第23講導(dǎo)數(shù)與數(shù)列知識與方法導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)問題的利器，而數(shù)列可看成一類不連續(xù)的函數(shù)，數(shù)列項的序數(shù)相當(dāng)于函數(shù)的自變量，數(shù)列的值相當(dāng)于函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式則相當(dāng)于函數(shù)的解析式，數(shù)列的增減性相當(dāng)于函數(shù)的單調(diào)性等等．因此，有些數(shù)列問題可通過轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進行研究，而這類問題通常又與導(dǎo)數(shù)有著千絲萬縷的聯(lián)系．導(dǎo)數(shù)與數(shù)列結(jié)合的問題，綜合性較強，難度較大，在近幾年的高考試題和模擬試卷中也有所體現(xiàn)，比如課后練習(xí)15題為2020年山東省新高考統(tǒng)一模擬考試的壓軸題，也反映了今后高考導(dǎo)數(shù)問題的新方向．一般來說，有關(guān)數(shù)列的不等式問題，在放縮的過程中，可利用數(shù)列的通項公式或者遞推關(guān)系建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．比如在研究數(shù)列的增減性時，可通過研究函數(shù)的單調(diào)性進行研究，如例5，通過建立函數(shù)關(guān)系將數(shù)列問題問題完全轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題．典型例題【例1】2020年12月17日，嫦娥五號返回器在內(nèi)蒙古安全著陸，激動人心！“切線數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則數(shù)列為函數(shù)的“切線數(shù)列”．若函數(shù)的“切線數(shù)列“為，其中，數(shù)列滿足，上，數(shù)列的前n項和為，則（）A． B．C． D．【例2】設(shè)函數(shù)（m，a為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)為，則數(shù)列的前n項和為（）A． B．C． D．【例3】已知數(shù)列滿足：，，證明：當(dāng)時（1）；（2）；（3）．【例4】已知函數(shù)，其中．（1）證明：；（2）設(shè)為方程的最大根，證明：．【例5】設(shè)數(shù)列滿足,,證明:.強化訓(xùn)練1.已知函數(shù)的圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式;（2）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若數(shù)列的通項,求其前項和;若在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.2.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,且數(shù)列滿足).（1）若數(shù)列是等差數(shù)列,求的值:（2）若對任意,都有成立,求的取值范圍.3.奇函數(shù),且當(dāng)時,有最小值,又.（1）求的表達(dá)式;（2）正整數(shù)列中,,求數(shù)列的通項公式;（3）對（2）中的數(shù)列,若,求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),并比較與的大小.4.已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),數(shù)列滿足條件:（1）猜想與的大小關(guān)系,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論;（2）證明:.5.某財團欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn),預(yù)計該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價格(單位:萬元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.（1）求當(dāng)日產(chǎn)量為3噸時的邊際成本(即生產(chǎn)過程中一段時間的總成本對該段時間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù));（2）記每日生產(chǎn)平均成本為,求證:;（3）若財團每日注人資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減,連續(xù)注人60天,求證:這60天的總投人資金大于億元.6.設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對任意,都有且.（1）求證:函數(shù)有唯一零點;（2）若數(shù)列滿足且,證明:且數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.7.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實數(shù)的值及的最大值;（2）若是單調(diào)函數(shù),數(shù)列滿足:,試證明數(shù)列為遞增數(shù)列;（3）設(shè),證明:.8.已知數(shù)列滿足:,設(shè)數(shù)列的前項和為.證明:（1）;（2）;（3）.9.已知數(shù)列滿足（1）判斷數(shù)列的單調(diào)性;（2）證明:;（3）證明:.10.已知數(shù)列滿足.記,設(shè)數(shù)列的前項和為,證明:當(dāng)時,（1）;（2）;（3）.11.數(shù)列中,為數(shù)列的前項和,且滿足).（1）求的通項公式;（2）求證:;（3）令,證明:.12.已知數(shù)列滿足:.（1）,求證:;（2）,試確定一個首項,使得數(shù)列為單調(diào)數(shù)列,并證明你的結(jié)論;（3）,若對一切,都有,求的取值范圍.13.已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.（1）求的取值范圍;（2）證明:.14