2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系新課引入新課講授隨堂練習(xí)課堂小結(jié)

學(xué)習(xí)目標(biāo)010203探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的過程，體會(huì)從特殊到一般的思想.新課引入1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？2.一元二次方程的求根公式是什么？新課講授—一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

同學(xué)們，選擇自己喜歡的方法解下列方程，并完成下表：

(1)x2-2x+1=0；

(2)x2-

x-1=0；

(3)

2x2-3x

+1=0.方程abcx1x2x1+x2x1x2x2-2x+1=0x2-

x-1=0

2x2-3x

+1=01121-111-211-12-31觀察上述表格，回答下列問題：(1)每個(gè)方程的兩根之和與它的系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系？(2)每個(gè)方程的兩根之積與它的系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系？思考：對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程，這種關(guān)系都成立嗎？

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，有兩個(gè)根分別為x1，x2，那么：你能試著證明嗎？一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)有兩個(gè)根：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=前提條件為：b2-4ac≥0．歸納小結(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：韋達(dá)定理例

利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：(1)x2+7x+6=0；(2)2x2-3x-2=0.解：(1)這里a=1，b=7，c=6.Δ

=b2-4ac=72+4×1×6=49-24=25>0，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么.x1+x2=-7，

x1x2=6.解：(2)這里a=2，b=-3，c=-2.Δ

=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=9+16=25>0，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么.x1+x2=，

x1x2=-1.隨堂練習(xí)1.利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：(1)x2-3x-1=0；(2)3x2+2x-5=0.解：(1)這里a=1，b=-3，c=-1.Δ

=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13＞0，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么x1+x2=3

，x1x2=-1.解：(2)這里a=3，b=2，c=-5.Δ

=b2-4ac=22-4×3×(-5)=4+60=64＞0，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.2.小明和小華分別求出了方程9x2+6x-1=0的根.小明：x1=x2=；小華：x1=，x2=.他們的答案正確嗎？說說你的判斷方法.解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1、x2，其中x1=2

.所以：x1·x2=3x2=-7即：x2=答：方程的另一個(gè)根是3.已知方程x2-

x-7=0的一個(gè)根是3，求它的另一個(gè)根.利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：（1）x(3x-1)-1=0；

1.解：（1）原方程變形為3x2-x-1=0.這里a=3，b=-1，c=-1.∵?=b2-4ac=(-1)2-4×3×(-1)=13>0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么x1+x2=，x1

x2=.（2）原方程變形為x2+3x-1=0.這里a=1，b=3，c=-1.∵?=b2-4ac=32-4×1×(-1)=13>0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么x1+x2=-3，x1

x2=-1.（2）(2x+5)(x+1)=x+7.解下列方程：（1）12x2+7x+1=0；

2.解：（1）a=12，b=7，c=1.∵b2-4ac=72-4×12×1=1.∴x=.∴x1=，x2=.（2）原方程變形為8x2+10x-3=0.這里a=8，b=10，c=-3.∵b2-4ac=102-4×8×(-3)=196，∴x=.∴x1=，x2=.

（2）0.8x2+x=0.3；（3）3x2+1=x；

解：（3）3x2-x+1=0.這里a=3，b=，c=1.∵b2-4ac=(

)2-4×3×1=0.∴x1=x2=.（4）原方程變形為x2-4x-8=0.配方，得(x-2)2=12.開平方，得x-2=.∴x1=，x2=.（4）(x+1)(x-3)=2x+5.4.已知方程5x2+kx-6=0的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k

的值.如果一個(gè)三角形兩邊的長分別等于一元二次方程x2-17x+66=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么這個(gè)三角形的第三邊的長可能是20嗎？為什么？4.解：不可能，理由如下：在方程x2-17x+66=0中，a=1，b=-17，c=66，∴?=b2-4ac=(-17)2-4×1×66=25>0.∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.設(shè)方程x2-17x+66=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=17.∵17＜20，不滿足三角形的兩邊之和大于第三邊，∴這個(gè)三角形的第三邊的長不可能是20.課堂小結(jié)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，那么：x1+x2=，x1x2=①方程必須是一元二次方程的一般形式；②判斷b2-4ac≥0；③使用x1+x2

時(shí)，注意“－”不要漏寫.第二章一元二次方程2.6應(yīng)用一元二次方程第1課時(shí)

實(shí)踐探究探究1問題1：怎樣設(shè)未知數(shù)？

這個(gè)問題中存在什么樣的等量關(guān)系？

如何用勾股定理列方程？(1)設(shè)梯子頂端下滑xm時(shí)，梯子底端滑動(dòng)的距離和它相等．先求梯子底端原來離墻的距離：________________________．等量關(guān)系是：梯子頂端現(xiàn)在離地的距離與梯子底端現(xiàn)在離墻的距離組成了直角三角形的兩條________，斜邊是____________，根據(jù)勾股定理可得：________________________________，解得_______________．

直角邊梯子的長度(8－x)2＋(6＋x)2＝102x1＝0，x2＝2探究2x1＝0是否符合題意？∵x＝0時(shí)，梯子沒有下滑，∴____________________________．問題2：你能根據(jù)(1)的分析解答出(2)嗎？x＝0不合題意，舍去，x＝2(2)解：梯子底端原來離墻的距離為設(shè)梯子頂端下滑

xm時(shí)，梯子底端滑動(dòng)的距離和它相等．由題意，得

(12－x)2＋(5＋x)2＝132，解得

x1＝0(不合題意，舍去)，x2＝7.答：梯子頂端下滑7m時(shí)，梯子底端滑動(dòng)的距離和它相等．

列方程解應(yīng)用題的步驟是：①審；②設(shè)；③列；④解；⑤驗(yàn)；⑥答．歸納應(yīng)用舉例例1

如圖,某海軍基地位于A處,在其正南方向200n

mile處有一目標(biāo)B,在B的正東方向200n

mile處有一重要目標(biāo)C.小島D位于AC的中點(diǎn),島上有一補(bǔ)給碼頭;小島F位于BC的中點(diǎn).一艘軍艦沿A出發(fā),經(jīng)B到C勻速巡航,一艘補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā),沿南偏西方向勻速直線航行,欲將一批物品送達(dá)軍艦.ABDCEF北東20020045°

∵AD=CD

BF=CF解：連接DF,∴DF是△ABC的中位線∴DF//AB且DF=

AB∵AB⊥BC

AB=BC=200∴DF⊥BC

DF=100（海里）BF=100（海里）ABDCEF北東200?20045°若設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船的行程DE為x海里,則相遇時(shí)軍艦的行程應(yīng)為AB+BE=2x海里.EF=AB+BF-(AB+BE)

=(300-2x)海里

答:相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了約118.4海里.整理得解這個(gè)方程得

在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程x2＝1002＋(300－2x)23x2－1200x＋100000＝0∴x1＝200－

≈118.4

x2＝200＋

（不合題意，舍去）

ABDCEF北東200?20045°例2

如圖是長方形雞場(chǎng)的平面示意圖，一邊靠墻，另外三邊用竹籬笆圍成，且竹籬笆總長為35m.(1)若所圍的面積為150m2，試求此長方形雞場(chǎng)的長和寬；(2)若墻長為18m，則(1)中長方形雞場(chǎng)的長和寬分別是多少？(3)能圍成面積為160m2的長方形雞場(chǎng)嗎？說說你的理由．ABCD方法指導(dǎo)：(1)若設(shè)BC＝xm，則AB的長為m，若設(shè)AB＝xm，則BC＝(35－2x)m，再利用題設(shè)中的等量關(guān)系，可求出(1)的解；(2)墻長為18m，意味著BC邊的長應(yīng)小于或等于18m，從而對(duì)(1)的結(jié)論進(jìn)行甄別即可；(3)可借助(1)的解題思路構(gòu)建方程，依據(jù)方程的根的情況可得結(jié)論．ABCD

解：(1)設(shè)BC＝xm，則AB＝CD＝m.依題意可列方程為x·＝150，整理，得x2－35x＋300＝0.解這個(gè)方程，得x1＝20，x2＝15.當(dāng)BC＝20m時(shí)，AB＝CD＝7.5m，當(dāng)BC＝15m時(shí)，AB＝CD＝10m.即這個(gè)長方形雞場(chǎng)的長與寬分別為20m，7.5m或15m，10m；ABCD

(2)當(dāng)墻長為18m時(shí)，顯然BC＝20m時(shí)，所圍成的雞場(chǎng)會(huì)在靠墻處留下一個(gè)缺口，不合題意，應(yīng)舍去，此時(shí)所圍成的長方形雞場(chǎng)的長與寬只能是15m，10m；ABCD(3)不能圍成面積為160m2的長方形雞場(chǎng)．理由如下：設(shè)BC＝xm，則AB＝m．依題意可列方程為x·＝160，整理，得x2－35x＋320＝0.此時(shí)Δ＝352－4×1×320＝1225－1280＜0，原方程沒有實(shí)數(shù)根，從而知用35m的籬笆按圖示方式不可能圍成面積為160m2的雞場(chǎng)．ABCD

例3

在寬為20m，長為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路(兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向互相垂直)(如圖1)，把耕地分成大小相等的六塊作試驗(yàn)田，要使試驗(yàn)田面積為570平方米，問道路應(yīng)為多寬？圖(1)解：設(shè)道路寬為x米，如圖(2)利用平移知識(shí)可列方程為(32－2x)(20－x)＝570，化簡得x2－36x＋35＝0，解這個(gè)方程得x1＝1，x2＝35＞32(不合題意，舍去)，∴道路寬應(yīng)為1米．圖(2)練一練前年生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元.隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，試求乙種藥品成本的年平均下降率？解：設(shè)乙種藥品的年平均下降率為y.根據(jù)題意，列方程，得6000(1－y)2=3600.解方程，得y1≈0.225，y2≈1.775.根據(jù)問題的實(shí)際意義，乙種藥品成本的年平均下降率約為22.5％.隨堂練習(xí)1．直角三角形的兩條直角邊的和為7，面積是6，則斜邊長為

(

)A．

B．5

C．

D．72．從正方形鐵皮的一邊切去一個(gè)2cm寬的長方形，若余下的長方形面積是48cm2，則原來正方形鐵皮的面積是_________．

B64cm23