第13章計算流體力學(xué)CFD(5).第13章計算流體力學(xué)CFD(5).16計算流體力學(xué)的基本方法.6計算流體力學(xué)的基本方法.26.1Lax-Wendroff方法.6.1Lax-Wendroff方法.3Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff方法是一種顯式有限差分方法，適合于推進(jìn)求解。二維時間推進(jìn)網(wǎng)格.Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff方法是一4Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff方法在時間和空間上都具有二階精度。二維時間推進(jìn)網(wǎng)格.Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff方法在時5Lax-Wendroff方法非定常二維無粘流（歐拉方程非守恒形式）：.Lax-Wendroff方法非定常二維無粘流（歐拉方程非守恒6Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff顯式推進(jìn)求解(沿時間方向進(jìn)行泰勒級數(shù)展開)：.Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff顯式推進(jìn)7Lax-Wendroff方法空間導(dǎo)數(shù)采用中心差分：.Lax-Wendroff方法空間導(dǎo)數(shù)采用中心差分：.8Lax-Wendroff方法()求對時間t的二階導(dǎo)數(shù)：.Lax-Wendroff方法()求對時間t的二階導(dǎo)數(shù)：.9Lax-Wendroff方法[].Lax-Wendroff方法[].10Lax-Wendroff方法[].Lax-Wendroff方法[].11Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff顯式推進(jìn)求解：.Lax-Wendroff方法Lax-Wendroff顯式推進(jìn)126.2MacCormack方法.6.2MacCormack方法.13MacCormack方法MacCormack方法在時間和空間上都具有二階精度。MacCormack方法是一種顯式有限差分方法，適合于推進(jìn)求解。MacCormack方法比Lax-Wendroff方法應(yīng)用起來更簡單。.MacCormack方法MacCormack方法在時間和空間14MacCormack方法校正步預(yù)估步.MacCormack方法校正步預(yù)估步.15MacCormack方法預(yù)估步：空間導(dǎo)數(shù)用向前差分計算。.MacCormack方法預(yù)估步：空間導(dǎo)數(shù)用向前差分計算。.16MacCormack方法預(yù)估步：空間導(dǎo)數(shù)用向前差分計算。預(yù)估值：.MacCormack方法預(yù)估步：空間導(dǎo)數(shù)用向前差分計算。預(yù)估17MacCormack方法校正步：空間導(dǎo)數(shù)用向后差分計算。.MacCormack方法校正步：空間導(dǎo)數(shù)用向后差分計算。.18MacCormack方法.MacCormack方法.19MacCormack方法在MacCormack方法中，預(yù)估步用向前差分，校正步用向后差分；也可以預(yù)估步用向后差分，校正步用向前差分?；蛘咴跁r間推進(jìn)解法的相繼兩個時間步中輪流使用這兩種辦法。.MacCormack方法在MacCormack方法中，預(yù)估步206.3粘性流動、守恒形式和空間推進(jìn).6.3粘性流動、守恒形式和空間推進(jìn).216.3.1粘性流動.6.3.1粘性流動.22粘性流動粘性流動的控制方程是N-S方程。對定常流動，N-S方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)更多地表現(xiàn)為橢圓型的，不能采用Lax-Wendroff方法和MacCormack方法求解。對非定常流動，可以采用Lax-Wendroff方法或MacCormack方法求解N-S方程。.粘性流動粘性流動的控制方程是N-S方程。對定常流動，N-S方236.3.2守恒形式.6.3.2守恒形式.24守恒形式可以采用Lax-Wendroff方法或MacCormack方法求解U的分量在各時間步的值。非定常守恒形式歐拉方程（二維）：.守恒形式可以采用Lax-Wendroff方法或MacCorm256.3.3空間推進(jìn).6.3.3空間推進(jìn).26空間推進(jìn)定常守恒型二維歐拉方程：對于亞聲速流動，上述方程是橢圓型的，所有空間推進(jìn)方法都不適用，MacCormack方法也不適用。.空間推進(jìn)定常守恒型二維歐拉方程：對于亞聲速流動，上述方程是橢27空間推進(jìn)對于超聲速流動，上述方程是雙曲型的，空間推進(jìn)方法適用，MacCormack方法也適用。定常守恒型二維歐拉方程：.空間推進(jìn)對于超聲速流動，上述方程是雙曲型的，空間推進(jìn)方法適用28空間推進(jìn)MacCormack方法：定常守恒型二維歐拉方程：.空間推進(jìn)MacCormack方法：定常守恒型二維歐拉方程：.29空間推進(jìn)預(yù)測步：（向前差分）預(yù)估值：.空間推進(jìn)預(yù)測步：（向前差分）預(yù)估值：.30空間推進(jìn)預(yù)估值：.空間推進(jìn)預(yù)估值：.31空間推進(jìn)校正步：（向后差分）.空間推進(jìn)校正步：（向后差分）.326.4松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用.6.4松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用.33松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用松弛法特別適合于求解橢圓型偏微分方程，常被用來求解無粘亞聲速的低速流動。.松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用松弛法特別適合于求解橢圓型偏34松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用考慮無粘不可壓流體的二維無旋流動，控制方程為Laplace方程：.松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用考慮無粘不可壓流體的二維無旋35松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用松弛法是一種迭代法上標(biāo)n和n+1表示迭代次數(shù).松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用松弛法是一種迭代法上標(biāo)n和n36松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用松弛法是一種迭代法.松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用松弛法是一種迭代法.37松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用松弛法是一種迭代法.松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用松弛法是一種迭代法.38松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用松弛法是一種迭代法從左至右掃描.松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用松弛法是一種迭代法從左至右掃39松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用松弛法是一種迭代法當(dāng)所有網(wǎng)格點處的都小于一個預(yù)定的值時，迭代收斂。.松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用松弛法是一種迭代法當(dāng)所有網(wǎng)格40松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用運用逐次松弛法可加快收斂的過程。從左至右掃描從下至上掃描.松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用運用逐次松弛法可加快收斂的過41松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用運用逐次松弛法可加快收斂的過程。是松弛因子，如果>1，叫做逐次超松弛法；如果<1，叫做逐次低松弛法。.松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用運用逐次松弛法可加快收斂的過42松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用運用逐次松弛法可加快收斂的過程。選取合適的值，可以減少迭代次數(shù)，從而減少計算時間。在某些問題中，迭代次數(shù)可減少到原來的1/30.松弛法及其在低速無粘流動中的應(yīng)用運用逐次松弛法可加快收斂的過436.5數(shù)值耗散、色散及人工粘性.6.5數(shù)值耗散、色散及人工粘性.44數(shù)值耗散、色散及人工粘性一維波動方程：差分方程：截斷誤差：.數(shù)值耗散、色散及人工粘性一維波動方程：差分方程：截斷誤差：.45數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：泰勒級數(shù)展開：.數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：泰勒級數(shù)展開：.46數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：將泰勒級數(shù)展開代入差分方程得：.數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：將泰勒級數(shù)展開代入差分方程47數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：將泰勒級數(shù)展開代入差分方程得：.數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：將泰勒級數(shù)展開代入差分方程48數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：等號右邊將對t的偏導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為對x的偏導(dǎo)數(shù)得：.數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：等號右邊將對t的偏導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化49數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：偏微分方程（修正方程）：一維波動方程（偏微分方程）：.數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：偏微分方程（修正方程）：一50數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：一維波動方程（偏微分方程）：差分方程的精確解是上述一維波動方程的數(shù)值解（含誤差）.數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：一維波動方程（偏微分方程）51數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：差分方程的精確解是上述修正方程的精確解（不含誤差）偏微分方程（修正方程）：.數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：差分方程的精確解是上述修正52數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：偏微分方程（修正方程）：一維波動方程（偏微分方程）：.數(shù)值耗散、色散及人工粘性差分方程：偏微分方程（修正方程）：一53數(shù)值耗散、色散及人工粘性修正方程等號右端的項是截斷誤差，如果截斷誤差的主項是偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)，數(shù)值解將主要表現(xiàn)出耗散行為；如果主項是奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)，數(shù)值解將主要表現(xiàn)出色散行為。偏微分方程（修正方程）：.數(shù)值耗散、色散及人工粘性修正方程等號右端的項是截斷誤差，如果54數(shù)值耗散、色散及人工粘性等號右端的偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)項起數(shù)值耗散的作用，奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)項起數(shù)值色散的作用。偏微分方程（修正方程）：.數(shù)值耗散、色散及人工粘性等號右端的偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)項起數(shù)值耗散的作55數(shù)值耗散、色散及人工粘性數(shù)值耗散的作用很象物理粘性，二階導(dǎo)數(shù)項前的系數(shù)被稱為人工粘性。偏微分方程（修正方程）：.數(shù)值耗散、色散及人工粘性數(shù)值耗散的作用很象物理粘性，二階導(dǎo)數(shù)56數(shù)值耗散、色散及人工粘性數(shù)值耗散的影響會將波抹平.數(shù)值耗散、色散及人工粘性數(shù)值耗散的影響會將波抹平.57數(shù)值耗散、色散及人工粘性色散導(dǎo)致波的不同相位在傳播中產(chǎn)生畸變，表現(xiàn)為波前和波后出現(xiàn)振蕩。.數(shù)值耗散、色散及人工粘性色散導(dǎo)致波的不同相位在傳播中產(chǎn)生畸變58數(shù)值耗散、色散及人工粘性盡管人工粘性降低了解的精度，但通常有助于提高解的穩(wěn)定性。偏微分方程（修正方程）：.數(shù)值耗散、色散及人工粘性盡管人工粘性降低了解的精度，但通常有596.6交替方向隱式(ADI)方法.6.6交替方向隱式(ADI)方法.60交替方向隱式(ADI)方法考慮二維熱傳導(dǎo)方程：等號右端有五個未知量，不能得到三對角方程組，不能采用托馬斯算法（追趕法）求解。采用Crank-Nicolson方法（隱式）：.交替方向隱式(ADI)方法考慮二維熱傳導(dǎo)方程：等號右端有五個61交替方向隱式(ADI)方法考慮二維熱傳導(dǎo)方程：第一步：時間步長為，空間導(dǎo)數(shù)采用中心差分，只對x的導(dǎo)數(shù)采用隱式處理。.交替方向隱式(ADI)方法考慮二維熱傳導(dǎo)方程：第一步：時間步62交替方向隱式(ADI)方法第一步：簡化為三對角形式.交替方向隱式(ADI)方法第一步：簡化為三對角形式.63交替方向隱式(ADI)方法第一步：對每一個固定的j，對所有的i聯(lián)立形成方程組。對不同的j，重復(fù)上述過程。.交替方向隱式(ADI)方法第一步：對每一個固定的j，對所有的64交替方向隱式(ADI)方法考慮二維熱傳導(dǎo)方程：第二步：時間步長為，空間導(dǎo)數(shù)采用中心差分，只對y的導(dǎo)數(shù)采用隱式處理。.交替方向隱式(ADI)方法考慮二維熱傳導(dǎo)方程：第二步：時間步65交替方向隱式(ADI)方法第二步：簡化為三對角形式.交替方向隱式(ADI)方法第二步：簡化為三對角形式.66交替方向隱式(ADI)方法第二步：對每一個固定的i，對所有的j聯(lián)立形成方程組。對不同的i，重復(fù)上述過程。.交替方向隱式(ADI)方法第二步：對每一個固定的i，對所有的67交替方向隱式(ADI)方法兩步結(jié)束之后，T在時間方向上推進(jìn)了一個時間步長t.考慮二維熱傳導(dǎo)方程：推進(jìn)過程只涉及三對角方程組。.交替方向隱式(ADI)方法兩步結(jié)束之后，T在時間方向上推進(jìn)了68交替方向隱式(ADI)方法第一步，差分方程的x方向是隱式的?？紤]二維熱傳導(dǎo)方程：所以這種方法叫交替方向隱式方法(AlternatingDirectionImplicit,ADI)第二步，差分方程的y方向是隱式的。.交替方向隱式(ADI)方法第一步，差分方程的x方向是隱式的。69交替方向隱式(ADI)方法考慮二維熱傳導(dǎo)方程：ADI格式對t,x,y都是二階精度的截斷誤差為：.交替方向隱式(ADI)方法考慮二維熱傳導(dǎo)方程：ADI格式對t706.7壓力修正法及其在不可壓粘性流動中的應(yīng)用.6.7壓力修正法及其在不可壓粘性流動中的應(yīng)用.71壓力修正法及其在不可壓粘性流動中的應(yīng)用不可壓無粘流動受橢圓型偏微分方程控制（不可壓歐拉方程），松弛法是求解橢圓型問題經(jīng)典的數(shù)值方法，本質(zhì)上是一個迭代過程。.壓力修正法及其在不可壓粘性流動中的應(yīng)用不可壓無粘流動受橢圓型72壓力修正法及其在不可壓粘性流動中的應(yīng)用不可壓粘性流動的控制方程是不可壓的N－S方程，這個方程具有橢圓型和拋物型的混合特性，松弛法不是特別適用。.壓力修正法及其在不可壓粘性流動中的應(yīng)用不可壓粘性流動的控制方73壓力修正法及其在不可壓粘性流動中的應(yīng)用壓力修正法也是一種迭代過程，在不可壓N－S方程的數(shù)值求解中得到了廣泛的應(yīng)用。.壓力修正法及其在不可壓粘性流動中的應(yīng)用壓力修正法也是一種迭代746.7.1不可壓N－S方程.6.7.1不可壓N－S方程.75不可壓N－S方程假設(shè)=常數(shù)，=常數(shù)，可壓縮N－S方程轉(zhuǎn)化為不可壓N－S方程：上述四個方程封閉，含四個未知數(shù)。.不可壓N－S方程假設(shè)=常數(shù)，=常數(shù)，可壓縮N－S方程轉(zhuǎn)化766.7.2交錯網(wǎng)格的應(yīng)用.6.7.2交錯網(wǎng)格的應(yīng)用.77交錯網(wǎng)格的應(yīng)用二維不可壓流體的連續(xù)性方程為：中心差分格式為：右上角是u的值，左下角是v的值速度會出現(xiàn)右圖的棋盤式分布.交錯網(wǎng)格的應(yīng)用二維不可壓流體的連續(xù)性方程為：中心差分格式為：78交錯網(wǎng)格的應(yīng)用右上角是u的值，左下角是v的值可壓流動中不會發(fā)生右圖的問題，因為連續(xù)性方程中包含了密度對時間和空間的變化。在可壓縮流動中，右圖速度的棋盤分布經(jīng)過一個時間步就會被抹平。.交錯網(wǎng)格的應(yīng)用右上角是u的值，左下角是v的值可壓流動中不會發(fā)79交錯網(wǎng)格的應(yīng)用二維不可壓流體壓力梯度采用中心差分：棋盤式的離散壓力分布壓力會出現(xiàn)右圖的棋盤式分布.交錯網(wǎng)格的應(yīng)用二維不可壓流體壓力梯度采用中心差分：棋盤式的離80交錯網(wǎng)格的應(yīng)用在交錯網(wǎng)格上使用中心差分就不會出現(xiàn)速度和壓力的棋盤式分布問題。交錯網(wǎng)格.交錯網(wǎng)格的應(yīng)用在交錯網(wǎng)格上使用中心差分就不會出現(xiàn)速度和壓力的81交錯網(wǎng)格的應(yīng)用在(i-1,j),(i,j),(i+1,j),(i,j+1),(i,j-1)等圖中的實心原點上計算壓力交錯網(wǎng)格.交錯網(wǎng)格的應(yīng)用在(i-1,j),(i,j),(i+1,j82交錯網(wǎng)格的應(yīng)用在(i-1/2,j),(i+1/2,j)等圖中的空心原點上計算u交錯網(wǎng)格在(i,j-1/2),(i,j+1/2)等圖中的空心原點上計算v.交錯網(wǎng)格的應(yīng)用在(i-1/2,j),(i+1/2,j)等83交錯網(wǎng)格的應(yīng)用連續(xù)性方程在網(wǎng)格點(i,j)的中心差分表達(dá)式為：交錯網(wǎng)格.交錯網(wǎng)格的應(yīng)用連續(xù)性方程在網(wǎng)格點(i,j)的中心差分表達(dá)式為846.7.3壓力修正法的基本原理.6.7.3壓力修正法的基本原理.85壓力修正法的基本原理壓力修正法本質(zhì)上是一種迭代法，思路如下：1）迭代開始時，先給定壓力的初始近似p*2）用p*的值從動量方程中求解u,v,w,得到與p*有關(guān)的u*,v*,w*.壓力修正法的基本原理壓力修正法本質(zhì)上是一種迭代法，思路如下：86壓力修正法的基本原理壓力修正法本質(zhì)上是一種迭代法，思路如下：修正后的壓力為3）將u*,v*,w*代入連續(xù)性方程，它們不一定滿足連續(xù)性方程。用連續(xù)性方程構(gòu)造壓力的修正量,加到p*上，使速度場滿足連續(xù)性方程。修正后的速度為速度修正量可以從得到。.壓力修正法的基本原理壓力修正法本質(zhì)上是一種迭代法，思路如下：87壓力修正法的基本原理壓力修正法本質(zhì)上是一種迭代法，思路如下：4）用步驟3)中修正后的壓力做為新的p*，回到步驟2)。重復(fù)這個過程，直到速度場滿足連續(xù)性方程為止。這樣就得到修正好了的流場。.壓力修正法的基本原理壓力修正法本質(zhì)上是一種迭代法，思路如下：886.7.4壓力修正公式.6.7.4壓力修正公式.89壓力修正公式壓力修正公式為：.壓力修正公式壓力修正公式為：.90壓力修正公式壓力修正公式為：上述壓力修正公式具有橢圓型的性質(zhì)，可以用松弛法數(shù)值求解。在不可壓流場中，壓力的擾動將會傳遍整個流場，這與上述方程的橢圓型性質(zhì)相吻合。.壓力修正公式壓力修正公式為：上述壓力修正公式具有橢圓型的性質(zhì)91壓力修正公式壓力修正公式為：壓力修正公式是壓力修正的泊松方程的中心差分表達(dá)式。上述泊松方程中的二階偏導(dǎo)數(shù)用中心差分替代。式中：.壓力修正公式壓力修正公式為：壓力修正公式是壓力修正92壓力修正公式壓力修正的泊松方程(為橢圓型)：d相當(dāng)于一個質(zhì)量源項。.壓力修正公式壓力修正的泊松方程(為橢圓型)：d936.7.5數(shù)值方法：SIMPLE方法.6.7.5數(shù)值方法：SIMPLE方法.94數(shù)值方法：SIMPLE方法SIMPLE是Semi-implicitmethodforpressure-linkedequation(壓力耦合方程的半隱式算法)的縮寫。.數(shù)值方法：SIMPLE方法SIMPLE是Semi-impli95數(shù)值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步驟如下：1）在右圖所示的交錯網(wǎng)格上分別給出.數(shù)值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步驟如下：1）在96數(shù)值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步驟如下：2）求出采用動量方程求解。.數(shù)值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步驟如下：2）求97數(shù)值方法：SIMPLE方法2）的求法：X方向的動量方程：.數(shù)值方法：SIMPLE方法2）98數(shù)值方法：SIMPLE方法2）的求法：在a點：在b點：.數(shù)值方法：SIMPLE方法2）99數(shù)值方法：SIMPLE方法X方向的動量方程：差分方程：.數(shù)值方法：SIMPLE方法X方向的動量方程：差分方程：.100數(shù)值方法：SIMPLE方法差分方程：X方向的動量方程：.數(shù)值方法：SIMPLE方法差分方程：X方向的動量方程：.101數(shù)值方法：SIMPLE方法2）的求法：.數(shù)值方法：SIMPLE方法2）102數(shù)值方法：SIMPLE方法2）的求法：.數(shù)值方法：SIMPLE方法2）103數(shù)值方法：SIMPLE方法2）的求法：Y方向的動量方程：.數(shù)值方法：SIMPLE方法2）104數(shù)值方法：SIMPLE方法2）的求法：在c點：在d點：.數(shù)值方法：SIMPLE方法2）105數(shù)值方法：SIMPLE方法Y方向的動量方程：差分方程：.數(shù)值方法：SIMPLE方法Y方向的動量方程：差分方程：.106數(shù)值方法：SIMPLE方法2）的求法：.數(shù)值方法：SIMPLE方法2）107數(shù)值方法：SIMPLE方法3）將和代入壓力修正公式，在所有內(nèi)部網(wǎng)格點上求解.數(shù)值方法：SIMPLE方法3）將108數(shù)值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步驟如下：4）在所有內(nèi)部網(wǎng)格點上計算.數(shù)值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步驟如下：4）在109數(shù)值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步驟如下：5）將作為新的，重復(fù)步驟(2)至步驟(5)，直到收斂。收斂的合理標(biāo)準(zhǔn)是質(zhì)量源項d趨于零。.數(shù)值方法：SIMPLE方法SIMPLE算法的步驟如下：5）將110數(shù)值方法：SIMPLE