第27講導(dǎo)數(shù)斜率型問(wèn)題1．函數(shù)，其中．（Ⅰ）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）已知當(dāng)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，在上至少存在一點(diǎn)，使成立，求的取值范圍；（Ⅲ）求證：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，，有．【解答】解：（Ⅰ），；①當(dāng)，即時(shí)，，故在，上是增函數(shù)；②當(dāng)，即時(shí)，故在，，上是增函數(shù)；在，上是減函數(shù)；③當(dāng)時(shí)，在，，，上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)；（Ⅱ），，故在上至少存在一點(diǎn)，使成立可化為，即，故；（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)，且，（1）；故，任意，而由導(dǎo)數(shù)的定義可得，對(duì)任意，，，有．2．已知函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線與軸平行．（1）求實(shí)數(shù)的值及的極值；（2）若對(duì)任意，，，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)，，令（1），，解得；令，則，解得，即有極小值為（1）；（6分）（2）由，可得，令，則，其中，，，又，，則，即，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是，．（12分）3．已知函數(shù)．（1）若在區(qū)間，上同時(shí)存在函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）如果對(duì)任意、，，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，；，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則極大值為（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由，得在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則函數(shù)的圖象大致如下圖所示在區(qū)間上同時(shí)存在函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，，解得，艮．（2）由（1）可知，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，由，得，，令，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，則在，上恒成立，即在，上恒成立，又因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，的最小值為，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．4．已知函數(shù)，，，是兩個(gè)任意實(shí)數(shù)且．（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍；（3）求證：．【解答】解：（1）因?yàn)?，?分）則切線的斜率為，切點(diǎn)為，所以函數(shù)的圖象在處切線方程為；（3分）（2）由得，因?yàn)楹瘮?shù)在實(shí)數(shù)集上是增函數(shù)，所以恒成立，（5分）則恒成立，令，由得，（7分）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．（9分）（3）要證明，即證明，只需證明，不妨設(shè)，，只需證明，只需證明對(duì)恒成立，（11分）設(shè)，則，設(shè)，當(dāng)時(shí)恒成立，則遞增，，即，（13分）則，故函數(shù)遞增，有恒成立，即對(duì)恒成立，所以，即．（16分）5．已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求證：．【解答】解：（1），，故（2分）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減；（4分）（2）對(duì)任意，不等式對(duì)任意的，不等式恒成立，在上恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，（5分）設(shè)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．（7分）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，（9分）即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為（10分）（3）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．（11分）令，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，，（13分）在上單調(diào)遞增，（1），．（14分）6．已知函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線與直線平行．（1）求實(shí)數(shù)的值及的極值；（2）若對(duì)任意，，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解（1）由題意得，，點(diǎn)，（1）處的切線與直線平行．又（1），即，解得．令，解得：，當(dāng)，解得：，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，解得：，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在時(shí)取極小值，極小值為．（6分）（2）由，可得，令，則，其中，，，又，，則，即，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．（12分）7．已知函數(shù)為非零常數(shù)）．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）若恒成立，求的值；（Ⅲ）對(duì)于增區(qū)間內(nèi)的三個(gè)實(shí)數(shù)，，（其中，證明：．【解答】解：，，令，得，當(dāng)，，可得在單調(diào)遞減，當(dāng)，，可得在單調(diào)遞增，的最小值為．，①若時(shí)，恒小于零，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，不符合恒成立．②若時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，可知在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，可知在單調(diào)遞增，的最小值為，恒成立，即，，構(gòu)造函數(shù)，則有，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，結(jié)合，，．解法由已知可知，，則，先證，，要證，只要證，即證，只要證，即證，設(shè)，，在內(nèi)是減函數(shù)，，，，，同理可證，．解法令，得，下面證明，令，則恒成立，即為增函數(shù)，，構(gòu)造函數(shù)，，，，故時(shí)，，即得，同理可證，即，因?yàn)樵龊瘮?shù)，得，即在區(qū)間，上存在，使，同理，在區(qū)間，上存在使，由為增函數(shù)，得．8．已知函數(shù)．（1）若對(duì)任意的，都有，求的值；（2）對(duì)于函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，，，證明：．【解答】解：（1）的定義域?yàn)?，，①若時(shí)，恒小于零，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，不符合恒成立．②若時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，可知在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，可知在，單調(diào)遞增，，恒成立，即，，構(gòu)造函數(shù)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值1，，．（2）由已知可知，，則，先證，，要證，只要證，即證，只要證，即證，設(shè)，，在內(nèi)是減函數(shù)，，，，，同理可證．．9．已知函數(shù)，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）在函數(shù)的圖象上取定兩點(diǎn)，，，，記直線的斜率為，問(wèn)：是否存在，，使成立？若存在，求出的值（用，表示）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）若，則對(duì)一切，，不符合題意，若，，令可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由題意可得，有①，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值（1），當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)①成立，綜上；由題意可知，，令，則可知在，上單調(diào)遞增，且，，由可知，時(shí)取等號(hào)，，，，，由零點(diǎn)判定定理可得，存在，，使得且，綜上可得，存在，，使成立10．已知函數(shù)，其中．（1）若對(duì)一切，恒成立，求的取值集合．（2）在函數(shù)的圖象上取定兩點(diǎn)，，，，記直線的斜率為，問(wèn)：是否存在，，使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）若，則對(duì)一切，函數(shù)，這與題設(shè)矛盾，，，令，可得令，可得，函數(shù)單調(diào)減；令，可得，函數(shù)單調(diào)增，時(shí)，取最小值對(duì)一切，恒成立，則①令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單