用示值相對誤差代替實際誤差，但若和相差較大，兩者應(yīng)加以區(qū)別。(3)滿度相對誤差滿度相對誤差定義為儀器量程內(nèi)最大絕對誤差

與測量儀器滿度值(量程上限值)的百分比值(2.1-8)滿度相對誤差也叫作滿度誤差和引用誤差。由式(2，l—8)可以看出，通過滿度誤差實際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對誤差的最大值(2.1-9)[例]某電壓表s＝1.5，試算出它在0V～100V量程中的最大絕對誤差。解：在0V～l00V量程內(nèi)上限值xm＝100V，由式(2，l—9)，得到一般講，測量儀器在同‘量程不同示值處的絕對誤差實際上未必處處相等，但對使用者來講，在沒有修正值可資利用的情況下，只能按最壞情況處理，即認(rèn)為儀器在同一量程各處的絕對誤差是個常數(shù)且等于△xm，人們把這種處理叫作誤差的整量化。由式(2.l—7)和(2，1—9)可以看出，為了減小測量中的示值誤差，在進(jìn)行量程選擇時應(yīng)盡可能使示值能接近滿度值，一般以示值不小于滿度值的2／3為宜。[例2]某1．0級電流表，滿度值xm＝l00uA，求測量值分別為x1＝100uA，x2＝80uA，x3＝20uA

時的絕對誤差和示值相對誤差。解：由式(2．l—9)得絕對誤差前已敘述，絕對誤差是不隨測量值改變的。而測得值分別為100

A、80A、20A時的示值相對誤差各不相同，分別為可見在同一量程內(nèi)，測得值越小，示值相對誤差越大。由此我們應(yīng)當(dāng)注意到，測量中所用儀表的準(zhǔn)確度并不是測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，只有在示值與滿度值相同時，二者才相等(不考慮其他因素造成的誤差，僅考慮儀器誤差)o.否則測得值的準(zhǔn)確度數(shù)值：降低于儀表的準(zhǔn)確度等級。[例3]要測量100℃的溫度，現(xiàn)有0．5級、測量范圍為0—300℃和l，0級、測量范圍為0～l00℃的兩種溫度計，試分析各自產(chǎn)生的示值誤差。解：對0．5級溫度計，可能產(chǎn)生的最大絕對誤差按照誤差整量化原則，認(rèn)為該量程內(nèi)絕對誤差，因此示值相對誤差同樣可算出用l.0級溫度計可能產(chǎn)生的絕對誤差和示值相對誤差可見用1.0級低量程溫度計測量所產(chǎn)生的示值相對誤差反而小一些，因此選l.0級溫度計較為合適。在實際測量操作時，一般應(yīng)先在大量程下，測得被測量的大致數(shù)值，而后選擇合適的量程再行測量，以盡可能減小相對誤差。(4)分貝誤差在電子測量中還常用到分貝誤差。分貝誤差是用對數(shù)形式表示的一種誤差，單位為分貝(dB).分貝誤差廣泛用于增益(衰減)量的測量中。下面以電壓增益測量為例，引出分貝誤差的表示形式。設(shè)雙口網(wǎng)絡(luò)(比如放大器，或衰減器)輸入、輸出電壓的測得值分別為Ui和Uo，則電壓增益Au，的測得值為(2.1-10)用對數(shù)表示為(2.1-11)Gx稱為增益測得值的分貝值。設(shè)A為電壓增益實際值，其分貝值G=20lgA，由式(2.1-2)及(2.1-11)，有(2.1-12)(2.1-13)由此得到(2.1-15)(2.1-14)式中顯然與增益的相對誤差有關(guān)，可看成相對誤差的對數(shù)表現(xiàn)形式，稱之為分貝誤差。若令，則式(2．1-15)可寫成(2.1-16)上式即為分貝誤差的一般定義式。若測量的是功率增益，分貝誤差定義為(2.1-17)[例4]某電壓放大器，當(dāng)輸入端電壓Ui＝1.2mV時，測得輸出電壓Uo＝6000mV，設(shè)Ui誤差可忽略，Uo的測量誤差求：放大器電壓放大倍數(shù)的絕對誤差，相對誤差及分貝誤差。解：電壓放大倍數(shù)電壓分貝增益輸出電壓絕對誤差因忽略Ui誤差，所以電壓增益絕對誤差電壓增益相對誤差壓增益分貝誤差實際電壓分貝增益當(dāng)值很小時，分貝增益定義式(2.1-16)和(2.1-17)中的可分別利用下面近似式得到：(電壓、電流類增益)(功率類增益)(2.1-18)(2.1-19)如果在測量中，使用的儀器是用分貝作單位，則分貝誤差直接按來計算。例如某衰減器標(biāo)稱值為20dB，經(jīng)檢定為20.5dB，則其分貝誤差為三、容許誤差測量儀器的誤差是產(chǎn)生測量誤差的主要因素。為了保證測量結(jié)果的準(zhǔn)確可靠，必須對測量儀器本身的誤差有一定要求。容許誤差是指測量儀器在規(guī)定使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍。容許誤差有時就稱作儀器誤差，它是恒量電子測量儀器質(zhì)量的最重要的指標(biāo)。在§1．4節(jié)曾敘及的電子測量儀器的精度和穩(wěn)定性等，都可用儀器的容許誤差來表征。我國部頒標(biāo)準(zhǔn)S了943—82《電子測量儀器誤差的一般規(guī)定》中規(guī)定：用工作誤差、固有誤差、影響誤差和穩(wěn)定誤差等四項指標(biāo)來描述電子測量儀器的容許誤差。為了保證測量儀器示值的準(zhǔn)確，儀器出廠前必須由檢驗部門對其誤差指標(biāo)進(jìn)行檢驗，在使用期間，必須定期進(jìn)行校準(zhǔn)檢定，凡各項誤差指標(biāo)在容許誤差范圍之內(nèi)的，視為合格，否則就不能算做合格的儀器，其測量結(jié)果失去可靠性而只能供作參考。儀器的容許誤差的表示方法可以用絕對誤差，也可用相對誤差.

l.工作誤差工作誤差是在額定工作條件下儀器誤差的極限值，即來自儀器外部的各種影響量和儀器內(nèi)部的影響特性為任意可能的組合時，儀器誤差的最大極限值。這種表示方法的優(yōu)點是，對使用者非常方便，可以利用工作誤差直接估計測量結(jié)果誤差的最大范圍。缺點是，工作誤差是在最不利的組合條件下給出的，而實際使用中構(gòu)成最不利組合的可能性很小。因此，用儀器的工作誤差來估計測量結(jié)果的誤差會偏大.2．固有誤差固有誤差是當(dāng)儀器的各種影響量和影響特性處于基準(zhǔn)條件(參見§1.l表1.1-1)時，儀器所具有的誤差。這些基準(zhǔn)條件是比較嚴(yán)格的，所以這種誤差能夠更準(zhǔn)確地反映儀器所固有的性能，便于在相同條件下，對同類儀器進(jìn)行比較和校準(zhǔn).3．影響誤差影響誤差是當(dāng)一個影響量在其額定使用范圍內(nèi)(或一個影響特性在其有效范圍內(nèi))取任一值，而其它影響量和影響特性均處于基準(zhǔn)條件時所測得的誤差。例如溫度誤差、頻率誤差等。只有當(dāng)某一影響量在工作誤差中起重要作用時才給出，它是一種誤差的極限.4.穩(wěn)定誤差穩(wěn)定誤差是儀器的標(biāo)稱值在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下，于規(guī)定時間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極限。習(xí)慣上以相對誤差形式給出或者注明最長連續(xù)工作時間。[例5]用4寺位數(shù)字電壓表2V檔和200V檔測量1V電壓，該電壓表各檔容許誤差均為個字，試分析用上述兩檔分別測量時的相對誤差。解：①用2V檔測量，仿照式(2.1-20)，絕對誤差為為了便于觀察，式中前一項是容許誤差的相對值部分，后一項是絕對值部分即土土個字誤差，此時后者影響較小，測量數(shù)值(顯示值)為0．9996到1．0004V間，有效顯示數(shù)字是四位到五位。相對誤差為②用200V檔測量，絕對誤差為可見此時土1個字誤差占了誤差的絕大部分(為了便于觀察，100~10”未按科學(xué)計數(shù)法規(guī)定寫成1.0×10-2，由于此時最末位士個字誤差或最末位為l時代表的數(shù)值是10mV或0．01V，因此此時電壓表顯示為0.99～1.01V，顯示有效數(shù)字為二到三位。相對誤差為2.2測量誤差的來源一、儀器誤差儀器誤差又稱設(shè)備誤差，是由于設(shè)計、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化、機(jī)械部件磨損、疲勞等因素而使測量儀器設(shè)備帶有的誤差。儀器誤差還可細(xì)分為：讀數(shù)誤差，包括出廠校準(zhǔn)定度不準(zhǔn)確產(chǎn)生的校準(zhǔn)誤差、刻度誤差、讀數(shù)分辨力有限而造成的讀數(shù)誤差及數(shù)字式儀表的量化誤差(±l個字誤差)；儀器內(nèi)部噪聲引起的內(nèi)部噪聲誤差；元器件疲勞、老化及周圍環(huán)境變化造成的穩(wěn)定誤差；儀器響應(yīng)的滯后現(xiàn)象造成的動態(tài)誤差；探頭等輔助設(shè)備帶來的其他方面的誤差。

減小儀器誤差的主要途徑是根據(jù)具體測量任務(wù)，正確地選擇測量方法和使用測量儀器，包括要檢查所使用的儀器是否具備出廠合格證及檢定合格證，在額定工作條件下按使用要求進(jìn)行操作等。量化誤差是數(shù)字儀器特有的一種誤差，減小由它帶給測量結(jié)果準(zhǔn)確度的影響的辦法是設(shè)法使顯示器顯示盡可能多的有效數(shù)字。這在§2．1節(jié)(例4)中已有說明。二、使用誤差使用誤差又稱操作誤差，是由于對測量設(shè)備操作使用不當(dāng)而造成的誤差。比如有些設(shè)備要求正式測量前進(jìn)行預(yù)熱而未預(yù)熱；有些設(shè)備要求水平放置而傾斜或垂直放置；有的測量設(shè)備要求實際測量前須進(jìn)行校準(zhǔn)(例如：普通萬用表測電阻時應(yīng)校零，用示波器觀測信號的幅度前應(yīng)進(jìn)行幅度校準(zhǔn)等)而未校準(zhǔn)，等等。減小使用誤差的最有效途徑是提高測量操作技能，嚴(yán)格按照儀器使用說明書中規(guī)定的方法步驟進(jìn)行操作。三、人身誤差人身誤差主要指由于測量者感官的分辨能力、視覺疲勞＼固有習(xí)慣等而對測量實驗中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準(zhǔn)確而造成的誤差。比如指針式儀表刻度的讀取，諧振法測量L、C、Q時諧振點的判斷等，都很容易產(chǎn)生誤差.

減小人身誤差的主要途徑有：提高測量者的操作技能和工作責(zé)任心；采用更合適的測量方法(比如用交叉讀數(shù)法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的諧振點判斷法，見§2．5)；采用數(shù)字式顯示的客觀讀數(shù)以避免指針式儀表的讀數(shù)視差等。四、影響誤差影響誤差是指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。對電子測量而言，最主要的影響因素是環(huán)境溫度、電源電壓和電磁干擾等。當(dāng)環(huán)境條件符合要求時，影響誤差通?？刹挥杩紤]。但在精密測量及計量中，需根據(jù)測量現(xiàn)場的溫度、濕度、電源電壓等影響數(shù)值求出各項影響誤差，以便根據(jù)需要做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理。五、方法誤差顧名思義，亢法誤差是指所使用的測量方法不當(dāng)，或測量所依據(jù)的理論不嚴(yán)密，或?qū)y量計算公式不適當(dāng)簡化等原因而造成的誤差，方法誤差也稱作理論誤差。例如當(dāng)用于均值檢波器測量交流電壓時，平均值檢波器輸出正比于被測正弦電壓的平均值U，而交流電壓表通常以有效值U定度，兩者間理論上應(yīng)有下述關(guān)系：(2.2—1)式中，稱為定度系數(shù)。由于，和均為無理數(shù)，因此當(dāng)用有效值定度時，只好取近似公式(2.2—2)顯然兩者相比，就產(chǎn)生了誤差，這種由于計算公式的簡化或近似造成的誤差就是一種理論誤差.方法誤差通常以系統(tǒng)誤差(主要是恒值系統(tǒng)誤差，見§2．3)形式表現(xiàn)出來。因為產(chǎn)生的原因是由于方法、理論、公式不當(dāng)或過于簡化等造成，因而在掌握了具體原因及有關(guān)量值后，原則上都可以通過理論分析和計算或改變測量方法來加以消除或修正。對于內(nèi)部帶有微處理器的智能儀器，要做到這一點是不難的。[例1]§1．4及圖1．4-2曾敘及測量儀表的負(fù)載效應(yīng)，現(xiàn)重畫于圖2．2-1中。圖中虛框代表一臺輸入電阻Rv＝10MQ，儀器工作誤差(也稱不確定度)為“±0．005％讀數(shù)±2個字”的數(shù)字電壓表，讀數(shù)

Uo＝l0.0025V.試分析儀器誤差和方法誤差。解；由圖2．2-1，可以計算出(2.2-3)(2.2-4)圖2.2-1方法差別例即比值只Rs/RV愈大，示值相對誤差也愈大，這是一種方法誤差。將RV＝10MΩ，Rs＝10kΩ代入式(2．2-4)，得方法誤差：電壓表本身的儀器誤差可見這里的方法誤差較儀器誤差大得多。不過，由式(2．2-3)可以看出，測得值U。與實際值U。間有確定的函數(shù)關(guān)系，只要知道和，那么這里的方法誤差可以得到修正。實際上由式(2。2—3)可以得到(2.2—5)利用式(2．2-5)修正公式和有關(guān)數(shù)據(jù)，得到2.3誤差的分類一、系統(tǒng)誤差在多次等精度測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或當(dāng)條件改變時按某種規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。如果系差的大小、符號不變而保持恒定，則稱為恒定系差，否則稱為變值系差。變值系差又可分為累進(jìn)性系差、周期性系差和按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。圖2．3—l描述了幾種不同系差的變化規(guī)律：直線。表示恒定系差；直線厶屬變值系差中累進(jìn)性系差，這里表示系差遞增的情況，也有遞減系差；曲線c表示周期性系差，在整個測量過程中，系差值成周期性變化；曲線d屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。圖2.3—1系統(tǒng)誤差的特征0系統(tǒng)誤差的主要特點是，只要測量條件不變，誤差即為確切的數(shù)值，用多次測量取平均值的辦法不能改變或消除系差，而當(dāng)條件改變時，誤差也隨之遵循某種確定的規(guī)律而變化，具有可重復(fù)性。例如，標(biāo)準(zhǔn)電池的電動勢隨環(huán)境溫度變化而變化，因而實際值和標(biāo)稱值間產(chǎn)生一定的誤差△E，它遵循下面規(guī)律：式中E20和Et，分別為環(huán)境溫度為+20C和tC時標(biāo)準(zhǔn)電池的電動勢。又如，在§2．2中敘述的、用均值檢波電壓表測量正弦電壓有效值采用近似公式(2．2-2)代替理論公式(2．2-1)，因而帶來理論誤差，用提高均值檢波器的準(zhǔn)確度或用多次測量取平均值等方法都無法加以消除，只有用修正公式的辦法來減小誤差。正是由于這類誤差的規(guī)律性，因此把理論誤差歸入系統(tǒng)誤差一類中。歸納起來，產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因有：①測量儀器設(shè)計原理及制作上的缺陷。例如刻度偏差，刻度盤或指針安裝偏心，使用過程中零點漂移，安放位置不當(dāng)?shù)?②測量時的環(huán)境條件如溫度、濕度及電源電壓等與儀器使用要求不一致等。⑧采用近似的測量方法或近似的計算公式等o

④測量人員估計讀數(shù)時習(xí)慣偏于某“方向等原因所引起的誤差。系統(tǒng)誤差體現(xiàn)了測量的正確度，系統(tǒng)誤差小，表明測量的正確度高.二、隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差又稱偶然誤差，是指對同一量值進(jìn)行多次等精度測量時，其絕對值和符號均以不可預(yù)定的方式無規(guī)則變化的誤差。就單次測量而言，隨機(jī)誤差沒有規(guī)律，其大小和方向完全不可預(yù)定，但當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，其總體服從統(tǒng)計學(xué)規(guī)律，多數(shù)情況下接近正態(tài)分布(見§2．4)。隨機(jī)誤差的特點是，在多次測量中誤差絕對值的波動有一定的界性，即具有有界性；當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會幾乎相同，即具有對稱性；同時隨機(jī)誤差的算術(shù)十均值趨于零，即具有抵償性。由于隨機(jī)誤差的上述特點，可以通過對多次測量取平均值的辦法，來減小隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的影響，或者用其他數(shù)理統(tǒng)計的辦法對隨機(jī)誤差加以處理。表2．3—l是對某電阻進(jìn)行15次等精度測量的結(jié)果。表中Ri為第i次測得值，R為測得值的算術(shù)平均值，定義為殘差，由于電阻的真值R無法測得，我們用R

代替R，，用ui表示隨機(jī)誤差的性質(zhì)。為了更直觀地考察測量值的分布規(guī)律，，用圖2．3—2表示測量結(jié)果的分布情況，圖中小黑點代表各次測量值。表2.3—l由表2．3—l和圖2，3—2可以看出以下幾點：①正誤差出現(xiàn)了7次，負(fù)誤差出現(xiàn)了6次，兩者基本相等，正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率基本相等，反映了隨機(jī)誤差的對稱性.

②誤差的絕對值介于(0，0．1)、(0．1，0．2)、(0．2，0．3)、(0．3，．0．4)、(0．4，0．5)區(qū)間，大于0，5的個數(shù)分別為6＼3、2、1、2個和1個，反映了絕對值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大，絕對值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小.圖2.3—2電阻測量值的隨機(jī)誤差3∑ui＝0，正負(fù)誤差之和為零，反映了隨機(jī)誤差的抵償性。④所有隨機(jī)誤差的絕對值都沒有超過某一界限，反映了隨機(jī)誤差的有界性。這雖然僅是一個例子，但也基本反映出隨機(jī)誤差的一般特性。產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因包括：①測量儀器元器件產(chǎn)生噪聲，零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等.②溫度及電源電壓的無規(guī)則波動，電磁干擾，地基振動等o⑧測量人員感覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。隨機(jī)誤差體現(xiàn)了多次測量的精密度，隨機(jī)誤差小，則精密度高。三、粗大誤差在一定的測量條件下，測得值明顯地偏離實際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差，簡稱粗差。確認(rèn)含有粗差的測得值稱為壞值，應(yīng)當(dāng)剔除不用，因為壞值不能反映被測量的真實數(shù)值.…

產(chǎn)生粗差的主要原因包括：①測量方法不當(dāng)或錯誤。例如用普通萬用表電壓檔直接測量高內(nèi)阻電源的開路電壓，用普通萬用表交流電壓檔測量高頻交流信號的幅值等.②測量操作疏忽和失誤。例如未按規(guī)程操作，讀錯讀數(shù)或單位，或記錄及計算錯誤等.⑧測量條件的突然變化。例如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾，機(jī)械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。這類變化雖然也帶有隨機(jī)性，但由于它造成的示值明顯偏離實際值，因此將其列入粗差范疇。上述對誤差按其性質(zhì)進(jìn)行的劃分，具有相對性，某些情況可互相轉(zhuǎn)化。例如較大的系差或隨機(jī)誤差可視為粗差；當(dāng)電磁干擾引起的誤差數(shù)值較小時，可按隨機(jī)誤差取平均值的辦法加以處理，而當(dāng)其影響較大又有規(guī)律可循時，可按系統(tǒng)誤差引入修正值的辦法加以處理；又如后面要敘述的諧振法測量時的誤差，是一種系統(tǒng)誤差，但實際調(diào)諧時，即使同一個人用同等的細(xì)心程度進(jìn)行多次操作，每次調(diào)諧結(jié)果也往往不同，從而使誤差表現(xiàn)出隨機(jī)性。最后指出，除粗差較易判斷和處理外，在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差一般都是同時存在的，需根據(jù)各自對測量結(jié)果的影響程度，作不同的具體處理：①系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差的影響，此時可基本上按純粹系差處理，而忽略隨機(jī)誤差。②系差極小或已得到修正，此時基本上可按純粹隨機(jī)誤差處理.③系差和隨機(jī)誤差相差不遠(yuǎn)，二者均不可忽略，此時應(yīng)分別按不同的辦法來處理，然后估計其最終的綜合影響.2.4隨機(jī)誤差分析如前所述，多次等精度測量時產(chǎn)生的隨機(jī)誤差及測量值服從統(tǒng)計學(xué)規(guī)律。本節(jié)從工程應(yīng)用角度，利用概率統(tǒng)計的一些基本結(jié)論，研究隨機(jī)誤差的表征及對含有隨機(jī)誤差的測量數(shù)據(jù)的處理方法。一、測量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差1．?dāng)?shù)學(xué)期望設(shè)對被測量x進(jìn)行n次等精度測量，得到n個測得值由于隨機(jī)誤差的存在，這些測得值也是隨機(jī)變量。定義n個測得值(隨機(jī)變量)的算術(shù)平均值為(2.4-1)式中x也稱作樣本平均值。當(dāng)測量次數(shù)時，樣本平均值；的極限定義為測得值的數(shù)學(xué)期望(2.4-2)式中x。也稱作總體平均值。假設(shè)上面的測得值中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則第i次測量得到的測得值xi與真值義(前已敘述，由于真值A(chǔ)o一般無法得知，通常即以實際值A(chǔ)代替)間的絕對誤差就等于隨機(jī)誤差(2.4-3)式中分別表示絕對誤差和隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值：當(dāng)時，上式中第-項即為測得值的數(shù)學(xué)期望Ex，所以由于隨機(jī)誤差的抵償性，當(dāng)測量次數(shù)n趨于無限大時，趨于零：(2.4—5)(2.4—4)即隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望等于零。由式(2．4-4)和(2．4-5)，得(2.4—6)即測得值的數(shù)學(xué)期望等于被測量真值A(chǔ).實際上不可能做到無限多次的測量，對于有限次測量，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時近似認(rèn)為(2.4—7)(2.4—8)由上述分析我們得出，在實際測量工作中，當(dāng)基本消除系統(tǒng)誤差又剔除粗大誤差后，雖然仍有隨機(jī)誤差存在，但多次測得值的算術(shù)平均值很接近被測量真值，因此就將它作為最后測量結(jié)果，并稱之為被測量的最佳估值或最可信賴值。2．剩余誤差當(dāng)進(jìn)行有限次測量時，各次測得值與算術(shù)平均值之差，定義為剩余誤差或殘差：對上式兩邊分別求和，有(2.4—10)3．方差與標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)誤差反映了實際測量的精密度即測量值的分散程度。由于隨機(jī)誤差的抵償性，因此不能用它的算術(shù)平均值來估計測量的精密度，而應(yīng)使用方差進(jìn)行描述。方差定義為，時測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計平均值，即(2.4-11)因為隨機(jī)誤差，故(2.4-12)由于實際測量中都帶有單位(mV，uA等)，因而方差是相應(yīng)單位的平方，使用不甚方便。為了與隨機(jī)誤差單位一致，將式(2．4—12)兩邊開方，取正平方根，得(2.4-13)式中。定義為測量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差或均方根誤差，也稱標(biāo)準(zhǔn)偏·差，簡稱標(biāo)準(zhǔn)差反映了測量的精密度，小表示精密度高，測得值集中，大表示精密度低，測得值分散。有時還會用到平均誤差，定義為(2.4-14)二、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布1．正態(tài)分布前面提到，隨機(jī)誤差的大小、符號雖然顯得雜亂無章，事先無法確定，但當(dāng)進(jìn)行大量等精度測量時，隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計規(guī)律。理論和測量實踐都證明，測得值與隨機(jī)誤差都按一定的概率出現(xiàn)。在大多數(shù)情況下，測得值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。表現(xiàn)在隨機(jī)誤差上，等于零的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率最大，隨著隨機(jī)誤差絕對值的加大，出現(xiàn)的概率急劇減小。測得值和隨機(jī)誤差的這種統(tǒng)計分布規(guī)律，稱為正態(tài)分布，如圖2．4-1和圖2．4-2所示。圖2.4—1的正態(tài)分布曲線圖2.4—2的正態(tài)分布曲線設(shè)測得值xi在x到x+dx+d囂范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為P，它正比于dx，并與x值有關(guān)，即(2.4-15)式中g(shù)(x)定義為測量值xi的分布密度函數(shù)或概率分布函數(shù)，顯然(2.4-16)對于正態(tài)分布的xi，其概率密度函數(shù)為(2.4-17)同樣，對于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，有(2.4-18)由圖2．4-2可以看到如下特征：①愈小，愈大，說明絕對值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小，隨著的加大，很快趨于零，即超過一定界限的隨機(jī)誤差實際上幾乎不出現(xiàn)(隨機(jī)誤差的有性).②大小相等符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等(隨機(jī)誤差的對稱性和抵償性).③愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明測得值愈集中，精密度高，反之。愈大，曲線愈平坦，表明測得值分散，精密度低。正態(tài)分布又稱高斯分布，在誤差理論中占有重要的地位。由眾多相互獨立的因素的隨機(jī)微小變化所造成的隨機(jī)誤差，大多遵從正態(tài)分布，例如信號源的輸出幅度、輸出頻率等，都具有這一特性。2．均勻分布在測量實踐中，還有其他形式的概率密度分布形式，其中均勻分布是僅次于正態(tài)分布的一種重要分布，如圖2.4-3所示。均勻分布的特點是，在誤差范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相同。在電子測量中常見有下列幾種情況：圖2.4-3均勻分布的概率密度①儀表度盤刻度誤差。由于儀表分辨力決定的某一范圍內(nèi)，所有的測量值可以認(rèn)為是一個值。例如用500V量程交流電壓表測得值是220V，實際上由于分辨不清，實際值可能是219V一221V之間的任何一個值，在該范圍內(nèi)可認(rèn)為有相同的誤差概率。②數(shù)字顯示儀表的最低位±l(或幾個字”的誤差。例如末位顯示為5，實際值可能是4—6間任一值，也認(rèn)為在此范圍內(nèi)具有相同的誤差概率。數(shù)字式電壓表或數(shù)字式頻率計中都有這種現(xiàn)象。③由于舍入引起的誤差。去掉的或進(jìn)位的低位數(shù)字的概率是相同的。例如被舍掉的可能是5或4或3或2或土，被進(jìn)位的可以認(rèn)為是5、6、7、8、9中任何一個。在圖2．4-3所示的均勻分布中，概率密度(2．4-19)可以證明，對式(2．4-19)所示的均勻分布，有數(shù)學(xué)期望(2.4-20)(2.4-21)方差標(biāo)準(zhǔn)差(2.4-22)限于篇幅，本書下面僅討論正態(tài)分布。3．極限誤差對于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，根據(jù)式(2．4-18)，可以算出隨機(jī)誤差落在區(qū)間的概率為(2.4-23)該結(jié)果的含義可理解為，在進(jìn)行大量等精度測量時，隨機(jī)誤差落在司的測得值的數(shù)目占測量總數(shù)目的68．3％，或者說，測得值落范圍(該范圍在概率論中稱為置信區(qū)間)內(nèi)的概率(在概率論中稱為置信概率)為0，683.同樣可以求得隨機(jī)誤差落在和范圍內(nèi)的概率為(2.4—24)(2.4—25)即當(dāng)測得值xi的置信區(qū)間為和

時的置信概率分別為0.954和0．997。由式(2．4-25)可見，隨機(jī)誤差絕對值大于30的概率(可能性)僅為0．003或0．3％，實際上出現(xiàn)的可能極小，因此定義(2．4-26)4.貝塞爾公式在上面的分析中，隨機(jī)誤差，其中xi為第i次測得值，A為真值，為xi的數(shù)學(xué)期望，且在這種前提下，我們用測量值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差來表征測量值的分散程度，并有實際上不可能做到的無限次測量。當(dāng)n為有限值時，我們用殘差；來近似或代替真正的隨機(jī)誤差，用表示有限次測量時標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計值，可以證明(2.4—27)上式稱為貝塞爾公式。式中，若n＝l，則值不定，表明測量的數(shù)據(jù)不可靠.標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估計值還可以用下式求出(2.4—28)這是貝塞爾公式的另一種表達(dá)形式。有時簡稱標(biāo)準(zhǔn)差估計值。仍以§2．3中表2．3—土為例，可以算出5．算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差如果在相同條件下對同一被測量分成m組，每組重復(fù)n次測量，則每組測得值都有一個平均值.由于隨機(jī)誤差的存在,這些算術(shù)平均值也不相同，而是圍繞真值有一定的分散性，即算術(shù)平均值與真值間也存在著隨機(jī)誤差。我們用來表示算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，由概率論中方差運算法則可以求出(2.4—29)同樣定義為算術(shù)平均值的極限誤差，與真值間的誤差超過這一范圍的概率極小，因此，測量結(jié)果可以表示為

z＝算術(shù)平均值土算術(shù)平均值的極限誤差(2.4—30)在有限次測量中，以表示算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值，有因為實際測量中n只能是有限值，所以有時就將和叫作測量值的標(biāo)準(zhǔn)差和測量平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，從而將式(2．4-27)和(2．4-31)直接寫成(2.4—31)(2.4—32)(2.4—33)三、有限次測量下測量結(jié)果的表達(dá)由于實際上只可能做到有限次等精度測量，因而我們分別用式(2，4-32)和(2．4—33)來計算測得值的標(biāo)準(zhǔn)差和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，如前所敘，實際上是兩種標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值。由式(2．4-33)可以看到，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差隨測量次數(shù)n的增大而減小，但減小速度要比n的增長慢得多，即僅靠單純增加測量次數(shù)來減小標(biāo)準(zhǔn)差收益不大，因而實際測量中n的取值并不很大，一般在土0到20之間。對于精密測量，常需進(jìn)行多次等精度測量，在基本消除系統(tǒng)誤差并從測量結(jié)果中剔除壞值后，測量結(jié)果的處理可按下述步驟進(jìn)行：①列出測量數(shù)據(jù)表；②計算算術(shù)平均值，殘差及；③按式(2．4—32)、(2．4—33)計算和；④給出最終測量結(jié)果表達(dá)式：[例1]用電壓表對某一電壓測量土0次，設(shè)已消除系統(tǒng)誤差及粗大誤差，測得數(shù)據(jù)及有關(guān)計算值如表2.4—1，試給出最終測量結(jié)果表達(dá)式。表2.4—1解：計算得到，表示的計算正確。進(jìn)一步計算得到：因此該電壓的最終測量結(jié)果為2.5系統(tǒng)誤差分析一、系統(tǒng)誤差的特性排除粗差后，測量誤差等于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的代數(shù)和(2.5-1)假設(shè)進(jìn)行n次等精度測量，并設(shè)系差為恒值系差或變化非常緩慢即，則的算術(shù)平均值為(2.5-2)當(dāng)n足夠大時，由于隨機(jī)誤差的抵償性，的算術(shù)平均值趨于零，于是由式(2．5-2)得到(2.5-3)可見當(dāng)系差與隨機(jī)誤差同時存在時，若測量次數(shù)足夠多，則各次測量絕對誤差的算術(shù)平均值等于系差.這說明測量結(jié)果的準(zhǔn)確度不僅與隨機(jī)誤差有關(guān)，更與系統(tǒng)誤差有關(guān)。由于系差不易被發(fā)現(xiàn)，所以更須重視，由于它不具備抵償性，所以取平均值對它無效，又由于系差產(chǎn)生的原因復(fù)雜，因此處理起來比隨機(jī)誤差還要困難。消弱或消除系差的影響，必須仔細(xì)分析其產(chǎn)生的原因，根據(jù)所研究問題的特殊規(guī)律，依賴測量者的學(xué)識、經(jīng)驗，采取不同的處理方法。研究系統(tǒng)誤差，有利于判斷測量的正確性和可靠性，有時還能啟發(fā)人們發(fā)現(xiàn)新事物和新規(guī)律。歷史上雷萊曾利用不同的來源和方法制取氮氣，測得氮氣的平均密度和標(biāo)準(zhǔn)偏差如下：化學(xué)法提?。海?，2997l

＝0．00041

大氣中提?。?2．31022=0．00019平均值之差：＝0．01051標(biāo)準(zhǔn)偏差：二、系統(tǒng)誤差的判斷實際測量中產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因多種多樣，系統(tǒng)誤差的表現(xiàn)形式也不盡相同，但仍有一些辦法可用來發(fā)現(xiàn)和判斷系統(tǒng)誤差.1．理論分析法凡屬由于測量方法或測量原理引入的系差，不難通過對測量方法的定性定量分析發(fā)現(xiàn)系差，甚至計算出系差的大小.§2．2[例1]中用內(nèi)阻不高的電壓表測量高內(nèi)阻電源電壓就是一例.2．校準(zhǔn)和比對法當(dāng)懷疑測量結(jié)果可能會有系差時，可用準(zhǔn)確度更高的測量儀器進(jìn)行重復(fù)測量以發(fā)現(xiàn)系差。測量儀器定期進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定并在檢定證書中給出修正值，目的就是發(fā)現(xiàn)和減小使用被檢儀器進(jìn)行測量時的系統(tǒng)誤差。也可以采用多臺同型號儀器進(jìn)行比對，觀察比對結(jié)果以發(fā)現(xiàn)系差，但這種方法通常不能查覺和衡量理論誤差。3，改變測量條件法系差常與測量條件有關(guān)，如果能改變測量條件，比如更換測量人員、測量環(huán)境、測量方法等，根據(jù)對分組測量數(shù)據(jù)的比較，有可能發(fā)現(xiàn)系差。上述2、3兩種方法都屬于實驗對比法，一般用來發(fā)現(xiàn)恒值系差.4．剩余誤差觀察法剩余誤差觀察法是根據(jù)測量數(shù)據(jù)數(shù)列各個剩余誤差的大小、符號的變化規(guī)律，以判斷有無系差及系差類型。為了直觀，通常將剩余誤差制成曲線，如圖2．5—1，其中圖(a)表示剩余誤差大體上正負(fù)相同，無明顯變化規(guī)律，可以認(rèn)為不存在系差；圖(b)呈現(xiàn)線性遞增規(guī)律，可認(rèn)為存在累進(jìn)性系差；圖(c)中大小和符號大體呈現(xiàn)周期性，可認(rèn)為存在周期性系差；圖(d)變化規(guī)律復(fù)雜，大體上可認(rèn)為同時存在線性遞增的累進(jìn)性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。剩余誤差法主要用來發(fā)現(xiàn)變值系統(tǒng)誤差。圖2.5—1系統(tǒng)誤差的判斷5．公式判斷法通常有馬林科夫判據(jù)和阿卑—赫梅特判據(jù)，可分別用采判定有無累進(jìn)性系差和周期性系差，詳細(xì)論述可參閱參考書目[1]、[3]等。三、消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因很多，如果能找出并消除產(chǎn)生系差的根源或采取措施防止其影響，那將是解決問題最根本的辦法。例如：，采用的測量方法和依據(jù)的原理正確，后面我們將專門討論能有效消弱系統(tǒng)誤差的測量技術(shù)與方法。選用的儀器儀表類型正確，準(zhǔn)確度滿足測量要求，如要測量工作于高頻段的電感電容，應(yīng)選用高頻參數(shù)測試儀(如LCCG—l高頻LC測量儀)，而測量工作于低頻段的電感電容就應(yīng)選用低頻參數(shù)測試儀(如WQ—5電橋、QSl8A萬能電橋).

測量儀器應(yīng)定期檢定、校準(zhǔn)，測量前要正確調(diào)節(jié)零點，應(yīng)按操作規(guī)程正確使用儀器。尤其對于精密測量，測量環(huán)境的影響不能忽視，必要時應(yīng)采取穩(wěn)壓＼恒溫、電磁屏蔽等措施。條件許可時，可盡量采用數(shù)字顯示儀器代替指針式儀器，以減小由于刻度不準(zhǔn)及分辨力不高等因素帶來的系統(tǒng)誤差。提高測量人員的學(xué)識水平、操作技能，去除一些不良習(xí)慣，盡量消除帶來系統(tǒng)誤差的主觀原因。四、消弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術(shù)1．零示法§1．3節(jié)已對零示法有過敘述。零示法是在測量中，把待測量與已知標(biāo)準(zhǔn)量相比較，當(dāng)二者的效應(yīng)互相抵消時，零示器示值為零，此時已知標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)值就是被測量的數(shù)值。零示法原理，如圖2．5—2，圖中z為被測量，s為同類可調(diào)節(jié)已知標(biāo)準(zhǔn)量，②為零示器。零示器的種類有光電檢流計、電流表、電壓表、示波器、調(diào)諧指示器、耳機(jī)等，只要零示器的靈敏度足夠高，測量的準(zhǔn)確度基本上等于標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度，而與零示器的準(zhǔn)確度無關(guān)，從而可消除由于零示器不準(zhǔn)所帶來的系統(tǒng)誤差。電位差計是采用零示法的典型例子，圖2．5—3·是電位差計的原理圖。其中Es，為標(biāo)準(zhǔn)電壓源，Rs為標(biāo)準(zhǔn)電阻，Ux為待測電壓，⑧為零示器，一般用檢流計。圖2.5—2零示法原理圖圖2.5—3電位差計原理圖調(diào)Rs使ID＝0，則被測電壓Ux＝Us，即(2．5—4)由式(2．5—4)也可以看到，被測量Ux的數(shù)值僅與標(biāo)準(zhǔn)電壓源Es。及標(biāo)準(zhǔn)電阻R2、Rl有關(guān)，只要標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度很高，被測量的測量準(zhǔn)確度也就很高。零示法廣泛用于阻抗測量(各類電橋)、電壓測量(電位差計及數(shù)字電壓表)、頻率測量(拍頻法、差頻法)及其他參數(shù)的測量中。2．替代法替代法又稱置換法。它是在測量條件不變的情況下，用一標(biāo)準(zhǔn)已知量去替代待測量，通過調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量而使儀器的示值不變，于是標(biāo)準(zhǔn)量的值即等于被測量值。由于替代前后整個測量系統(tǒng)及儀器示值均未改變，因此測量中的恒定系差對測量結(jié)果不產(chǎn)生影響，測量準(zhǔn)確度主要取決于標(biāo)準(zhǔn)已知量的準(zhǔn)確度及指示器靈敏度。圖2．5—4是替代法在精密電阻電橋中的應(yīng)用實例。首先接入未知電阻Rx，調(diào)節(jié)電橋使之平衡，此時有(2.5-5)由于都有誤差，若利用它們的標(biāo)稱值來計算Rx，則Rx也帶有誤差，即(2.5-6)圖2.5-4替代法測量電阻進(jìn)一步計算，得到(2.5-7)為了消除上述誤差，現(xiàn)用可變標(biāo)準(zhǔn)電阻只。代替Rs，并在保持不變的情形下通過調(diào)節(jié)只，使電橋重新平衡，因而得到(2.5-8)比較式(2．5-6)、(2．5-8)，得到可見測量誤差△Rs

，僅決定于標(biāo)準(zhǔn)電阻的誤差△Rs，而與。的誤差無關(guān)o

(2.5-9)3．補(bǔ)償法補(bǔ)償法相當(dāng)于部分替代法或不完全替代法。這種方法常用在高頻阻抗、電壓、衰減量等測量中。下面以諧振法(如Q表)測電容為例說明這種測量方法。圖2．5-5為測量原理圖，其中"為高頻信號源，L為電感，C0為分布電容，Cx為待測電容。調(diào)節(jié)信號源頻率使電路諧振(此時電壓表指示最大)，設(shè)諧振頻率為了f0，可以算出：或(2.5-10)由式(2．5—10)，容易得到僅接入Cs1時有接入Cx后有比較兩式得到(2.5-13)(2.5-12)(2.5-11)圖2．5—5諧振法測電容圖2．5—6補(bǔ)償法測電容4.對照法對照法又叫交換法。適于在對稱的測量裝置中用來檢查其對稱性是否良好，或從兩次測量結(jié)果的處理中，消弱或消除系統(tǒng)誤差?，F(xiàn)以圖2．5-7所示的等臂電橋為例說明這種方法。先按圖2．5—7(a)的接法，調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)電阻只。使電橋平衡，設(shè)此時標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值為Rs1，因而(2.5-14)圖2．5—7對照法測電阻(a)(b)然后按圖2.5—7(b)，交換位置，調(diào)節(jié)Rs使電橋至平衡。設(shè)此時標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值為Rs2，因而(2.5-15)如果，則由式(2．5—14)和(2，5—15)得到和(所以稱為等臂電橋).如果，則，可由式(2．5—14)、(2．5—15)得到：(2.5-17)從而消除了誤差對測量結(jié)果的影響。5，微差法微差法又叫虛零法或差值比較法，實質(zhì)上是一種不徹底的零示法(見§1．3及圖1.3—2).在零示法中須仔細(xì)調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)量s使之與x相等，這通常很費時間，有時甚至不可能做到。微差法是允許標(biāo)準(zhǔn)量s與被測量x的效應(yīng)不完全抵消，而是相差一微小量測得，＝x-s，即可得到待測量x（2.5-18）

x的示值相對誤差為（2.5-19）由于

，所以

，又由于

，所以（2.5-20）6．交叉讀數(shù)法交叉讀數(shù)法是上述對照法的一種特殊形式。現(xiàn)以諧振頻率測量為例，說明交叉讀數(shù)法的具體應(yīng)用。LC諧振電路諧振曲線如圖2．5—8所示，由于在諧振點附近曲線平坦，電壓變化很小，很難判斷真正的諧振狀態(tài)，因而引入一定的方法誤差：（2.5-21）式中Q為電路品質(zhì)因數(shù)，△U／U0主要由電壓表分辨力不高造成。如果Q＝100，△U／U0＝2％，則得到示值誤差：圖2.5—8交叉讀數(shù)法為了削弱該誤差，改用交叉讀數(shù)法，在諧振點兩旁曲線斜率較大處(一般取)，分別測出兩個失諧頻率f1和f2，則待測頻率可用下式求出：(2.5-22)由此產(chǎn)生的理論誤差為(2.5-23)若Q值仍為100，可算得相對誤差要比直接用諧振法測量小得多。上面介紹的幾種測試技術(shù)，主要用來消弱或消除恒定系差。關(guān)于累進(jìn)性系差和周期性系差的消除技術(shù)，可參考有關(guān)資料(如參考書目[3]).五、消除或消弱系統(tǒng)誤差的其他方法1．利用修正值或修正因數(shù)加以消除根據(jù)測量儀器檢定書中給出的校正曲線、校正數(shù)據(jù)或利用說明書中的校正公式對測得值進(jìn)行修正，是實際測量中常用的辦法，這種方法原則上適用于任何形式的系差2.1節(jié)式(2．1—5))。2．隨機(jī)化處理所謂隨機(jī)化處理，是指利用同一類型測量儀器的系統(tǒng)誤差具有隨機(jī)特性的特點，對同一被測量用多臺儀器進(jìn)行測量，取各臺儀器測量值的平均值做為測量結(jié)果。通常這種方法并不多用，首先費時較多，其次需要多臺同類型儀器，這往往是做不到的。3．智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除在智能儀器中，可利用微處理器的計算控制功能，消弱或消除儀器的系統(tǒng)誤差。利用微處理器消弱系差的方法很多，下面介紹兩種常用的方法.①直流零位校準(zhǔn)這種方法的原理和實現(xiàn)都比較簡單，首先測量輸入端短路時的直流零電壓(輸入端直流短路時的輸出電壓)，將測得的數(shù)據(jù)存貯到校準(zhǔn)數(shù)據(jù)存貯器中，而后進(jìn)行實際測量，并將測得值與調(diào)出的直流零電壓數(shù)值相減，從而得到測量結(jié)果。這種方法在數(shù)字電壓表中得到廣泛應(yīng)用。②自動校準(zhǔn)測量儀器中模擬電路部分的漂移、增益變化、放大器的失調(diào)電壓和失調(diào)電流等都會給測量結(jié)果帶來系差，可以利用微處理器實現(xiàn)自動校準(zhǔn)或修正。圖2.5—9是一運算放大器誤差修正原或修正。圖2.5—9是一運算放大器誤差修正原理圖。圖中君表示由于溫漂、時漂等造成的運算放大器等效失調(diào)電壓，為被測電壓，為基準(zhǔn)電壓，Ao為運放開環(huán)增益，R1、R2為分壓電阻，當(dāng)開關(guān)K接于Ux。處時，運放輸出(2.5-24)圖2．5—9運放的自動校準(zhǔn)原理設(shè)，上式得(2.5-25)若想得到理想穩(wěn)定的閉環(huán)放大倍數(shù)比如1(或土0)，必須使P=1(或P=10)以及和。實際上

不可能做到，而由于溫漂等因素和P始終保持1(或始終保持10)也難以實現(xiàn)。此時，可以利用微處理器軟件實現(xiàn)定時修正：通過程序控制輸入端開關(guān)依次接通Ux、Us。和地，分別得到輸出電壓Uox、Uos、Uoz并加以存貯：由上述三式得到(2.5-26)(2.5-27)(2.5-28)(2.5-29)2.6系統(tǒng)誤差的合成一、誤差的綜合設(shè)最終測量結(jié)果為y，·各分項測量值為(分項測量值可以是單臺儀器中各部件的標(biāo)稱值，如上述電橋中的和，也可以是間接測量中各單項測量值，如上述功率測量中的U、I或U、R或I、R)，它們滿足函數(shù)關(guān)系(2.6-1)并設(shè)各xi間彼此獨立，xi絕對誤差為△xi，y的絕對誤差為△y，則將上式按泰勒級數(shù)展開(2.6-2)略去上式右邊高階項，得因此(2.6-3)當(dāng)式(2，6—3)中各分項的符號不能確定時，通常采用保守的辦法計算誤差，即將式中各分項取絕對值后再相加(2.6-4)也可以用相對誤差形式表示總的合成誤差(2.6-5)同樣，當(dāng)各分項符號不明確時，為可靠起見，取絕對值相加(2.6-6)式(2．6—3)、(2．6—4)、(2．6—5)、(2．6—6)為系統(tǒng)誤差合成公式，其中式(2，6—3)、(2．6—4)也稱為絕對誤差傳遞公式，式(乙6—5)、(2，6—6)稱為相對誤差傳遞公式。二、常用函數(shù)的合成誤差1．和差函數(shù)的合成誤差設(shè)兩式相減得絕對誤差(2.6-7)當(dāng)△x1、△x2符號不能確定時，有(2.6-8)相對誤差(2.6-9)或者寫成(2.6-10)對于和函數(shù)，由式(2．6—8)得(2.6-11)(2.6-12)對于差函數(shù)由式(2．6—12)可見，對于差函數(shù)，當(dāng)測得值x1、x2：較接近時，可能造成較大的誤差。[例1]電阻R1＝1kΩ，R2＝2kΩ，相對誤差均為±5％，求串聯(lián)后總的相對誤差。解：串聯(lián)后電阻由式(2．6—11)得串聯(lián)后電阻的相對誤差[例2]用指針式頻率計測量放大電路的頻帶寬度，儀器的滿度值fm＝10MHz，準(zhǔn)確度±1％，測得高端截止頻率fh＝10MHz，低端截止頻率fl

＝9MHz，試計算頻帶寬度的合成誤差解：儀器的最大絕對誤差即頻帶寬度的相對誤差由此可見，所用儀器為1.0級，準(zhǔn)確度已很高，但最終測量結(jié)果的相對誤差卻很大。這是由于fk、fl比較接近的緣故，屬于測量方法不當(dāng)，應(yīng)利用掃頻儀等來測量。2．積函數(shù)的合成誤差設(shè)，由式(2．6—3)，得絕對誤差相對誤差(2.6-13)若都有正負(fù)號，則(2.6-14)[例3]已知電阻上電壓及電流的相對誤差分別為，計算功率，則戶的相對誤差是多少?解：由式(2.6—14)積函數(shù)誤差合成公式得3．商函數(shù)的合成誤差設(shè)絕對誤差分別為，則由式(2．6—3)得絕對誤差(2.6-15)若都帶有正負(fù)號，則相對誤差(2.6-16)(2.6-17)[例4]用間接法測電阻上直流電流。已知電阻lkΩ，標(biāo)稱值相對誤差，電壓表測得該電阻端電壓U＝2.0V，相對誤差。求流過該電流I及其相對誤差。解由式(2．6—17)得相對誤差4.冪函數(shù)的合成誤差設(shè)為常數(shù)，將積函數(shù)的合成誤差公式略加推廣得(2.6-18)(2.6-19)當(dāng)帶有正負(fù)號時[例5]電流流過電阻產(chǎn)生的熱量Q＝0.24I2Rt，若已知求.

解：直接引用式(2．6-14)、(2．6-19)結(jié)論，有5．積商冪函數(shù)的合成誤差設(shè)，式中k、m、n、p均為常數(shù)，綜合上述各函數(shù)合成誤差公式，直接得到(2.6-20)當(dāng)都有正負(fù)號時，有(2.6-21)[例6]用電橋法測電阻，，已知，各電阻絕對誤差均為正值：，求測得值只。的相對誤差.解：各已知電阻的相對誤差為由于這里各誤差符號均為已知，故引用公式(2．6-20)，得如果僅知道，則應(yīng)引用誤差合成公式(2．6-21)，有三、系統(tǒng)不確定度系統(tǒng)誤差可能變化的最大幅度稱為系統(tǒng)不確定度，用表示，相對系統(tǒng)不確定度用，表示，例如測量儀器的基本誤差、工作誤差等都屬此類.1．系統(tǒng)不確定度的絕對值合成法用和分別代替式(2．6-4)中的和，用代替式(2．6-6)中，得到(2.6-22)(2.6-23)[例7]用和