讓“題組模塊”會(huì)說話為什么？是什么？怎么樣？緣于：受“數(shù)學(xué)”定義的啟發(fā)一、緣起

----《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》數(shù)學(xué)并不直接研究實(shí)際對象本身，而是舍棄實(shí)際對象質(zhì)的研究，從量的關(guān)系上作形式化的描述和刻畫。這種概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，就是數(shù)學(xué)模型。

----徐利治自然數(shù)：表述“數(shù)數(shù)”過程的數(shù)學(xué)模型；

加法：合并與添加的數(shù)學(xué)模型;乘法：同數(shù)連加的數(shù)學(xué)模型;數(shù)學(xué)新授、練習(xí)、復(fù)習(xí)都必然是對數(shù)學(xué)模式或模型的研究。數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué)。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。

二、什么是題組模塊？題組模塊：在題型結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系、解題方法或數(shù)學(xué)思想等方面有著內(nèi)在聯(lián)系的一組題。1、能使隱性的數(shù)學(xué)規(guī)律格式化、可視化、算法化。題組模塊的價(jià)值：如果不搞題組，那就只好搞“題海”。

---陳永明教授2、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)簡約化、集成化、模塊化。3、是培養(yǎng)學(xué)生初步的數(shù)學(xué)建模能力的基本選擇。4、是“師退生進(jìn)”，撬動(dòng)課堂轉(zhuǎn)型的切入口之一。人數(shù)每人比賽場次總場次（場）433＋2＋1=64×3÷2=654

4＋3＋2＋1=1010×9÷2=451099＋8＋…＋2＋1=455×4÷2=10201920×19÷2=190nn-1n×（n－1）÷2扳手腕比賽案例：《計(jì)算比賽場次》基于模塊，舉三反一。（單循環(huán)賽）?表格：數(shù)學(xué)建模的“模具”。三、題組模塊的應(yīng)用拔河比賽隊(duì)數(shù)比賽場次/隊(duì)比賽總場次715＋14＋……＋186×5÷26151696521362878（單循環(huán)賽）基于模塊，舉一反三。三、題組模塊的應(yīng)用案例：《計(jì)算比賽場次》聲一無聽，色一無文，味一無果，物一無講。

——《國語·鄭語》年一二五三四六七八九十十一十二2004312931313030313130313031200531283131303031313031303120063128313130303131303130312007312831313030313130313031200120022003200020102009313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131303030303030303030303030303030303030303030303030三、題組模塊的應(yīng)用2928282828282008312931313030313130313031案例《年月日》聲一無聽，色一無文，味一無果，物一無講。

——《國語·鄭語》能使隱性的數(shù)學(xué)規(guī)律格式化、可視化。年一二五三四六七八九十十一十二20043129313130303131303130312005312831313030313130313031200631283131303031313031303120073128313130303131303130312001200220032000201020092008313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313030303030303030303030303030303030303030303030303030303029282828292828總天數(shù)366365閏平閏閏平平平平平平平通常每4年有一個(gè)閏年。查一查推一推÷4=÷4=÷4=÷4=÷4=501÷4=502公歷年份數(shù)除以4，沒有余數(shù)的，這一年一般就是閏年。算一算:500500……1500……2500……3÷4=501……1÷4=501……2÷4=502……1÷4=502……2閏平閏閏平平平平平平平÷4=501……320002001200420082002200320052009201020072006三、題組模塊的應(yīng)用

案例：《年月日》題組模塊：讓規(guī)律算法化。在路的一邊種5棵樹，你想怎樣種？54兩頭都種棵數(shù)段數(shù)657687……nn－198兩頭都是棵數(shù):棵數(shù)多1.對應(yīng)三、題組模塊的應(yīng)用案例《植樹問題》兩頭都種：棵數(shù)=段數(shù)＋1段數(shù)=棵數(shù)－1棵數(shù)－段數(shù)=145兩頭都不放盆數(shù)段數(shù)566778……nn＋189在小路的一邊放4盆花。兩頭都是段數(shù):段數(shù)多1.案例《植樹問題》三、題組模塊的應(yīng)用兩頭都是棵數(shù):棵數(shù)多1.兩頭都是誰:誰就多1.兩頭都種：棵數(shù)=段數(shù)＋1段數(shù)=棵數(shù)－1棵數(shù)－段數(shù)=1兩頭都不種：段數(shù)=棵數(shù)＋1棵數(shù)=段數(shù)－1段數(shù)－棵數(shù)=1題組模塊：促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)簡約化、集成化、模塊化基于“題組模塊”的數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計(jì)，圍繞核心知識前后穿成線左右連成面上下融為體梳理知識點(diǎn)題組模塊數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué)。不必求全，意在求變；四、綜述不必求全，意在求聯(lián)；不必求全，意在求通；在求變、求聯(lián)的多維穿越中尋求“融會(huì)貫通”！題組模塊：促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的簡約化、集成化?！ぁぶx謝！基于“題組模塊”的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，圍繞核心知識程序：對象：圖形：活動(dòng)：四、綜述杜賓斯基：APOS理論個(gè)體通過一步一步的外顯活動(dòng)指令去變換一個(gè)客觀的數(shù)學(xué)對象。當(dāng)“活動(dòng)”經(jīng)多次重復(fù)被個(gè)體熟悉后，就內(nèi)化為一種稱之為“程序”的心理操作。當(dāng)個(gè)體能夠把“程序”作為一個(gè)整體進(jìn)行操作時(shí)，這一程序就變成了一種心理“對象”。由相應(yīng)的“活動(dòng)”、“程序”、“對象”及某些一般原理相聯(lián)系圖式形成的一種個(gè)體頭腦中的認(rèn)知框架?；ㄉ?002001500x對應(yīng)500千克花生能榨200千克油，照這樣計(jì)算，1500千克花生能榨多少千克油？案例：《列方程解應(yīng)用題》四量矩陣？數(shù)學(xué)模型：研究的是“通則通法”！花生1

油1花生2

油2500÷200榨1500千克油要多少千克花生？1500÷()200÷500×15001500÷500×200500÷1500200÷()500÷200=1500÷X200÷500=X÷15001500÷500=X÷200500÷1500=200÷X基于模塊：三、題組模塊的應(yīng)用多解歸一,多題歸一!--增強(qiáng)模塊意識，把書越教越薄。題組模塊：是培養(yǎng)學(xué)生初步的數(shù)學(xué)建模能力的基本選擇。通則不痛，痛則不通！---中醫(yī)經(jīng)絡(luò)學(xué)6）65

4）84

案例：商中間或末尾有0的除法（商、乘、減、落）843÷4

214）848440

106）6565651÷6641÷6631÷6621÷6611÷6601÷6商末尾有0商中間有0□□□

÷□□□□

÷□31基于聯(lián)想,練一組題,通一類題!三、題組模塊的應(yīng)用30842÷4841÷4840÷418483通透明透明白則則則）□□□□□□□（2＋10）×3（2＋8）×5（9＋11）×6（12＋18）×52×3＋10×32×5＋8×59×6＋11×612×5＋18×5===兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)兩個(gè)加數(shù)分別乘這個(gè)數(shù)結(jié)果不變=（4＋6）×4=4×4＋6×45×（3＋7）=5×3＋5×7（5＋5）×6=5×6＋5×6（1＋8）×2=1×2＋8×2（a＋b）×c=a×c＋b×c（愛＋數(shù)）×學(xué)=愛×學(xué)＋數(shù)×學(xué)（△＋☆）×□=△

×□＋☆

×□案例：《乘法分配律》再把所得的積相加三、題組模塊的應(yīng)用用筆圈出每道題中的一組周期:每道題中排在第35的是什么？每道題前35中()有幾個(gè)？(1）……(2)1、9、0、3、1、9、0、3、1、9、0、3……(3)好好學(xué)習(xí)天天向上好好學(xué)習(xí)天天向上好好學(xué)……(4)3盆月季2盆杜鵑3盆月季2盆杜鵑3盆月季……35÷3=11（組）…2(個(gè))35÷4=8（組）…3(個(gè))35÷8=4（組）…3（個(gè)）35÷5=7（組）11×2＋2=24(個(gè))8×1＋1=9(個(gè))4×2＋2=10（個(gè)）7×3=21（盆）案例《周期問題》腳手架追問：1、“題組模塊說”的理論依據(jù)是什么？2、生成“題組模塊”的路徑有哪些？3、“題組模塊”如何讓課堂更加靈動(dòng)、有效？4、基于“題組模塊”，如何進(jìn)行數(shù)學(xué)命題的變式？5、基于“題組模塊”，如何實(shí)現(xiàn)“師退生進(jìn)，學(xué)為中心”？我們是一群思考著的實(shí)踐者。“草根式”研究是我們的強(qiáng)項(xiàng)！甚至是我們的“專利”！案例：《復(fù)合應(yīng)用題》練習(xí)課一步應(yīng)用題兩步應(yīng)用題三步應(yīng)用題簡繁直接條件變成間接條件間接條件變成直接條件融會(huì)貫通雙向穿越三、題組模塊的應(yīng)用案例：《三步計(jì)算式題》4＋6＋6＋86×8－4×6（4－6÷6）×8（6＋6）×8÷48×6÷（6－4）（6－8÷4）×66×6－（4＋8）6加6的和乘8，所得的積除以4，商是多少？從左往右，依次計(jì)算先乘除，后加減有括號的，要先算括號里的8乘6的積，除以6減4的差，商是多少？（）6乘8的積，減去4乘6的積，差是多少？（）（）三、題組模塊的應(yīng)用1、甲數(shù)是24，乙數(shù)是甲數(shù)的3倍。三、題組模塊的應(yīng)用①乙數(shù)是多少？②甲乙兩數(shù)的和是多少？2、甲數(shù)是24，乙數(shù)比甲數(shù)的3倍多5。3、甲數(shù)是24，是乙數(shù)的3倍。4、甲數(shù)是24，比乙數(shù)的3倍少1.5。③甲乙兩數(shù)相差多少？①乙數(shù)是多少？②甲乙兩數(shù)的和是多少？③甲乙兩數(shù)相差多少？①乙數(shù)是多少？②甲乙兩數(shù)的和是多少？③甲乙兩數(shù)相差多少？①乙數(shù)是多少？②甲乙兩數(shù)的和是多少？③甲乙兩數(shù)相差多少？(問題聯(lián)想)(條件聯(lián)想)(條件聯(lián)想)案例：《整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到小數(shù)》5.32×7.2+4.68×7.2=(5.32＋4.68)×7.2=10×7.2=727.6=7.6×1=7.6×（4×0.25）=（7.6＋7.6＋7.6＋7.6）×0.25三、題組模塊的應(yīng)用通則不痛，痛則不通！---中醫(yī)經(jīng)絡(luò)學(xué)一堂好課，不是八寶飯，應(yīng)該一清如水。——于漪通透明透明白則則則教育：明白之人，使人明白?！欍鲢銩地B地？千米4小時(shí)480千米1、甲乙兩車同時(shí)從A、B兩地相對開出，甲車每小時(shí)行72千米，乙車每小時(shí)行48千米，4小時(shí)后相遇。AB兩地相距多少千米？(72＋X)×4=

4802、甲乙兩車同時(shí)從相距480千米的A、B兩地相對開出。甲車每小時(shí)行72千米，乙車每小時(shí)行48千米，幾小時(shí)后兩車相遇？解：設(shè)x小時(shí)后兩車相遇.3、甲乙兩車同時(shí)從相距480千米A、B兩地相對開出。甲車每小時(shí)行72千米，4小時(shí)后兩車相遇，乙車每小時(shí)行多少千米？解：設(shè)乙車每小時(shí)行x千米.4、甲乙兩車同時(shí)從相距480千米的A、B兩地相對開出。乙車每小時(shí)行48千米，4小時(shí)后兩車相遇，甲車每小時(shí)行多少千米？解：設(shè)甲車每小時(shí)行x千米.乙車48千米/時(shí)72千米/時(shí)甲車超級變變變(72＋48)X

=

480(X＋48)×4=

480(72＋48)×4=

480(72＋48)×4=

480(72＋48)×X=

480(72＋

X)×4=

480(X

＋48

)×4=

480(V1＋V2)t=s480千米甲車72千米/時(shí)A地B地乙車48千米/時(shí)還相距120千米5、甲乙兩車同時(shí)從相距480千米的A、B兩地相對開出。甲車每小時(shí)行72千米，乙車每小時(shí)行48千米，幾小時(shí)后兩車還相距120千米？解：設(shè)x小時(shí)后兩車還相距120千米。(72＋48)x=480解：設(shè)x小時(shí)后兩車又相距120千米。(72＋48)x=480又又相距120千米–120＋120解：設(shè)x小時(shí)后兩車相距120千米。(72＋48)x=480＋120(72＋48)x=480－120變中找不變①客車先行了2.5小時(shí)②貨車晚行了2.5小時(shí)③兩車同時(shí)出發(fā),客車中途停了2.5小時(shí)④兩車同時(shí)出發(fā),貨車中途停了2.5小時(shí)客、貨兩車分別從相距573千米的甲乙兩地相向而行，客車每小時(shí)行78千米，貨車每小時(shí)行48千米；(）。相遇時(shí)貨車行駛了幾小時(shí)？解:設(shè)相遇時(shí)貨車行駛了X小時(shí).（78+48）x=573–78×2.5根據(jù)方程補(bǔ)條件：①②④客車獨(dú)行路程多題一解！把書越讀越??！78千米/小時(shí)客車573千米48千米/小時(shí)貨車3、師徒兩人共同加工54個(gè)零件。徒弟先做了2小時(shí)，每小時(shí)做6個(gè)，然后和師傅一起做。師傅每小時(shí)做15個(gè)，還需多少小時(shí)才能完成任務(wù)？只列方程,不計(jì)算：解：設(shè)還需x小時(shí)才能完成任務(wù)。（6+15）x=54－2×62、學(xué)校買20套桌椅一共花了4800元，每張桌子150元,每把椅子多少元？解：設(shè)每把