第二十四章一元二次方程一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

1課堂講解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升格格和同學(xué)們打賭，她有一手絕活，只要同學(xué)給出兩個(gè)數(shù)，她就能馬上說出以這兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程，同學(xué)們表示不相信，菲菲首先發(fā)難，恨不得考倒格格，她報(bào)的數(shù)是3，4，格格的解答是x2－7x＋12=0．菲菲驗(yàn)證了一下正確，接著同學(xué)們紛紛報(bào)數(shù)，格格快速準(zhǔn)確解答．同學(xué)想不不通為什么她能快速回答，聰明的同學(xué)，你知道“源頭”何在．1知識(shí)點(diǎn)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系探究由因式分解法可知，方程(x－2)(x－3)=0的兩

根為x1=2，x2=3，而方程(x－2)(x－3)=0可化

為x2

－5x＋6=0的形式，則：x1＋x2＝______,

x1x2＝_______.設(shè)方程2x2＋3x－9=0的兩根分別為x1，x2，則：x1＋x2＝______,x1x2＝_______.知1－導(dǎo)對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c

=0，當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，

請(qǐng)你猜想x1＋x2，x1x2與方程系數(shù)之間的關(guān)系，

并利用求根公式驗(yàn)證你的結(jié)論.知1－導(dǎo)知1－導(dǎo)歸

納一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程ax2＋bx＋c

=0的兩根分別為x1，x2，那么（來(lái)自教材）識(shí)點(diǎn)知1－講（來(lái)自教材）例1

根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求

下列方程兩個(gè)根的和與積：(1)x2－3x－8＝0(2)3x2＋4x－7＝0；(1)這里a＝1，b＝－3，c＝－8，且

b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－8)＝41＞0.所以

解：

識(shí)點(diǎn)知1－講（來(lái)自教材）(2)3x2＋4x－7＝0；(2)這里a＝3，b＝4，c＝－7，且

b2－4ac＝42－4×3×(－7)＝100＞0，所以

解：

知1－講總結(jié)求一元二次方程兩根的和與積時(shí)，先要將方程整理成一般形式，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根的和與積．（來(lái)自《點(diǎn)撥》）1一元二次方程x2＋4x－3＝0的兩根為x1，x2，則x1·x2的值是(

)A．4

B．－4

C．3

D．－3已知x1、x2是方程x2＋3x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么下列結(jié)論正確的是(

)A．x1＋x2＝－1B．x1＋x2＝－3C．x1＋x2＝1D．x1＋x2＝3知1－練2（來(lái)自《典中點(diǎn)》）3判別下列方程根的情況.若有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求出兩個(gè)根的和與積.(1)x2－4x＋1＝0；(2)x2－2x＋1＝0；(3)－x2＋3x－2＝0；(4)x2－4x＝0.知1－練（來(lái)自教材）2知識(shí)點(diǎn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用知2－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）例2已知關(guān)于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的

一個(gè)根是2，求方程的另一個(gè)根和p的值．導(dǎo)引：已知二次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)，利用兩根之和可求出另一根，再運(yùn)用兩根之積求出常數(shù)

項(xiàng)中p的值．知2－講解：

設(shè)方程的兩根為x1和x2，∵x1＋x2＝＝6，x1＝2，

∴x2＝4.

又∵x1x2＝＝p2－2p＋5＝2×4＝8，∴p2－2p－3＝0，解得p＝3或p＝－1.

知2－講總結(jié)已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求另一根及待定字母的值．（

來(lái)自《點(diǎn)撥》）知2－講例3

方程已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋

m＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，若x12＋x22＝4，

則m的值為___________．根據(jù)題意可得x1＋x2＝－m－3，x1x2＝m＋1，又因?yàn)閤12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2，所以(－m－3)2－2(m＋1)＝4，解得m1＝－1，m2＝－3，并且當(dāng)m＝－1或m＝－3時(shí)方程都有解，所以m的值為－1或－3.導(dǎo)引：－1或－3知2－講總結(jié)

已知方程兩根的關(guān)系求待定字母系數(shù)的值時(shí)，先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系用待定的字母表示兩根之和與兩根之積，然后將已知兩根的關(guān)系進(jìn)行變形，再將兩根的和與積整體代入，列出以待定字母為未知數(shù)的方程，進(jìn)而求出待定字母的值．（來(lái)自《點(diǎn)撥》）1若關(guān)于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根分別為a和b，且a2－ab＋b2＝18，則

＋

的值是(

)A．3B．－3C．5D．－5知2－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）2若關(guān)于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1，x2，且滿足x1＋x2＝x1x2，則k的值為(

)A．－1或B．－1

C.

D．不存在知2－練（來(lái)自典中點(diǎn)）3等腰三角形三邊長(zhǎng)分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的兩根，則n的值為(

)A．9

B．10

C．9或10

D．8或10知2－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）4已知關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋4k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的值.(2)求兩個(gè)根的和與積.知2－練（來(lái)自《教材》）1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根x1，x2和系數(shù)a，b，c的關(guān)系：

2.用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求另一根及未知系數(shù)的方法：(1)當(dāng)已知一個(gè)根和一次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，先利用兩根

的和求出另一根，再利用兩根的積求出常數(shù)項(xiàng)

(2)當(dāng)已知一個(gè)根和常數(shù)項(xiàng)時(shí)，先利用兩根的積

求出另一根，再利用兩根的和求出一次項(xiàng)系數(shù)．1.必做:完成教材P46習(xí)題A組T1-T2，B組T1-T22.補(bǔ)充:請(qǐng)完成《典中點(diǎn)》剩余部分習(xí)題第二十四章一元二次方程24.3一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

創(chuàng)設(shè)情景新課導(dǎo)入格格和同學(xué)們打賭，她有一手絕活，只要同學(xué)給出兩個(gè)數(shù)，她就能馬上說出以這兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程，同學(xué)們表示不相信，菲菲首先發(fā)難，恨不得考倒格格，她報(bào)的數(shù)是3，4，格格的解答是x2－7x＋12=0．菲菲驗(yàn)證了一下正確，接著同學(xué)們紛紛報(bào)數(shù)，格格快速準(zhǔn)確解答．同學(xué)想不不通為什么她能快速回答，聰明的同學(xué)，你知道“源頭”何在?

新課講解合作探究由因式分解法可知，方程(x－2)(x－3)=0的兩

根為x1=2，x2=3，而方程(x－2)(x－3)=0可化

為x2

－5x＋6=0的形式，則：x1＋x2＝____,

x1x2＝____.設(shè)方程2x2＋3x－9=0的兩根分別為x1，x2，則：x1＋x2＝______,x1x2＝_______.56新課講解對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c

=0，當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，

請(qǐng)你猜想x1＋x2，x1x2與方程系數(shù)之間的關(guān)系，

并利用求根公式驗(yàn)證你的結(jié)論.新課講解

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0的兩根分別為x1，x2，那么新課講解例1

根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求

下列方程兩個(gè)根的和與積：(1)x2－3x－8＝0(2)3x2＋4x－7＝0；(1)這里a＝1，b＝－3，c＝－8，且

b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－8)＝41＞0.所以解：

例題講解新課講解例1

根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求

下列方程兩個(gè)根的和與積：(1)x2－3x－8＝0(2)3x2＋4x－7＝0；(2)這里a＝3，b＝4，c＝－7，且

b2－4ac＝42－4×3×(－7)＝100＞0，所以解：新課講解1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的兩根為x1，x2，則x1·x2的值是(

)A．4

B．－4

C．3

D．－32.已知x1、x2是方程x2＋3x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么下列結(jié)論正確的是(

)A．x1＋x2＝－1B．x1＋x2＝－3C．x1＋x2＝1D．x1＋x2＝3練一練BD新課講解例題講解例2已知關(guān)于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的

一個(gè)根是2，求方程的另一個(gè)根和p的值．導(dǎo)引：已知二次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)，利用兩根之和可求出另一根，再運(yùn)用兩根之積求出常數(shù)項(xiàng)中p的值．新課講解解：

設(shè)方程的兩根為x1和x2，∵x1＋x2＝＝6，x1＝2，

∴x2＝4.

又∵x1x2＝＝p2－2p＋5＝2×4＝8，∴p2－2p－3＝0，解得p＝3或p＝－1.

新課講解歸納總結(jié)

已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求另一根及待定字母的值．新課講解例3

方程已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，若x12＋x22＝4，

則m的值為___________．根據(jù)題意可得x1＋x2＝－m－3，x1x2＝m＋1，又因?yàn)閤12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2，所以(－m－3)2－2(m＋1)＝4，解得m1＝－1，m2＝－3，并且當(dāng)m＝－1或m＝－3時(shí)方程都有解，所以m的值為－1或－3.解：－1或－3例題講解新課講解歸納總結(jié)

已知方程兩根的關(guān)系求待定字母系數(shù)的值時(shí)，先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系用待定的字母表示兩根之和與兩根之積，然后將已知兩根的關(guān)系進(jìn)行變形，再將兩根的和與積整體代入，列出以待定字母為未知數(shù)的方程，進(jìn)而求出待定字母的值．課堂練習(xí)1.若關(guān)于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根分別為a和b，且a2－ab＋b2＝18，則

＋

的值是(

)A．3