4.第1課時乘法公式學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．掌握乘法公式及其推廣．(重點)2．會用乘法公式求相應(yīng)事件的概率．(難點)1．通過乘法公式及其推廣的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助乘法公式及其推廣解題，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．小明在登陸電子郵箱時，發(fā)現(xiàn)忘了密碼的最后一位，只記得是數(shù)字0～9中的任意一個．問題：他在嘗試登陸時，第一次失敗，第二次成功的概率是多少？[提示]eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,10)．知識點乘法公式及其推廣(1)乘法公式：P(BA)＝P(A)P(B|A)，其中P(A)＞0．(2)乘法公式的推廣：設(shè)Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0則P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1其中P(A3|A1A2)表示已知A1與A2都發(fā)生時A3發(fā)生的概率，P(A1A2A3)表示A1，A2P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)＞0)之間存在怎樣的等量關(guān)系？[提示]P(AB)＝P(B)P(A|B)，其中P(B)＞0．1．已知P(B|A)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2,5)，則P(AB)等于()A．eq\f(5,6)B．eq\f(9,10)C．eq\f(2,15)D．eq\f(1,15)C[P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故選C．]2．若P(B|A)＝eq\f(1,3)，則P(eq\o(B,\s\up7(－))|A)＝________．eq\f(2,3)[P(eq\o(B,\s\up7(－))|A)＝1－P(B|A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)．]類型1乘法公式及其應(yīng)用利用乘法公式解決實際問題的一般步驟是什么？[提示](1)判斷該應(yīng)用題是否可應(yīng)用乘法公式求解；(2)根據(jù)已知條件表示出各事件的概率；(3)代入乘法公式求出所要求的概率．【例1】一袋中裝10個球，其中3個黑球、7個白球，先后兩次從中隨意各取一球(不放回),求兩次取到的均為黑球的概率．[解]設(shè)Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1,2)，則A1A2表示事件“兩次取到的均為黑球”．由題設(shè)知P(A1)＝eq\f(3,10)，P(A2|A1)＝eq\f(2,9)，于是根據(jù)乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝eq\f(3,10)×eq\f(2,9)＝eq\f(1,15)．1．(變結(jié)論)在本例條件不變的情況下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率．[解]用A表示第一次取得黑球，則P(A)＝eq\f(3,10)，用B表示第二次取得白球，則P(B|A)＝eq\f(7,9)．故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(3,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(7,30)．2．(變結(jié)論)在本例條件不變的情況下，兩次均取得白球的概率．[解]用Bi表示第i次取得白球，i＝1,2，則B1B2表示事件“兩次取到的均是白球”．由題意得P(B1)＝eq\f(7,10)，P(B2|B1)＝eq\f(2,3)．∴P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝eq\f(7,10)×eq\f(2,3)＝eq\f(7,15)．乘法公式給出了一種計算“積事件”概率的求法，即當直接計算PAB不好計算時，可先求出PA及PB|A或先求出PB及PA|B，再利用乘法公式PAB＝PAPB|A＝PBPA|B求解即可.eq\o([跟進訓(xùn)練])1．某廠的產(chǎn)品中有4%的廢品，在100件合格品中有75件一等品，則在該廠的產(chǎn)品中任取一件是一等品的概率為________．0.72[設(shè)A為“任取的一件是合格品”，B為“任取的一件是一等品”．因為P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up7(－)))＝96%，P(B|A)＝75%，且事件B發(fā)生時事件A一定發(fā)生，所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A×0.75＝0.72．]類型2乘法公式的推廣及應(yīng)用【例2】設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為eq\f(1,2)，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為eq\f(7,10)，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為eq\f(9,10)．試求透鏡落下三次而未打破的概率．[解]以Ai(i＝1,2,3)表示事件“透鏡第i次落下打破”，以B表示事件“透鏡落下三次而未打破”，則B＝eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3，故有P(B)＝P(eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3)＝P(eq\o(A,\s\up7(－))1)P(eq\o(A,\s\up7(－))2|eq\o(A,\s\up7(－))1)P(eq\o(A,\s\up7(－))3|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,10)))＝eq\f(3,200)．該類問題在概率中被稱為“機遇問題”，求解的關(guān)鍵是分清事件之間的互相關(guān)系，充分利用P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2eq\o([跟進訓(xùn)練])2．在100件產(chǎn)品中有5件是次品，從中連續(xù)無放回地抽取3次，問第三次才取得次品的概率．(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)[解]設(shè)Ai表示“第i次取得次品”(i＝1,2,3)，B表示“第三次才取到次品”，則B＝eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2A3，∴P(B)＝P(eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2A3)＝P(eq\o(A,\s\up7(－))1)P(eq\o(A,\s\up7(－))2|eq\o(A,\s\up7(－))1)P(A3|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2)＝eq\f(95,100)×eq\f(94,99)×eq\f(5,98)≈0.046．類型3乘法公式的綜合應(yīng)用1．P(B|A)與P(eq\o(B,\s\up7(－))|A)存在怎樣的等量關(guān)系？[提示]P(B|A)＋P(eq\o(B,\s\up7(－))|A)＝1．2．若A1，A2，A3是互斥事件，且A1∪A2∪A3＝Ω，則A1∪A2∪A3的對立事件與eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3相同嗎？[提示]相同．【例3】已知某廠家的一批產(chǎn)品共100件，其中有5件廢品．但采購員不知有幾件廢品，為慎重起見，他對產(chǎn)品進行不放回的抽樣檢查，如果在被他抽查的5件產(chǎn)品中至少有一件是廢品，則他拒絕購買這一批產(chǎn)品．求采購員拒絕購買這批產(chǎn)品的概率．[思路點撥]本題可借助對立事件及乘法公式的推廣進行求解．[解]設(shè)Ai＝{被抽查的第i件產(chǎn)品是廢品}，i＝1,2,3,4,5．設(shè)A＝{采購員拒絕購買}，則A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5，從而eq\o(A,\s\up7(－))＝eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3eq\o(A,\s\up7(－))4eq\o(A,\s\up7(－))5，由題意，得P(eq\o(A,\s\up7(－))1)＝eq\f(95,100)，P(eq\o(A,\s\up7(－))2|eq\o(A,\s\up7(－))1)＝eq\f(94,99)，P(eq\o(A,\s\up7(－))3|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2)＝eq\f(93,98)，P(eq\o(A,\s\up7(－))4|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3)＝eq\f(92,97)，P(eq\o(A,\s\up7(－))5|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3eq\o(A,\s\up7(－))4)＝eq\f(91,96)．∴P(eq\o(A,\s\up7(－)))＝P(eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3eq\o(A,\s\up7(－))4eq\o(A,\s\up7(－))5)＝P(eq\o(A,\s\up7(－))5|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3eq\o(A,\s\up7(－))4)P(eq\o(A,\s\up7(－))4|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3)P(eq\o(A,\s\up7(－))3|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2)P(eq\o(A,\s\up7(－))2|eq\o(A,\s\up7(－))1)P(eq\o(A,\s\up7(－))1)＝eq\f(95×94×93×92×91,100×99×98×97×96)≈0.7696．故P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up7(－)))≈0.2304．分解計算，代入求值，為了求比較復(fù)雜事件的概率，一般先把它分解成兩個或若干個互不相容的較簡單的事件之和，求出這些簡單事件的概率，再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率.eq\o([跟進訓(xùn)練])3．某種疾病能導(dǎo)致心肌受損害，若第一次患該病，，第一次患病心肌未受損害而第二次再患該病時，，試求某人患病兩次心肌未受損害的概率．[解]設(shè)A1＝“第一次患病心肌受損害”，A2＝“第二次患病心肌受損害”，則所求概率為P(eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2)．由題意可知：P(A1)＝0.3，P(A2|eq\o(A,\s\up7(－))1)＝0.6．又P(eq\o(A,\s\up7(－))1)＝1－P(A1)＝0.7，P(eq\o(A,\s\up7(－))2|eq\o(A,\s\up7(－))1)＝1－P(A2|eq\o(A,\s\up7(－))1)＝0.4，所以P(eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2)＝P(eq\o(A,\s\up7(－))1)P(eq\o(A,\s\up7(－))2|eq\o(A,\s\up7(－))1)＝0.7×0.4＝0.28．1．在市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場上買到一個甲廠的合格燈泡的概率是()A．0.665B．0.564CA[記事件A為“甲廠產(chǎn)品”，事件B為“甲廠的合格產(chǎn)品”，則P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，所以P(AB)＝P(A)·P(B|A×0.95＝0.665．]2．，，在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率是________．0.72[設(shè)“種子發(fā)芽”為事件A，“種子成長為幼苗”為事件A∩B，則P(A)＝0.9，又種子發(fā)芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8，所以P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝0.72．]3．4張獎券中只有1張能中獎，現(xiàn)分別由4名同學(xué)無放回地抽取，若已知第一名同學(xué)沒有抽到中獎券，則最后一名同學(xué)抽到中獎券的概率為________．[答案]eq\f(1,3)4．已知6個高爾夫球中有2個不合格，每次取1個，不放回地取兩次，則兩次均取到不合格球的概率為________．eq\f(1,15)[法一：所求事件的概率P＝eq\f(2×1,6×5)＝eq\f(1,15)．