2022年河南省周口市第一中學(xué)分校高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知θ∈R，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C2.已知點(diǎn)P（1，﹣），則它的極坐標(biāo)是（）A．(2，) B．(2，) C．(2，－)D．(2，－)參考答案：C【考點(diǎn)】點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．【分析】根據(jù)點(diǎn)的直角坐標(biāo)求出ρ，再由2=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得θ，從而求得點(diǎn)P的極坐標(biāo)．【解答】解：∵點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，∴ρ==2．再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，結(jié)合所給的選項(xiàng)，可取θ=﹣，即點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2，），故選C．3.函數(shù)的遞增區(qū)間是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C4.已知三棱錐S—ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且，則此棱錐的體積為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A5.已知函數(shù)在上的最大值是3，那么等于A．

B．

C．

D．參考答案：C6.直線為參數(shù)的傾斜角為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D:7.橢圓與的（

）A．長(zhǎng)軸相等

B.離心率相等

C.焦點(diǎn)相同

D.頂點(diǎn)相同參考答案：B8.定積分dx=（）A．π B．π C．π D．π參考答案：D【考點(diǎn)】67：定積分．【分析】令y=則x2+y2=4（y≥0），點(diǎn)（x，y）的軌跡表示半圓，則該積分表示該圓面積的．【解答】解：令y=則x2+y2=4（y≥0），點(diǎn)（x，y）的軌跡表示半圓，dx表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓面積的，故dx==π．故選D．9.（5分）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F（﹣c，0）（c＞0）作圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交拋物線y2=4cx于點(diǎn)P．若，則雙曲線的離心率為（） A． B． C． D． 參考答案：B10.已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任一點(diǎn)O，則x的值為（）A． B． C． D．0參考答案：A【考點(diǎn)】空間點(diǎn)、線、面的位置．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】利用四點(diǎn)共面的充要條件：若則x+y+z=1，列出方程求出x．【解答】解：∵又點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，∴解得x=故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四點(diǎn)共面的充要條件：P∈平面ABC，若則x+y+z=1，屬基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意，存在唯一，使（C為常數(shù)）成立，則稱(chēng)在D上的均值為C，給出下列四個(gè)函數(shù)：①②③④則滿(mǎn)足在其定義域上均值為2的所有函數(shù)是

參考答案：①③略12.圓的過(guò)點(diǎn)的切線方程為

.參考答案：13.已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最大值是__________.參考答案：2略14.方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是______

_____

參考答案：15.已知拋物線的焦點(diǎn)和雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

參考答案：略16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,若橢圓上存在點(diǎn)P使,則該橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)______________.參考答案：略17.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an=2Sn﹣1（n≥2），則an=．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】利用n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1，確定數(shù)列{Sn}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而可得結(jié)論．【解答】解：n≥2時(shí)，∵an=2Sn﹣1，∴Sn﹣Sn﹣1=2Sn﹣1，∴Sn=3Sn﹣1，∵a1=1，∴S1=1∴數(shù)列{Sn}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列∴Sn=3n﹣1，∴n≥2時(shí)，an=2Sn﹣1=2?3n﹣2，又a1=1，∴an=故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)P是圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上投影，M為線段PD上一點(diǎn)，且．（1）當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)F（﹣3，0），△ABF求的面積．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由題意可知：M的坐標(biāo)為（x，y），P的坐標(biāo)為（x'，y'），則，解得：，代入x'2+y'2=25，整理得點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可知：x1+x2=3，x1?x2=﹣8，利用弦長(zhǎng)公式求出丨AB丨，求出點(diǎn)F到AB的距離，即可求△ABF的面積．【解答】解：（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），P的坐標(biāo)為（x'，y'），由，解得：，∵P在圓上，∴x'2+y'2=25，即x2+（y）2=25，整理得．（2）直線，代入C的方程，整理得：x2﹣3x﹣8=0∴由韋達(dá)定理可知：x1+x2=3，x1?x2=﹣8，∴線段AB的長(zhǎng)度為，點(diǎn)F到AB的距離為，故．19.(本題滿(mǎn)分9分)如圖，已知平行四邊形所在平面外的一點(diǎn)，分別是的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若4，，求異面直線,所成角的大小.

參考答案：（1）點(diǎn)連，為的中點(diǎn)，得.為的中點(diǎn).得.為平行四邊形.，（2）連并取其中點(diǎn)，連，。由題意知，，即異面直線的夾角為20.已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1=1且a1，a3，a9，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d≠0．由a1=1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，可得a32=a1?a9，即（1+2d）2=1×（1+8d），解出d即可得出通項(xiàng)公式．（2）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，分組求和即可．【解答】解：（1）：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d≠0．∵a1=1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，∴a32=a1?a9，即（1+2d）2=1×（1+8d），∴4d2=8d，∵d≠0，∴d=1．∴an=a1+（n﹣1）=1+n﹣1=n．（Ⅱ）∵+an=2n+n，∴數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=+=2n+1﹣2+21.為了解某班學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)是否與性別有關(guān)，對(duì)本班50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表，已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生的概率為.

喜歡數(shù)學(xué)不喜歡數(shù)學(xué)合計(jì)男生

5

女生10

合計(jì)

50

（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整（不用寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為喜歡數(shù)學(xué)與性別有關(guān)？說(shuō)明你的理由；（3）現(xiàn)從女生中抽取2人進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)其中喜歡數(shù)學(xué)的女生人數(shù)為，求的分布列與期望.下面的臨界表供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

（參考公式：，其中）參考答案：（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析；（2）能，理由見(jiàn)解析；（3）分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）由題意可知，全部50人中喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生人數(shù)為30，據(jù)此可完善列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算出的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（3）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有0、1、2，利用超幾何分布可得出隨機(jī)變量的概率分布列，并由此可計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】（1）列聯(lián)表補(bǔ)充如下：

喜歡數(shù)學(xué)不喜歡數(shù)學(xué)合計(jì)男生女生合計(jì)

（2），在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為喜歡數(shù)學(xué)與性別有關(guān)；（3）喜歡數(shù)學(xué)的女生人數(shù)的可能取值為、、，其概率分別為，，，故隨機(jī)變量的分布列為：

的期望值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)也考查了離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，涉及超幾何分布的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.22.在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2．（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積V；（2）若F為PC的中點(diǎn)，求證PC⊥平面AEF．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】（1）利用直角三角形的邊角關(guān)系可得BC，CD．SABCD=，利用V=S四邊形ABCD×PA，即可得出．（2）在Rt△ABC，∠BAC=60°，可得AC=2AB，PA=CA，又F為PC的中點(diǎn)，可得AF⊥PC．利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理可得：CD⊥PC．利用三角形的中位線定理可得：EF∥CD．于是EF⊥PC．即可證明PC⊥平面AEF．【解答】（本題滿(mǎn)分12分）解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴BC=，AC=2．在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，∴CD=2，AD=4．∴SABCD==．則V=．…．（6分）（2）∵